二次曲线焦点的分布

李庆寿

将一个非退化的二次曲线的焦点数统一为4个——除圆的四个焦点收缩为中心一点外，其他情况均不重合，也不消失，它们两实两虚，可在有穷远，也可在无穷远.理由如下：

1.在添加无穷远元素的拓广欧式平面上，实焦点位于实轴（椭圆的长轴，抛物线的对称轴）上，虚焦点位于虚轴（椭圆的短轴，抛物线无穷远直线）上.在实轴上取坐标原点为各曲线的共用顶点之一，共用实轴为x轴，顶点切线为y轴，则各曲线可有统一方程：

（1-e2）x2+y2-2px=0

（p：共同的焦参数，e：离心率，还有半实轴a=p|1-e2|，半虚轴b=p|1-e2|，离心率c=ep|1-e2|均为可变参数.）

因抛物线的实焦点“介于”流动的椭圆、双曲线焦点之间，当其中各一（坐标：（±（a+c），0，1））趋于无穷远时，抛物线的实焦点之一的坐标就是（1，0，0）.（a，c均趋于无穷大.）又因无穷远直线“介于”流动的椭圆短轴、双曲线的虚轴之间，当它们的虚焦点（坐标：（a，±ic，1））随虚轴趋于无穷远时，无穷远直线上抛物线的虚焦点坐标就是（1，±i，0）.（a，c均趋于无穷）

2.下面三图分别是椭圆、抛物线、双曲线的焦点F，F′（实），G，G′（虚）生成图：（I，J是圆环点）

比较三图，可以看出当无穷远直线（IJ）从与曲线相离（图1）变为相交（图3），中间经过相切（图2）时，直线（IJ）与（GG′）交换位置.因此，I和G（在切线IF上）、J和G′（在切线JF上）、C∞与C（在对称轴FF′上）亦经过重合而交换位置.所以，F，F′，G，G′四个焦点中的任一均未消失——在抛物线的无穷远直线上有三个焦点：C∞（实）、I、J（虚）.

3.设二次曲线的线式方程为

S≡∑i，jbijuiuj=0（i，j=1，2，3，bij=bji，|S|=|bij|≠0），

圆环点I，J的方程是：S′≡u21+u22=0.

则|S+λS′|=0表示曲线束：S+λS′=0，（1）

退化成由四焦点为两组对顶的四线形.

当b33=0（抛物线），方程：

|S+λS′|=b11+λb12b13b21b22+λb23b31b320=0，（2）

有解：λ1=∞，λ2=|bij|b213+b223.

代入（1），分别得到

u21+u22=0，（3）

（b22u2+b22u2）{[2b22b22+（b22-b22）b22]u2+[2b22b22-（b22-b22）b22]u2+2（b222+b222）u2}=0.（4）

由（3）解得：G，G′=I，J.

由（4）解得：F′=C∞和F（圖2）.

【参考文献】

[1]梅向明，刘增贤，王汇淳，王智秋.高等几何：第2版[M].北京：高等教育出版社，2010：155-157.