几何综合测试卷

一、填空题

1.已知a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列命题：

①若α∥β，aα，则a∥β；

②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ；

④若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

其中正确的命题的序号是.

2.离心率为53且与椭圆y240+x215=1有公共焦点的双曲线方程为.

3.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为.

4.设过抛物线x2=py（p≠0）的焦点的一条直线和抛物线有两个交点，且两交点的横坐标为x1，x2，则x1x2=.

5.已知椭圆x24+y23=1，F1，F2为其左右焦点，P为椭圆上一点，若PF2=32，则PF1=.

6.若双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的离心率为2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为.

7.设椭圆与双曲线y2-3x2=3共焦点，且经过点（2，2），则该椭圆的离心率为.

8.已知单位圆被两条平行直线l1：x-y+a=0，l2：x-y+b=0分成四段长度相等的圆弧，则a2+b2=.

9.若圆C过直线2x+y+4=0和圆（x+1）2+（y-2）2=4的交点，则圆C面积的最小值为.

10.如图，点A是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）右顶点，过椭圆中心的直线交椭圆于B、C两点，满足BC=2AB，AB⊥BC.则该椭圆的离心率为.

11.已知圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y2-ay-6=0（a>0）的公共弦长为23，则a=.

12.椭圆x212+y23=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF1交y轴于Q，且PQ=13PF1，则PF1PF2=.

13.△PAB中，AB=4，PA=3PB，则该三角形面积的最大值为.

14.椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右顶点为A，右焦点为F，P是椭圆上在第一象限内的一点，且PF⊥x轴，B为椭圆的下顶点，BP交x轴于Q，且PA=PQ，则椭圆的离心率为.

二、解答题

15.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为BD的中点，M是B1C1的中点.

（1）求证：平面OCC1⊥平面ODD1；

（2）求证：平面ABM∥平面OC1D1.

16.如图，F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，且满足∠F1AF2=90°.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若△ABF1面积为4，求椭圆C的标准方程.

17.有一隧道内设双行线公路（中间有护栏隔开），其截面是由一长方形ABCD和一以CD为直径的半圆弧构成，如图所示.已知AB=10m，AC=2m.要保证安全，要求车辆（车辆截面设为矩形）

顶部在竖直方向距离隧道顶部的距离和车辆距离护栏距离均不小于0.5m.（护栏宽度忽略不计）

（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求半圆弧CED所在圆的方程；

（2）问现有一辆载重汽车宽3.5m，高4.2m，能否保证安全通过隧道？

18.已知平面直角坐标系上的定点A（1，0）、B（4，0），若动点P满足PB=2PA.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点Q（-2，0）作直线l1、l2与曲线C分别交于两个不同的点M、N（点M、N异于点Q），若直线l1、l2斜率分别为k1、k2，且k1k2=2，判断直线MN是否经过定点.若是，求出此点的坐标；否则说明理由.

19.设椭圆M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）经过点（0，3），离心率为12，左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.

（1）求椭圆M方程；

（2）若直线l：y=kx与椭圆M交于A，B两点，与以F1O为直径的圆交于C，O两点，且满足|AB||CO|=6155，求直线l的方程.

20.如图，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左顶点为A，右焦点为F（c，0），P（x0，y0）为椭圆上的一点（P与A不重合），且PA⊥PF.

（1）若x0=a2，求椭圆的离心率；

（2）若P到椭圆右准线的距离为d1，A到右准线的距离为d2，且d1=12d2，椭圆经过点M（1，66），求椭圆的方程.

理科选做题

21.已知E，F分别为正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD和AD上的点，CE=ED，DF=2FA，求：

（1）B1A与EF所成角的余弦；

（2）试在直线B1B上確定一点M，使得二面角D1EFM为直二面角.

22.在平面直角坐标系xOy中，已知定点F（1，0），点P在y轴上运动，点M在x轴上，点N为平面内的动点，且满足PM·PF=0，PM+PN=0.

（1）求动点N的轨迹C的方程；

（2）设点Q是直线l：x=-1上任意一点，过点Q作轨迹C的两条切线QS，QT，切点分别为S，T，设切线QS，QT的斜率分别为k1，k2，直线QF的斜率为k0.求证：k1+k2=2k0.

参考答案

一、填空题

1.①④

2.y29-x216=1

3.1256π

4.-p24endprint

5.52

6.3x2-y2=1

7.22

8.2

9.4π5

10.63

11.2

12.115

13.43

14.22

二、解答题

15.证明：（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是正方形ABCD的中心，

∴CO⊥DO，

又∵DD1⊥面ABCD，CO面ABCD，

∴DD1⊥CO，

∵DD1∩DO=D，DD1，DO面ODD1，

∴CO⊥面ODD1，CO面OCC1，

∴面OCC1⊥面ODD1.

（2）取C1D1的中点，记为N，连结ON，

∵C1D1∥CD，CD∥AB，∴C1D1∥AB，

又C1D1面ABM，AB面ABM，

∴C1D1∥面ABM，

∵M，N分别为B1C1，C1D1的中点，

∴MN∥B1D1，MN=12B1D1，

又∵B1D1∥BD，B1D1=BD，

∴MN∥OB，MN=OB，∴四边形OBMN是平行四边形，

∴BM∥ON，ON面ABM，BM面ABM，

∴ON∥面ABM，

又ON∩C1D1=N，ON，C1D1面OC1D1，

∴面ABM∥面OC1D1.

16.（1）因为∠F1AF2=90°，

所以b=c，

所以a=2c，

所以e=22.

（2）y=-x+cx2+2y2=2c2

得B（43c，-c3），

S△ABF1=12F1F2|yA-yB|=c×4c3=4，

c2=3，

所以椭圆的标准方程为x26+y23=1.

