基于MPCK视角下的“函数概念”认识与解读

周波

摘 要：基于MPCK视角下的“函数概念”教学，旨在透过MK、PK、CK、TK四个维度整合教学。从引入函数概念的必要性入手，经历概念形成的过程，通过学生对概念的仔细判断、逻辑分析、概括推理，并最终归纳得出概念，并能通过概念解决相关问题。再进一步挖掘函数概念的内涵与外延，让学生真正理解函数概念的本质，创设相应的教学情境激发学生的学习热情。

关键词：MPCK；函数概念；启示

数学概念是客观对象的数量关系和空间形式本质属性的反映，它的产生与发展来源于生活实际，并最终应用于生活实际。2016年3月笔者参加了贵州省省级重点课题《基于MPCK视角下的高中数学课堂教学实践研究》的研究。通过MPCK理论（MPCK（数学学科教学知识）是由MK（数学学科知识）、PK（一般教学法知识）、CK（有关数学学习的知识）以及TK（教育技术知识）融合而成，其本质是教师如何将数学知识的学术形态转化为教育形态）的学习，笔者认为在进行概念教学时，教师可从MK、PK、CK、TK四个维度开展教学，让学生从理解概念引入的必要性入手，通过相应的教学情境，让学生经历概念形成的发展过程；让学生再进一步对概念仔细判断，逻辑分析，概括推理，并最终归纳得出概念，并能通过概念解决相关问题。

一、基于MPCK视角下“函数概念”的认识

1.MK维度下的函数概念教学

从MK的视角出发，首先，教师要准确把握教学大纲，知道函数概念在高中数学中的地位，弄清函数概念发展的历史，明白用集合论定义函数概念的必要性；其次，教师要帮助学生从教材实例中抽象出数学问题，建立数学模型；再次，教师要指导学生深度挖掘函数概念的内涵与外延，从中体会概念所蕴含的数学思想方法；最后，教师对概念之间的联系以及整个数学概念体系要有全方位的了解，帮助学生构建数学知识体系。

2.PK维度下的函数概念教学

基于PK视角下的高中函数概念教学。首先，教师通过教材上的三个实例将概念融入现实生活中，提高学生建立函数模型的能力；其次，教师要引导学生发现概念的本质属性，帮助学生从对概念的感性认识过渡到本质认识；再次，教师在引导学生发现概念本质属性后，要让学生能够叙述出具体的概念内容，在学生叙述的基础上，教师对概念进行提炼，帮助学生由表象层面过渡到概念层面；再者，要和初中函数概念进行对比，引导学生用规范的集合语言叙述函数概念，并能用规范的符号语言表示函数概念；最后，就是强化对函数概念的深层次认识，识别函数概念的易错点和易混点，防止学生对概念一知半解。

3.CK维度下的函数概念教学

CK视角下的高中函数概念教学，教师要从各个测度了解所教学生的学习力和学习水平，以便在备课时真正把握学生学习的起点和思维水平，避免盲目拔高知识的难度和深度。在教学时，要对课堂可能出现的问题作必要的预设，要根据学生的反馈情况适时进行教学策略的调整。课堂练习题的设计要有梯度，具有解决学生易错、易混淆问题的功能。此外，在进行教学设计时，除教知识内容外，还要帮助学生提升自信，提高学生数学表达的能力。

4.TK维度下的函数概念教学

TK视角下的高中函数概念教学，可以通过多媒体、微课等现代化的教学手段进行教学，比如可以制作函数概念发展史的微课，在得出函数的概念后播放，让学生了解函数概念的形成过程、“函数”一词的由来等等，旨在帮助学生更直观地了解函数概念的形成过程，向学生渗透数学文化方面的知识，提高学生学习数学的兴趣。

二、基于MPCK视角下“函数概念”的解读

1.情境引入

在引入函数（人教A版高中数学必修1）概念时，首先教师开门见山地提出本节课的中心话题——函数，本节课的重点也就是理解并掌握函数的概念。函数在初中己经学过，学过的具体函数有正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数，接着提出问题：在初中己经学习过“函数”，你能叙述一下初中函数的概念吗？关键词有哪些？引导学生小组交流思考，鼓励学生积极表达自己的观点，最后总结得出初中函数的概念，并對概念进行简要解读。

通过课本三个实例：“炮弹发射距离”“臭氧层空洞面积”“我国城市居民恩格尔系数变化情况”，让学生根据课本设计的问题进行回答，学生在回答过程中，教师要认真倾听，及时发现并纠正学生在表达上的不当之处，适时给予学生恰当的评价。在完成三个实例教学之后，让学生找出其内在联系，最后师生一起归纳得出函数概念。

