反例在数学教学中的应用

鲁迪

【摘要】反例，在数学的学习过程当中，并且在任意的学科的研究的过程中，都占据着举足轻重的重要作用.本文论述了反例在中学数学教学中的使用情况，并对其做了分类，分别写了反例在中学代数学上的应用和反例在几何学上的应用，并且在这两个分支上又分成在数学定义和数学定理上的具体的应用实例，说明了反例的重要作用.学生们可以通过反例清晰地看出问题的所在，相比于正向的例子，反例有时候更具有说服性，能够更快速地发现问题的本质.有时候，激发学生的学习兴趣也是反例带来的效果，在好奇心的作用下发挥自身的能力，并且通过例子来说明反例的作用，会让学生更有立体感，能更好地启发学生学习数学方面的知识.

【关键词】反例;教学;能力;应用

一、反例的概念

数学中的反例，是指符合某个命题的条件而不符合这个命题的结论的例子，也就是说，反例是一种能显示出书中的某些命题是不正确时的例子.

二、反例可帮助学生正确理解基本概念

代数学中定义的概念：对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延的确切而简要的说明，或是透过一个事物或者一个物件的基本属性来描述或规范一个词或一个概念的意义的事务或者物件叫作被定义项，其定义叫作定义项.

反例在绝对值定义理解方面的应用

在讨论这个问题之前，我们先温习一下绝对值的定义：数轴上一个数所对应的点与原点（点零处）的距离叫作该数的绝对值.绝对值只能为非负数.

那么我们现在就来具体地看看，反例在初中数学的一个分支代数学上是怎么应用的.例如，如果说绝对值a等于b绝对值，那么a=b这个结论是错误的，那么在这个时候就要想到反例了.正向的时候有时是很难举出具有说服性的例子来证明的，但是如果往反例上面想一想，可能有些事情就会迎刃而解的，就像我们现在举出的事理是一样的，如果要举出反向的例子来证明这个问题，比如，“绝对值-1等于绝对值1，但是-1与1是不相等的”.在这个问题上，反例在数学定义上有了应用.

三、反例在数学命题中的应用

（一）一个正数一定大于这个数的算术平方根

我们通常会举出一些例子，比如，9的算术平方根是3，64的算术平方根是8，以这种形式来看的话，这些例子都是指向了原数比它的算术平方根大，如果只是单纯地这样看来的话，并没有什么异样，但是如果再进行思考，换种形式的例子，比方，0.04的算术平方根是0.2，而0.04<0.2，又像1的算术平方根是它的本身，那么这样一对比的话，就能清晰地看出以上的说法是不正确的.在这种的情况下就能更好地理解这个问题.

这样也就是更好地在代数学的定理上面来证明反例的具体应用，反映出反例的用途之广和用途之大，促进了学生们对定理的理解，体现了反例的具体实用性，还会激发学生们的学习热情，也促进了学生对于接下来的数学学习的认识和理解.

定理2.开方开不尽的数都是无理数.显而易见，这句话是错误的.

2和3都是有理數，我们之前都学过的知识点，但是就是因为它们都是开不尽方的数，所以在这种情况下，教师通常会更青睐这样的例子，因为这样的例子能够更明显地看出问题的所在.

我们在运用反例来解决数学中比较不容易理解的问题的时候，会让原本相对于中学生来说不容易理解、难懂的知识点更容易被中学生们所接受，不会产生那么多的疑问，从而可以准确地理解和学习这样的不易懂的知识点，对于学生之后的数学学习打下良好的基础，也为学生对于数学课堂的认识加深了印象.

四、利用反证法解决数学问题

例1 设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）中，a，b，c均为整数，且f（0），f（1）均为奇数.求证：f（x）=0无整数根.

证明 设f（x）=0有一个整数根k，则ak2+bk=-c，

又因为f（0）=c，f（1）=a+b+c均为奇数，

所以a+b为偶数，

当k为偶数时，显然与上式矛盾.

当k为奇数时，设k=2n+1（n∈Z），

则ak2+bk=（2n+1）（2na+a+b）为偶数，也与上式矛盾，故假设不成立，

所以方程f（x）=0无整数根.

例2 已知：a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.

证明 用反证法

假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0，b<0，c>0，则由a+b+c>0，可得c>-（a+b），

又a+b<0，

所以c（a+b）<-（a+b）（a+b），

ab+c（a+b）<-（a+b）（a+b）+ab，

即ab+bc+ca<-a2-ab-b2.

因为a2>0，ab>0，b2>0，

所以-a2-ab-b2=-（a2+ab+b2）<0，

即ab+bc+ca<0，

这与已知ab+bc+ca>0矛盾，

所以假设不成立.

因此，a>0，b>0，c>0成立.

这样的举例方法就可以称为是反证法.我们通过这样的反例来让学生们判断，进而来让学生们改正，在错误的情况下让他们通过自己对这个定义的理解来挑出问题的所在，将学生们的学习热情展现得淋漓尽致.所以，这样的做法在数学定义的学习上可以被称为是一种行之有效的方法，对于中学生的学习还是会有很大帮助的.

五、反例可帮助学生深刻理解命题的条件及使用适用方法

几何学中定理的概念：经过受逻辑限制的证明为真的陈述，一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理，证明定理是数学的中心活动.[3]

无论是什么时期的数学教学，数学概念，定理都像是数学海洋里最重要的珍珠，在数学的海洋里占据重要的位置.对于这些数学课程上最基本的定理和定义，教师在讲解问题的时候最应该注意的就是让同学们得到相对严格的证明过程.反例不会是掌握问题的唯一的手段，但是在数学的教学中却是必不可少的重要部分.