线段公理在代数中的应用

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线段公理（两点间线段最短）在平面几何中的应用是众所周知的.本文仅谈一谈它在研究和解决代数问题中的应用.

请看一个解析几何问题.设A（a，b），B（c，d）是坐标平面上的两点，其中b>0，d>0.试在x轴上找一点，使它到A，B两点的距离的和最小；或到A，B两点的距离的差最大.如图所示，设M（x，0）是x轴上的任一点，B1（c，-d）是点B关于x轴的对称点，M到A，B两点的距离的和为|MA|+|MB|.由线段公理可知|MA|+|MB|=|MA|+|MB1|≥|AB1|，当且仅当M在A，B1的连接线上P点位置时，上式等号成立.

∵P（x，0）在A，B1的连接线上，∴ba-x=dx-c.

于是，有结论Ⅰ：

（x-a）2+b2+（x-c）2+d2

≥（a-c）2+（b+d）2.（﹡）

当且仅当x=bc+add+b时，（﹡）式中的等号成立，即此时M到A，B两点的距离的和最小.

又M到A，B两点的距离的差是||MA|-|MB||.

同理，||MA|-|MB||≤|AB|，

当且仅当M在AB的延长线上的N点位置时（如上图所示），等号成立.

∵N（x，0）在AB延长线上，∴bx-a=dx-c.

从而有结论Ⅱ：|（x-a）2+b2-（x-c）2+d2|≤（a-c）2+（b-d）2，（﹡﹡）

当且仅当x=bc-adb-d（b≠d）时，（﹡﹡）式中的等号成立，即此时M点到A，B两点的距离的差最大.

可以证明，上述结论及公式对任意a，b，c，d都成立.

上面的结论，应用颇多.请看以下例子：

例1解方程|4x2+4x+26-x2+4x+20|=x2-2x+2.

解由公式（﹡﹡）得

|4x2+4x+26-x2+4x+20|

=|（2x+1）2+52-（x+2）2+42|

=|[x-（-1-x）]2+52-[x-（-2）]2+42|

≤[（-1-x）-（-2）]2+（5-4）2

=x2-2x+2.

由结论Ⅱ可知，要上式等号成立，当且仅当x=5×（-2）-（-1-x）×45-4=-6+4x，解此方程，得x=2，故x=2是此方程的解.

例2a，b是小于1的正数，求证

a2+b2+（1-a）2+b2+a2+（1-b）2+（1-a）2+（1-b）2≥22，当且仅当a=b=12时，上式等号成立.

证明由公式（﹡）a2+b2+（1-a）2+（1-b）2≥（0-1）2+（b+1-b）2=2.

再由结论Ⅰ得，当且仅当（1）：a=b×1+0×（1-b）b+（1-b）=b时等号成立.同理有（1-a）2+b2+a2+（1-b）2≥（1-0）2+（b+1-b）2=2，当且仅当（2）：a=1×（1-b）+b×0b+（1-b）=1-b时，等号成立.

综上所述，有a2+b2+a2+（1-b）2+（1-a）2+b2+（1-a）2+（1-b）2≥22.

联立（1）（2）解方程组可知，当且仅当a=b=12时，上式等号成立.证毕.

例3在宽为2千米的河的两岸，各有一点（记为A，B），它们各自离岸边3千米.已知A，B间的距离为10千米，有一人在陆地上行走速度为10千米/时，在水中游泳速度为1千米/时，问此人游泳的起点应在河岸何处，才能使这个人由A到B的时间最短？

解因为陆上的行走速度是游泳速度的10倍，故此人游泳的距离最短为宜，即应垂直河岸游去.如图所示，设E为下水点，CE=x，则

AE=x2+32，

AN=AC+CM+MN=3+2+3=8，

∴BN=AB2-AN2=102-82=6，于是DF=6-x，

BF=DF2+BD2=（6-x）2+32.

设由A到B所用時间为T（x），由题意有

T（x）=2+110[x2+32+（6-x）2+32].

由结论Ⅱ可知，当x=0×3+3×63+3=3时，Τ（x）达到最小值，此x即为所求.

故，此人游泳时的起点应在距离C点3千米处，才能使这个人由A到B所用时间最短.

以上数例可看出，利用线段公理推出的两个解析几何结论与公式去解决代数问题，方法巧妙，且可大大简化求解过程.