17.（1）由题意可知圆的半径为5，圆心在坐标原点，

所以半圆弧所在圆的方程为x2+y2=25.

（2）当x=4时，y=3，

这时距离底部5米，

大于4.2+0.5=4.7米，

所以能通过隧道.

18.（1）设动点P（x，y）是轨迹C上任意一点，由题意PB=2PAPB2=4PA2，

将P，A，B坐标代入上式得：

（x-4）2+y2=4[（x-1）2+y2]，

化简得x2+y2=4，

所求轨迹C的方程为：x2+y2=4.

（2）由题意，易知直线MN斜率存在，不妨设直线MN的方程为y=kx+b，设点M，N坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则：

k1k2=y1x1+2·y2x2+2=2，

即y1y2=2（x1+2）（x2+2），

即（kx1+b）（kx2+b）=2（x1+2）（x2+2），展開整理得：

（k2-2）x1x2+（kb-4）（x1+x2）+b2-8=0（）.

把y=kx+b代入x2+y2=4得（1+k2）x2+2kbx+b2-4=0，

x1+x2=-2kb1+k2x1x2=b2-41+k2代入（）式得：

（k2-2）b2-41+k2+（kb-4）（-2kb1+k2）+b2-8=0，

即（k2-2）（b2-4）+（kb-4）（-2kb）+（b2-8）（1+k2）=0，

化简得b2-8kb+12k2=0，即（b-2k）（b-6k）=0，

所以b=2k或b=6k，又因为点M、N异于点Q所以b=2k舍去，

把b=6k代入直线y=kx+b得，直线MN经过定点（-6，0）.

19.解：由题意可知b=3，ca=12，

所以a=2，b=3，c=1，

所以椭圆的标准方程为x24+y23=1.

（2）以F1O为直径的圆的方程为x2+x+y2=0，

y=kx，x2+x+y2=0，

解得xc=-11+k2，

y=kx，3x2+4y2=12，

解得xA，xB=±123+4k2，ABCO=2123+4k211+k2，

（ABCO）2=48（1+k2）23+4k2=1085，

20k4+4k2-7=0，

解得k2=12或k2=-710（舍），

所以直线方程为y=±22x.

20.解：（1）将x0=a2代入椭圆方程：a24a2+y20b2=1，所以y0=±32b，

取点P（a2，32b），又A（-a，0），F（c，0），所以PA=（-32a，-32b），PF=（c-a2，-32b），

∴PA·PF=-3a2（c-a2）+（-32b）2=0，所以2a2-2ac-c2=0，得：e2+2e-2=0，

从而e=3-1.

（2）设P（x1，y1），据条件d1=a2c-x1，d2=a2c+a，所以由d1=12d2知：x1=12（a2c-a）①，

又AP=（x1+a，y1），FP=（x1-c，y1），

AP·FP=（x1+a）（x1-c）+y21=0②，

又x21a2+y21b2=1，

所以y21=b2（1-x21a2）代入②，

（x1+a）（x1-c）+b2a2（a+x1）（a-x1）=0，

解得：x1=a（c2+ac-a2）c2③.endprint

由①③可知：a2-ac2c=a（c2+ac-a2）c2，所以3c2+ac-2a2=0，

即（3c-2a）（c+a）=0，所以c=23a，

b2=a2-c2=59a2，故椭圆方程化为：x2a2+9y25a2=1，

椭圆过点（1，66），∴a2=x2+95y2=12+95×（66）2=1310，b2=1318，

所求椭圆的方程为：10x213+18y213=1.

21.解：设正方体的棱长为6，以A为坐标原点，直线AB，AD，AA1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

（1）A（0，0，0），B1（6，0，6），E（3，6，0），F（0，2，0），

所以B1A=（-6，0，-6），EF=（-3，-4，0），

所以cos=1862·5=3210.

所以B1A与EF所成角的余弦为3210.

（2）D1（0，6，6），EF=（-3，-4，0），FD1=（0，4，6），B1A=（-6，0，-6），

设平面D1EF的一个法向量为n=（x，y，z）.

则n·EF=0n·FD1=03x+4y=04y+6z=0，

令y=-3，则x=4，z=2，

所以平面D1EF的一个法向量为n=（4，-3，2）.

设面EFM的法向量为m=（p，q，r），

设M（6，0，m），则FM=（6，-2，m），而EF=（-3，-4，0），

所以6p-2q+mr=03p+4q=0

令p=-4，则q=3，r=30m，

所以面EFM的一个法向量为m=（-4，3，30m）.

要使二面角D1EFM为直二面角，

必须m·n=-25+60m=0，

∴m=125.

故当M在B1B上且满足BMBB1=25时，二面角D1EFM为直二面角.

22.解：（1）设点N（x，y），M（a，0），P（0，b）.

由PM+PN=0可知，点P是MN的中点，

所以a+x2=0，0+y2=b，即a=-x，b=y2，

所以点M（-x，0），P（0，y2）.

所以PM=（-x，-y2），PF=（1，-y2）.

由PM·PF=0，可得-x+y24=0，即y2=4x.

所以動点N的轨迹C的方程为y2=4x.

（2）设点Q（-1，t），

由于过点Q的直线y-t=k（x+1）与轨迹C：y2=4x相切，

联立方程y2=4xy-t=k（x+1），整理得k2x2+2（k2+kt-2）x+（k+t）2=0.

则Δ=4（k2+kt-2）2-4k2（k+t）2=0，

化简得k2+tk-1=0.

显然，k1，k2是关于k的方程k2+tk-1=0的两个根，所以k1+k2=-t.

又k0=-t2，故k1+k2=2k0.

所以命题得证.