例谈数学工具在物理解题中的应用

金子现

人们常说“数理不分家”.的确，数学和物理同样具有较高的思维含量，对分析问题、解决问题和逻辑推理的能力要求很高.数学为物理学的发展提供了严密而强大的理论支撑，许多物理问题的解决都要依赖数学工具和数学思想，而且问题越高深，对数学工具的依赖性就越强.因此，近年来高考物理越来越重视对学生应用数学工具解决物理问题能力的考查，《考试说明》则将“应用数学处理物理问题的能力”列为高考物理考查的五大能力中的一项，要求学生“能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论;能运用几何图形、函数图像进行表达、分析”.学好数学对物理的学习大有裨益.下面就以几道例题分析数学工具的应用.

一、解析几何（曲线方程）

图1

例1 半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图1所示.顶部有一小物体A，今给它一个水平初速度v0=gR，则物体A可能（  ）.

A.沿球面下滑至M点

B.先沿球面下滑至某点N，然后便离开球面做斜下抛运动

C.按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动

D.立即离开半圆球做平抛运动

解析 首先对物体受力分析，由牛顿第二定律有

mg-FN=m（gR）2R，得FN=0 N.

这说明，从这个时刻往后，物体将以初速度v0做平抛运动.

但是我们不免会产生疑问：在物体做平抛运动的过程中，会不会与半球体相碰？也就是说，物体做平抛运动的轨迹是与球体永不相交，还是经一段时间后与之相交，还是一开始就相交，不能再继续做平抛运动？如果单纯从物理角度去考虑，不易想出.我们可以换一个思路：物体与半球体相碰，等价于物体做平抛运动的轨迹与半球有无交点，也就等价于物体做平抛运动的轨迹的方程与半球面的方程有无公共解.

顺着这样的思路，我们尝试利用平面解析几何的方法来解决.由于物体的平抛运动的轨迹在竖直平面中，我们只需将半球体简化为一个半圆，在二维平面内研究即可.为方便表示，我们以物体的初位置，即半圆的顶点为原点，水平向右方向为x轴，竖直向上方向为y轴建立一个平面直角坐标系如图2所示.

首先写出平抛运动的运动方程：

x=gR·t，y=-12gt2.

消去t得

曲线C1：y=-12R·x2（x≥0），

曲线C2：x2+（y+R）2=R2（-R≤y≤0）.

联立C1，C2得y2=0，所以x=0，y=0.

因此，曲线C1与C2仅有一个交点（0，0）.也就是说，物块只在开始时在半球上，此后的任一时刻，二者不会相碰.所以此题选D.

二、基本不等式

例2 如图3所示，AOC是光滑的直角金属导轨，AO沿竖直方向，OC沿水平方向，ab是一根金属直棒，如图立在导轨上，b端靠近O点.它从静止开始在重力作用下运动，运动过程中b端始终在OC上，a端始终在OA上，直到ab完全落在OC上.整个装置放在一匀强磁場中，磁场方向垂直纸面向里，则ab棒在运动过程中（  ）.

A.感应电流方向始终是b→a

B.感应电流方向始终是a→b

C.感应电流方向先是b→a，后变为a→b

D.感应电流方向先是a→b，后变为b→a

解析 判断感应电流的方向，关键是看三角形回路aOb的面积变化.

设边aO长为x，bO长为y，ab长为l.则面积S=12xy，

ab棒在运动过程中总满足条件x2+y2=l2.

看到这两个式子很容易联系到基本不等式，

即a2+b2≥2ab.

因为题目中x，y均为正数，且平方和为一定值，满足使用基本不等式的条件，

所以S=12xy≤12·a2+b22=l24.

当且仅当x=y=22l时等号成立.

因此，aO=bO时三角形面积最大，其他任何时刻面积都要小于这个值.又题目中说开始时“b端靠近O点”，运动过程中先是aO<bO，再是aO=bO，再是aO>bO，面积S必然先增大到l24，再减小到0，由楞次定律易得感应电流方向先是b→a，后变为a→b.故此题应选C.

三、三角函数的恒等变换（辅助角公式）求最值

例3 一物体质量为m.置于倾角为α的斜面上.物体与斜面间的动摩擦因数为μ.若要使物体沿斜面匀速向上滑动.求拉力的最小值.

解析 可以看出，对每一个确定的方向，力F都有一个确定的值，使得物块匀速上滑.

设F与沿斜面向上方向的夹角为α.将各力沿斜面正交分解如图4所示.

由于摩擦力提供了沿斜面向下的分量，F必须有沿斜面向上的分量，所以α∈0，π2.

由物块受力平衡得

Fcosα=μFN+mgsinθ，

FN+Fsinα=mgcosθ，

得F=μmgcosθ+mgsinθμsinα+cosα.

