线性变分法求解氢分子离子薛定谔方程

2018-01-04 03:26梁丽娜闫彬贵州工程应用技术学院毕节循环经济研究院贵州毕节551700
化工管理 2017年36期
关键词:薛定谔分子离子氢原子

梁丽娜 闫彬(贵州工程应用技术学院毕节循环经济研究院,贵州 毕节 551700)

线性变分法求解氢分子离子薛定谔方程

梁丽娜 闫彬(贵州工程应用技术学院毕节循环经济研究院,贵州 毕节 551700)

用量子力学处理原子、分子等微观体系往往归结为解薛定谔方程。求解氢分子离子(H2+)的薛定谔方程在结构化学中是非常重要的内容。一般参考资料中没有给出求解H2+薛定谔方程的详细过程,造成学生学习的困难。因此本文给出了利用变分法求解薛定谔方程的详细过程。

氢分子离子;薛定谔方程;变分法?

H2+是由两个氢原子核和一个电子组成的,可以作为讨论双原子分子的起点。分子轨道理论把H2+作为一个整体处理,认为H2+是一个包含两个原子核和一个电子的体系。[1]电子在两个氢核 a和b组成的平均势场中运动。H2+的Schrödinger方程如下:

利用玻恩-奥本海默近似,H2+的Schrödinger方程简化为:[2]

利用线性变分法[3]解上式。选择变分函数。假设分子轨道是由两个氢原子的原子轨道组成。当电子出现在氢原子核a附近时,分子轨道ψ很近似于原子轨道ψa。同样的,当这个电子出现在另外一个氢原子b附近时,分子轨道ψ也近似于原子轨道ψb。这是两种极端情况,实际上电子既属于a核也属于b核。因此y既与ya有关,又与yb有关。取其线性组合作为试探变分函数。要求其是品优波函数,单值,连续,平方可积;具有正交归一性。符合体系的边界条件:当R→∞时,ra→∞,rb→∞。

其中:ca、cb为线性组合系数,也是待定参数。[4]ψa、ψb分别为氢原子a、b的原子轨道波函数。

由于H2+的两个核是等同的,并且ψa、ψb都是归一化函数,则可令

则有:

利用E取极值的条件,等式同时消去Y,并将方程组按ca、cb为未知数整理得:

上式即为H2+的久期方程[5]。它是关于ca、cb的线性齐次方程组。系数行列式为0时,式才有非零解。即:

由以上两式可得:

解此行列式,

同核双原子分子

得到E的两个解:

将E1代入H2+的久期方程:

两边同时乘以(1+Sab),

将E1代入H2+的久期方程:

两边同时乘以1+Sab,并带入ψ1,

利用波函数归一化条件,可得:

将E2代入H2+的久期方程:

两边同时乘以1-Sab,并带入ψ1,

利用波函数归一化条件,可得:

我们利用线性变分法解氢分子离子的薛定谔方程得到以下解:

ψ1的能量E1要比1s轨道的能量低,所以当电子从氢原子的1s轨道进入ψ1时,体系的总能量降低,故ψ1为成键轨道。而当电子进入ψ2时,氢分子离子的能量E2要比原来的氢分子和氢离子的总能量高,所以ψ2就为反键轨道。

[1]申泮文.无机化学[M].化学工业出版社,2002.1.

[2]北京师范大学,华中师范大学,南京师范大学.无机化学(第四版)[M].高等教育出版社,2002.8.

[3]赵成大,郑载兴,潘道皑.物质结构[M].人民教育出版社,2004.6.

[4]马树人,何雁.结构化学基础[M].华东理工大学出版社,1994.10.

[5]刘靖疆.基础量子化学与应用[M].高等教育出版社,2004.6.

猜你喜欢
薛定谔分子离子氢原子
基于UPLC-ESI-HRMSn技术的珍珠荚蒾果实抗肿瘤活性提取物的化学成分分析
拟相对论薛定谔方程基态解的存在性与爆破行为
Chern-Simons-Higgs薛定谔方程组解的存在性
基于HPLC-HESI-HRMS 的水冬瓜根皮化学成分分析
92种工业染料在四极杆/静电场轨道阱高分辨质谱中的离子化规律
一类相对非线性薛定谔方程解的存在性
薛定谔的馅
质谱法在有机化合物分析中的应用
对氢原子能量吸收的再认识お
α-铁中氦缺陷对氢原子的俘获