例谈高中数学函数的零点

徐怀寿

【摘要】 函数的零点是高中数学新课改后的新增内容，在试题中.既会在选择题和填空题中出现，还会在解答题中出现，多以求函数的零点个数、参数的取值与范围问题的考查为主，由于在处理零点问题时经常会涉及等价转化思想、数形结合思想、函数与方程思想和分类讨论思想，所以函数的零点是高考的重点也是高考的熱点.

【关键词】 函数零点;等价转化;取值范围

对函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫作函数y=f（x）的零点，所以方程f（x）=0有实数根函数的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点.在题目的考查中经常会出现如下几类题型：

一、确定函数的零点个数及利用零点个数确定参数的取值范围

要判断函数的零点个数一般我们有如下的思路：（1）直接法：令f（x）=0，如果能求出解，解有几个就有几个零点.（2）利用零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图像和性质（如单调性）才能确定函数有几个零点.（3）数形结合法：画出两个函数图像，看其交点的个数有几个，就有几个不同的零点.同时对一些含参的相关问题，我们在处理的时候，有时需要先做大量的等价转化，如要确定函数h（x）=f（x）-g（x）的零点可转化为求f（x）=g（x）的根，也就是函数y=f（x）与函数y=g（x）的交点问题.

例1   （2012年天津卷）函数f（x）==2x+x3-2在区间（0，1）内的零点个数是（  ）.

A.0  

B.1  

C.2  

D.3

解析一  ∵f（0）f（1）<0，且函数在定义域内单调递增且连续，∴函数y=f（x）区间（0，1）内有且只有1个零点，可知B正确.

解析二  该函数在区间（0，1）的零点可以等价转化为函数y=2x和y=2-x3的交点问题，如图所示，在区间（0，1）内，两图像有一个交点，所以选B.

例2   （2015年湖南卷）函数f（x）=2sinxsin  π 2 +x -x2的零点个数 .

解析  函数y=f（x）的零点实际是函数y=2sinxsin  π 2 +x =sin2x与y=x2的两图像的交点，如图所示不难看出这两个函数只有一个交点，所以函数y=f（x）只有一个零点.

例3   （2015年湖南卷）函数f（x）=  x3（x≤a）， x2（x>a），  若存在实数b，使函数g（x）=f（x）-b有两个零点，则a的取值范围是 .

解析  函数y=x2和y=x3的交点是（0，0），（1，1），函数g（x）=f（x）-b有两个零点，则f（x）-b=0有两个根，即直线y=b和y=f（x）有两个交点.做出y=x2和y=x3的图像，可知当a<0时，存在实数b，使f（x）-b=0有两个根;当a>1时，存在实数b，使f（x）-b=0有两个根;当0≤a≤1时，f（x）-b=0只有一个根或无根;当a<0或a>1时，f（x）-b=0有两个根，综上我们可以确定a的取值范围为a<0或a>1.这道题考查了数学分类讨论思想，函数零点尤其是含参问题中经常考查分类讨论思想.

二、确定函数的零点所在区间

确定函数零点位置是高考考查的重点和难点，不仅选择填空直接考查，而且解答题当中也经常与导数一起考查，确定函数零点所在的区间有如下的方案：（1）对应函数的方程简单时，直接求出方程的解，观察解所在的区间即为零点的区间.（2）利用零点存在定理：如果函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，那么函数的零点就在区间（a，b）内.（3）通过做出函数的图像，观察图像与x轴在所给的区间是否有交点来判断.

例4   （2011全国新课标）在下列区间中，函数f（x）=ex+4x-3的零点所在的区间为（  ）.

A. - 1 4 ，0

B. 0， 1 4

C.  1 4 ， 1 2

D.  1 2 ， 3 4

解析1  由于函数y=f（x）为单调增函数，而f  1 4  =e 1 4 +1-3=e 1 4 -2<0，f  1 2  =e 1 2 +2-3=e 1 2 -1>0，根据零点存在定理，由于f  1 4  ·f  1 2  <0，所以y=f（x）零点所在区间为C.

解析2  函数f（x）=ex+4x-3的零点也就是方程ex+4x-3=0的根，也是函数y=ex和y=-4x+3的交点的横坐标，所以问题转化为通过图像观察这两个函数的交点的横坐标所在的范围，如图所示可知答案为C.

例5   若a<b<c，则函数f（x）=（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）两个零点分别位于区间（  ）.

A.（a，b）和（b，c） B.（-∞，a）和（a，b）

C.（b，c）和（c，+∞） D.（-∞，a）和（c，+∞）

解析  ∵a<b<c，∴f（a）=（a-b）（a-c）>0，∴f（b）=（b-a）（b-c）<0，∴f（c）=（c-b）（c-a）>0，由函数零点存在定理判断可知：在区间（a，b）和（b，c）内分别 存在一个零点，而函数y=f（x）是二次函数，最多有两个零点，所以函数y=f（x）的两个零点分别位于区间（a，b）和（b，c）.

另外利用零点相关问题还可以解决函数与方程关系的应用的相关问题.利用两者的关系，可以把方程有解的条件化为求函数的值域问题，把求函数的零点化为解方程或反之以解决相关问题.