动量矩守恒定律在生活中的实际应用

李金娥

摘要：针对多数学生反映理论力学这门课程过于“理论”这一现象，本文主要介绍与动量矩守恒定律有关的几个有趣的力学现象：转椅表演、芭蕾舞、3米跳水运动、篮球和排球、以及爬绳比赛。通过对动量矩守恒定律在这几个力学现象中的具体理论分析，使得学生能够学以致用，达到提高学生学习兴趣的目的。

关键词：理论力学；动量矩；动量矩守恒定律

中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2018）30-0243-0c

Abstract： A few of mechanics phenomena， which are related to the law of conservation of moment of momentum， are analyzed in this study， since most students think the discipline of theoretical mechanics is too difficult. The mechanics phenomena include swivel chair performance， ballet， diving 3m springboard， basketball and volleyball， and the climbing game. The objective of improving the learning interest of students is expected through analyzing these mechanics phenomena.

Key words： theoretical mechanics； the momentum； the law of conservation of moment of momentum

1 引言

理论力学是很多理工科专业学生必学的一门重要基础课程。理论力学这门课程理论性很强，大多理论都是高度概括和极其抽象的，加上公式繁多、知识点零碎，使得学生和年轻教师都反应理论力学这门课程过于理论，教师难“教”，学生难“学”。目前理论力学教学大多停留在知识的讲解、传授层面，没有将知识点与实际生活联系起来，这是众多高校都存在的共性问题。枯燥的教学内容加上没有唤起学生求知欲的教学模式，使得学生对理论力学这门课程望而生畏，以至于产生厌学情绪。作为理论力学教师，应该注意平时收集和积累与理论力学有关的生活实例，在平常上课时可以适时介绍，增强教学的趣味性。

2 动量矩守恒定律的应用

如果仅仅从运动学角度出发，那么我们可以用速度来度量一个物体的运动，但是它并没有考虑力；如果从动力学角度出发的话，我们可以用动量来度量一个物体的运动，它是质量和速度的乘积。但是，当物体处于旋转状态时，我们就不能用动量来度量物体的运动了，需要引入动量矩的概念。

刚体绕定轴转动时动量矩为：

质点系动量矩守恒定律：当外力对于某定点的（或定轴）的主矩等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变。

2.1 转椅表演

准备一个轴承非常光滑的转椅，让一名同学A坐到转椅上，双臂伸开并且双脚离地，由另外一名同学B施力让转椅进行转动，此时转椅旋转速度并不大。让同学A收拢双臂，我们会看到转椅旋转的速度会明显加快。如果换一名体重比同学A重很多的同学C来做这个实验，会观察到转椅加速旋转会更加明显。如何解释这种现象呢？

因为转椅轴承非常光滑，所以转椅绕铅垂轴的摩擦力矩很小，整个人椅系统对铅垂轴的动量矩守恒。当同学A双臂伸开时，整个人椅系统对铅垂轴的转动惯量为[J1]，角速度为[ω1]，动量矩为[J1ω1]；当同学A将双臂收拢后的转动惯量为[J2]，角速度为[ω2]，动量矩为[J2ω2]；由动量矩守恒定律得[J1ω1=J2ω2]。因为[J2ω1]。当实验者体重增加时，双臂伸开和收拢时的转动惯量的差值相应地也增大，进而旋转角速度的差值也增大，所以观察到的现象会更加显著。

2.2 芭蕾舞蹈员的挥鞭转

芭蕾舞者将双臂打开，一只脚的脚尖着地用力使身体绕铅垂轴旋转，此时旋转的角速度较小。如果芭蕾舞者将手腿迅速收拢，那么旋转的角速度会突然增大；当芭蕾舞者再次打开手腿时，旋转的角速度会再次减小，如图2所示。如何解释这种现象？

这是因为芭蕾舞者的尖头鞋与地板之间的摩擦力非常小，地板上除了有支撑舞者体重的向上力以外，阻碍舞者旋转的绕铅直轴的阻力矩近似为0，因此芭蕾舞者身体对铅垂轴的动量矩守恒。旋转开始时芭蕾舞者对铅垂轴的转动惯量为[J1]，角速度为[ω1]，动量矩为[J1ω1]；当芭蕾舞者将手腿收拢后的转动惯量为[J2]，角速度为[ω2]，动量矩为[J2ω2]；由动量矩守恒定律得[J1ω1=J2ω2]。因为手腿收拢后的转动惯量[J2]小于手腿伸开时的转动惯量[J1]，所以[ω2>ω1]。一般情况下，手脚收拢时身体绕铅垂轴的转动惯量比手腿伸开时的转动惯量要小近3倍；因此，手腿收拢后舞者绕铅垂轴旋转的角速度是张开时的3倍，所以我们看到芭蕾舞者旋转的角速度增大得非常明显。

2.3 跳水运动

3米跳板的运动员，是如何在腾空时间如此短的情况下实现向前空翻3周半的？

跳水運动员起跳后，处于腾空无支撑状态，此时重力作用于质心，不对基本轴产生力矩，因此，腾空对人体的动量矩保持不变。在跳水运动员起跳的瞬间，可以观察到其身体是伸直的，此时其向前转动的角速度也不大；当运动员起跳腾空后，他会立即曲体，此时可以观察到其身体绕横轴的旋转会突然加快，当其连作几个空翻后再打开身体，由于此时身体旋转的角速度会减小，所以可以实现垂直入水。因为人体在曲体的情况下绕横轴的转动惯量，比在伸真情况下绕横轴的转动惯量小3.5～4倍，所以运动员可以在腾空时间极短的3米板跳水运动中，实现向前空翻3周半。