通过引导学生对概念进行解读、思考和讨论，形成对函数概念本质的正确认识和把握。学会用函数符号表示函数，教师要透彻地给学生讲清楚函数符号的意义。另外通过观看微课，让学生了解函数概念的历史演变过程，向学生渗透数学史知识，启发学生课后进一步搜集数学家们对函数的定义。让学生感受到：自己对函数概念的疑惑之处，也正是当初数学家们所经历过的。这样可以激发学生学习数学的热情和信心，并感受数学家对待科学严谨求实、追求完美的高贵品质。

2.数学理解

函数概念是比较抽象的，要深刻认识概念的内涵与外延，必须引导学生去发现函数概念中的关键词与关键语句，以及概念中容易产生误解的地方。因此，教师可以根据函数概念提出如下问题：在函数概念中，你认为哪些是关键词？如何理解这个概念呢？

经过和学生的对话与交流，总结出概念中需要注意的地方：

（1）A，B是非空数集，即函数是数集到数集的对应，并且函数的定义域不能为空集。

（2）对应关系与唯一确定。比如，集合A={1，4，9}，B={±1，±2，±3}，对应关系是开平方，这种对应是不是函数？为什么？再如，A={±1，±2，±3}，B={1，4，9，16}，对应关系是平方，这种对应是不是函数？为什么？结合教师给的实例，通过生生交流的方式，让学生反复对概念进行推敲和识别，并最终达成共识。第一个例子不是函数，因为集合A中的任意一个元素在集合B中有两个元素与之对应，不符合函数的概念；而第二个例子是函数，因为集合A中的任意一个元素在集合B中都只有唯一一个元素与之对应，符合函数的概念。“唯一确定”即是说，允许“多对1，1对1”，但不允许“1对多”。A中的每一个数都要用到，但集合B中的数不需要全用到。所以，集合B中可以有多余元素，即值域是集合B的子集。通过这种正反例的教学，让学生对易混易错之处有了更深刻的理解与把握。

三、基于MPCK视角下的“函数概念”教学启示

1.教师要不断加强反思和学习，以形成自己的MPCK

正如叶澜老师所说：一个教师写一辈子教案不一定成为名师，如果一个教师坚持写三年的教学反思，有可能成为名师。的确，教学反思对一线教师来说，它是提高教师教学水平和教学效果的有力武器。教学反思可以帮助我们从每堂课的教学设计、教学方式、教学过程和教学效果当中发现自身教学中存在的不足和需要改进的地方，并针对具体情况提出改进的方案，通过日复一日的教学反思，可以快速提升自身的PCK水平和教学效果。

好的数学教学不仅需要过硬的MK，更需要良好的PCK，这已是不争的事实。在数学教学中，教师对某一概念、定理不但要知其然，更重要的是知其所以然。为了使学生更准确理解数学概念、定理，教师要站在学生的立场，通过恰当的方式向学生表征概念，能够让学生以最恰当的方式理解和把握概念的形成过程及其本质特征。要达到这一目标，需要教师在丰富自己MK的同时，不断学习教育教学理论知识，学习优秀教师的教學经验，以拓宽自己的知识视野，丰富自己的教学经验，以便更好地在教学实践中发展和完善自身的MPCK，从而更进一步提升自己的MPCK发展水平。

2.教材内容的挖掘与丰富

教材是教学的第一资源，因此，教师要深入研读教材，勤于钻研教材，深刻领会课程标准，并对教材资源进行合理的加工与整合，拓宽教学的渠道，丰富教材的意义，以弥补教材的缺陷。这样能更好地促进学生的有效学习，推动教师的专业发展。教师尤其要注意在这一过程中教师对教材知识的挖掘要以学生的理解为基础，不能盲目拔高知识的难度和广度，要根据学生的实际学习情况，对教材内容进行合理整合。

概念教学是高中数学教学中的一个重难点，在实际教学过程中，教师要让学生感受到数学概念不是枯燥乏味的，每个概念的形成和发展都是经过千百年的演变而形成的，里面有着丰富的数学史知识，蕴含着深刻的数学思想和方法。因而教师自身要不断发展和丰富自己的MPCK知识，在数学核心知识和思想方法方面下功夫，不断学习和研究，才能有更多的涉猎，才能更好地为教学服务。

参考文献：

[1]李渺.数学专业师范生MPCK发展“五部曲”[J].数学教育学报，2013.

[2]李渺.MPCK视角下的“一次函数与一次不等式”[J].中学数学，2011.