应用辅助角公式，得

F=μmgcosθ+mgsinθμ2+1·μμ2+1·sinα+1μ2+1·cosα.

令μμ2+1=cosφ，1μ2+1=sinφ，

则F=μmgcosθ+mgsinθμ2+1·（cosφsinα+sinφcosα）

=μmgcosθ+mgsinθμ2+1·sin（α+φ）.

显然F的大小仅随sin（α+φ）的变化而变化，当sin（α+φ）取最大值时F取得最小值.

由于sinφ>0，cosφ>0， 所以φ∈2kπ，π2+2kπ（k∈Z）.

又因为α∈0，π2，所以α+φ∈（2kπ，π+2kπ）（k∈Z）.

因此，当α+φ=π2+2kπ（k∈Z）时，sin（α+φ）有最大值1，Fmin=μcosθ+sinθμ2+1·mg.

四、导数求最值

例4 飞行员进行素质训练时，抓住长为l的秋千杆由水平状态下擺，到达竖直状态的过程中如图5所示，试求飞行员所受重力的瞬时功率的最大值及此时杆与水平方向的夹角θ.

解析 对飞行员从A点到M点由动能定理得

mglsinθ=12mv2，（1）

M点瞬时功率P=mvcosθ.（2）

联立（1）（2）两式得

P=2m2g3l·sinθcos2θ.（3）

因此，只需求sinθcos2θ的最值即可.

函数y=sinθcos2θ不易用三角恒等变换化为一个单调的函数，因此，用考虑数学的两大工具之一——导数来求解.

设f（θ）=sinθcos2θ，θ∈0，π2，

则f′（θ）=cosθ（3cos2θ-2）.

当f（θ）取得最大值时，f′（θ）=cosθ（3cos2θ-2）=0，

得cosθ=0或cosθ=±63.

又因为θ∈0，π2，所以cosθ=63，sinθ=33代入（3）得Pmax=23mg3gl.

此时θ≈0.62（在角度制下，θ≈35.5°）.

五、基本初等函数（分式函数、对勾函数）求最值

例5 在如图7所示的电路中，R1=1 Ω，R2=2 Ω，滑动变阻器R的最大阻值为2 Ω.在滑动变阻器的滑片P自左向右滑动过程中，求AB间总电阻的最大值.

解析 这种滑动变阻器的连接方式比较特殊.滑片P实际将R分为两部分：左半部分与R1并联，右半部分与R2并联，二者再串联构成总电路.其等效电路图如图8所示.

当P向右滑动时，左半部分与R1的并联电阻值增大，右半部分与R2的并联电阻值减小，总阻值的变化不易判断，因此，采用定量计算的方法表示出总阻值随P变化的关系，再求最值.

设左半部分电阻为r.根据串并联电路的特点，

R总=rr+1+（5-r）2（5-r）+2=3r2-15r-10r2-6r-7.

这是一个形如y=ax2+bx+cdx2+ex+f的二次分式函数，对于此类函数，往往分离分子中二次项得一次分式函数，再通过换元等方法化为自变量只在分母上的简单函数（如对勾函数、二次函数或具有单调性的函数），再求值域或最值.即

R总=（3r2-18r-21）+（3r+11）r2-6r-7=3+3r+11r2-6r-7.

令t=3r+11，则r=t-113，

R总=3+tt-1132-6t-113-7=3+9tt-40t+256.

因为r∈[0，5]，所以t∈[11，26].

因此，R总=3+9t+256t-40.

当函数f（t）=t+256t在[11，26]上取得最小值时，R总取得最大值.

函数f（t）是一个对勾函数，其拐点为t=256=16∈[11，26]，

所以当t=16，即r=53时，R总取得最大值R总max=158 Ω.

从以上几个例子可以看出，数学工具如导数、不等式、基本初等函数（三角函数、对勾函数）、解析几何等在物理解题尤其是求最值的问题中发挥巨大作用，有时甚至是解题的唯一方法.事实上，与单纯运用物理方法定性分析不同，数学思想和工具能够让我们定量地分析问题，精确地描述运动、反映过程，从而使我们更加深刻地理解物理规律.但是，将物理问题纯数学化是不可以的，数学只是工具，物理思维才是真正的灵魂.因此，只有真正理解物理概念和规律，并恰当、巧妙地应用数学工具，才能如鱼得水、事半功倍.

【参考文献】

[1]程稼夫.力学[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2000.

[2]吴雪明.一个重力瞬时功率问题的代数证明[J].中学物理，2015（33）：68.

[3]郭华初.数学思想解决物理问题的“缪用”[J].理化生教学与研究，2016（11）：132-133.

[4]卢惠林，吴永熙.应用数学工具处理物理问题[J].中学理科，1999（Z1）：44-49.