2.4 篮球和排球

在篮球跳投动作中，整个身体对通过重心的基本轴的动量矩守恒，矢量和为零。当身体的某一部分以一定大小的动量矩绕基本轴的一个方向进行转动时，则身体的另外一部分会以大小相等的动量矩绕同一转轴的相反方向进行转动。如果身体在此时除上肢外，不做其他动作的话，那么由牛顿第三定律，球将对身体产生一个反作用力，该作用力将使得身体上部沿身体横轴向后产生一个动量矩。因此，这样做既会减小投篮的力量，也不利于投篮的稳定性，因为支点处于运动中。如果在投篮过程中，身体的下肢主动用力，身体将会充分伸直，转动惯量也会加大，同时也会产生一个沿身体横轴的动量矩，那么由动量矩守恒定律，身体上半部分也要产生一个大小相等方向相反的动量矩。此时，该动量矩将与球使身体产生的动量矩的方向正好相反，可以相互抵消。如果是中距离或者近距离的投篮，那么身体下肢稍微用力，便可产生较小的动量矩，该动量矩将使支点处于稳定状态，从而提高投篮的稳定性；如果是远距离的投篮，那么身体下肢需要用比较大的力量，从而产生较大的动量矩，这样才可以使支点处于稳定状态。此外，身体下肢也可以用更大的力量产生更大的动量矩，以使支点向前运动，从而加大投篮的作用力。

此外，腾空状态下，角速度和转动惯量的乘积是守恒的。角速度和转动惯量二者成反比关系，因此腾空状态下，对角速度变化的要求可以通过改变身体的转动惯量来实现。例如投篮中的跳起转身投篮，起跳后身体自身有一定的动量矩，为了增加身体转动的角速度，应当减小动量矩，可以通过让肢体的重心靠近转动轴来实现，同时这样也有利于身体在空中能够转动足够的角度。当身体转到合适的角度时，为了保证投篮的稳定性，需要减小转动的角速度，这时肢体应当尽可能分开，通过增大转动惯量来实现。

对于排球运动，道理是相似的。在扣球时，由腰、腹、下肢主动用力，加大身体转动惯量，提高扣球的稳定性。此外，为了增大转动的角速度，应尽可能地使肢体的重心靠近身体的转动轴，这样使得身体能够在空中转动足够的角度。当转到合适的角度时，肢体分开，增大转动惯量，减小转动角速度，提高扣球的稳定性。

2.5 有趣的爬绳比赛

体重相同的两个小孩Ⅰ和Ⅱ进行爬绳比赛，Ⅰ孩的爬绳能力比Ⅱ孩强。定滑轮与绳子的重量忽略不计，定滑轮的半径为r，假设滑轮轴承非常光滑。比赛开始时，他们分别抓着跨过滑轮的绳子一端保持静止悬垂。一声令下，两个小孩都迅速向滑轮爬去，试分析哪个小孩先到达滑轮？

相信很多同学会认为Ⅰ孩先到达滑轮，那么真实的情况是怎样的呢？整个系统的受力情况包括：两个小孩的重力和滑轮的支承力（前提已给出滑轮与绳子的重量忽略不计）。当两个小孩体重相同时，两个小孩的重力和滑轮的支承力对滑轮轴的力矩和为0。由于比赛开始之前，两个小孩保持静止悬垂，系统动量矩为0，并且两个小孩的重力和滑轮的支承力对滑轮轴的力矩和为0，因此在比赛过程中，系统动量矩应仍为0，保持守恒。于是可知，当Ⅰ孩有向上的速度[v1]时，其动量为[m1v1]，对滑轮轴有顺时针方向的动量矩：-[m1v1r]；同样地，Ⅱ孩对滑轮轴有逆时针方向的动量矩[m2v2r]；系统的动量矩为：[m2v2r-m1v1r=0]。因为两个小孩的体重相等，所以他们的速度也相同。于是，无论哪个小孩的爬绳能力强，他们在爬绳的任何時候速度都一样，即便爬绳能力弱的小孩偷懒，拽住绳子不爬，他们也会同时到达终点。

3 总结

本文主要从物理概念出发通俗地解释了与动量矩守恒定律有关的几个有趣的生活实例：转椅表演、芭蕾舞的挥鞭转、跳水运动、篮球和排球、以及爬绳比赛，并且对这几个生活实例做了比较深入的理论分析，让大家对动量矩守恒定律有个更深刻的认识。本文可以丰富教师在理论力学这门学科方面的教学内容，提高教学的趣味性；也可以以科普读物的形式呈现给学生，提高学生对理论的学习兴趣。

参考文献：

[1] 哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学[M].高等教育出版社，2016，9.

[2] 贾书惠.漫话动力学[M].高等教育出版社，2010，1.

[3] 丁向东.动量矩定理、动量矩守恒定律在排球扣球技术动作中的应用[J]，山东体育科技，2001，23（2）：15-17.

[4] 王克海，王嵊海.动量矩定理及动量矩守恒定律在篮球投篮技术中的应用[J].湖北体育科技，2004，23（2）：170-172.

【通联编辑：梁书】