浅析反比例函数k的几何意义的应用

孙绍康

【摘要】探索反比函数中k的几何意义在图形面积问题的求解策略，培养几何直观能力.

【关键词】反比例函数；k的几何意义

近年来有关反比例函数问题时常活跃在中考的舞台上，并呈现出愈加灵活，有更深和更难的趋势，成为中考考查的重点之一，在解反比例函数问题时，灵活运用比例系数k的几何意义，充分分析利用图像与几何图形结合点的坐标，就会为解决问题提供极大的方便.本文就一个中考题做一次简单的探究，目的在于掌握反比例函数几何意义这一知识要点，灵活利用这一知识点解决数学问题，并熟悉与反比例函数k几何意义的常见考查方式和解题思路.

理解反比例函数k的几何意义：

反比例函数y=kx（k≠0）中，比例系数k的几何意义，就是过反比例函数y=kx（k≠0）图像上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M，N，则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|，三角形OPM与三角形OPN的面积都等于12|k|.

例1（2016·淄博）反比例函数y=ax（a>0，a为常数）和y=2x在第一象限内的图像如图所示，点M在y=ax的图像上，MC⊥x轴于点C，交y=2x的图像于点A；MD⊥y轴于点D，交y=2x的图像于点B，当点M在y=ax的图像上运动时，以下结论：① S△ODB=S△OCA；② 四边形OAMB的面积不变；③ 当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点.其中正确结论的个数是（）.

A.0

B.1

C.2

D.

分析① 由反比例系数的几何意义可得答案；② 由四边形OAMB的面积=矩形OCMD面积-（三角形ODB面积+面积三角形OCA），解答可知；③ 连接OM，点A是MC的中点可得△OAM和△OAC的面积相等，根据△ODM的面积=△OCM的面积、

△ODB与△OCA的面积相等可解得.

本题继续探究一下，当B点是DM任意一点时，线段DB，BM，CA，AM是成比例线段，即DBBM=CAAM，求证方法可以类比于③.

如果连接DC，BC，AD，我们也可以利用同底等高的方法证明S△BCD=S△ACD，进而可以继续证明线段AB∥CD.

例2（2016·滨州）如图所示，已知点A，C在反比例函数y=ax的图像上，点B，D在反比例函数y=bx的图像上，a>b>0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=34，CD=32，AB与CD间的距离为6，则a-b的值是.

分析设点A，B的纵坐标为y1，点C，D的纵坐标为y2，分别表示出来A，B，C，D四点的坐标，根据线段AB，CD的长度结合AB与CD间的距离，即可得出y1，y2的值，连接OA，OB，延长AB交y轴于点E，通过计算三角形的面积结合反比例函数系数k的几何意义即可得出结论.解题的关键是找出a-b=2S△OAB.利用反比例函数系数k的几何意义结合三角形的面积求出反比例函数系数k是关键.

解设点A，B的纵坐标为y1，点C，D的纵坐标为y2，

则点Aay1，y1，点Bby1，y1，点Cay2，y2，点Dby2，y2.∵AB=34，CD=32，∴2×a-by1=a-by2，∴|y1|=2|y2|.

∵|y1|+|y2|=6，∴y1=4，y2=-2.连接OA，OB，延长AB交y轴于点E，

S△OAB=S△OAE-S△OBE=12（a-b）=12AB·OE=12×34×4=32，∴a-b=2S△OAB=3.

變式如图所示，点A是反比例函数y=x2（x>0）的图像上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=-3x的图像于点B，以AB为边作ABCD，其中C，D在x轴上，则SABCD为.

分析连接OA，OB则平行四边形ABCD的面积=2三角形AOB的面积=S△OAD+S△OBC=2+3=5.

研究函数问题关键是要透视函数的本质特征，把数、式和图像结合起来进行思考，相互解释，相互补充，在今后函数学习中亦愈加显示出其重要.逐步由知识、技能转化成过程方法、情感态度，正如华罗庚所说，数离开形少直观，形离开数难入微.这样，才能培养出独立的思维能力和创新能力.

【参考文献】

[1]孙伟刚，孙伟刚.初中学数学[M].北京：北京大学出版社，2005：79-81.

[2]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版） [M].北京：北京师范大学出版社，2012：30-33.endprint