由初中数学假设法教学引发的思考

张天富

随着课程改革的不断深入，课改理念深入人心.新课程改革中提出“以学生为主体，教师为主导”的教学理念，潜移默化地带动了初中数学教育，尤其以数学思想和方法为重，而数学思想和方法常常在解决数学难题中起着“导航仪”的作用.本文就以假设法为例，从教材中的例题再到中考题谈一谈由假设法引发的一些教学思考.

一、教材例题的教学思考

问题1 （人教2013版九年级数学上册第82页例2）赵州桥（图1）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥的半径（结果保留小数点后一位）.

这个例题让许多上过这节课的教师都对它念念不忘，透过这个例题不仅可以传授学生把实际问题转化成数学问题的能力，还能传授给学生数学中的两个重要的解题思想——建模思想和方程思想.但在讲解此例题时，也面临着一些的困难.

（一）常规低效教学

通过教师的引导，学生在分组探究学习的过程中不难建立出图2这样一个数学模型，而学生遇到的困难是找到桥的半径，而要找到圆的半径就要找到圆心.这时候摆在教师面前的问题——怎样告诉学生如何寻找圆心.

1.作垂线交点为圆心

有教师按部就班地告诉学生先在弧AB上任取一点记为C点，再连接AC，BC分别作AC，BC的垂直平分线，记两垂直平分线的交点为O，那么O点就是该圆的圆心（如图3所示）.如果学生再追问为什么O点就是圆心，又按部就班地告诉学生到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.如此一来看似解决了圆心的问题，但实际上会给学困生带来更大的学习负担，反而把问题变得复杂了，降低了课堂效率.

2.直接告知圆心找作法

有教师想出了一个折中的办法，那就是这节课先直接告诉学生圆心在哪里，对于如何寻找圆心则放在下次课再来解决.这个方法既满足了这节课的时间要求，又不至于让学生产生上述疑问.此法看似巧妙，实则是为自己挖了几个暗坑（其一，教师记忆力有限，由忘记而忽略了此问题，则会给学生留下一个玩世不恭的处事态度；其二，找圆心的问题放到下节课讲，那么又会占据下节课的时间，使得下节课的课堂效率降低，而且还错过了“趁热打铁”的好机会）.

（二）有效假设法的教学

1.学生自主学习

在教师引导下让学生独立自主学习例题，或者让学生分组合作学习，让学生建立出图2中的数学模型.让学生深入地参与到解题中，获得良好的数学体验，从体验中培养学生分析问题和解决问题的能力.

2.向学生提出问题

安排好学生思考的时间，鼓励学生去思考如何确定圆心.若在限定时间内，无学生找出圆心，则采用数形结合的方法，引导学生观察图2，学生不难想到圆心在弧AB内侧，此时可以向学生“推销”假设法，假设圆心在O点，得到图4.如此一来，学生不难根据图4，建立垂径定理模型，结合方程思想便可算出赵州桥主桥拱所在圆弧的半径.这就遵循了以“教师为主导”的教学理念，引导学生如何分析问题和解决问题.

二、中考试题中的假设法应用

问题2 （摘自遵义市2013年中考试卷第26题（1））如图5所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm.动点M，N从点C同时出发，均以每秒1 cm的速度分别沿CA，CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2 cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0

当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（后面几问略）

如大家所知，本题的解题的关键是运用分类讨论思想、方程思想和待定系数法，可是很少有人注意到假設法也参与了其中，并起着“导航仪”的作用.

解题可能性分析

由题意Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，大多数学生都能根据勾股定理算出弦AB=5 cm.

采用分类讨论的思想并结合假设法得到正确的答案，过程如下：

根据图像，∠A是以A，P，M为顶点和以A，B，C为顶点的两个三角形的公共角，得出点A对应点A；其次，假设∠APM=∠B，则有点P对应点B，点M对应点C，得到△APM相似△ABC此种情况，再结合方程思想算出t=0；接下来，假设∠AMP=∠B，则有点M对应点B，点P对应点C，得到△AMP相似△ABC此种情况，AMAB=APAC，即4-t5=5-2t4，解得t=32，从而进一步得到答案：t=32.

综上所述当，t=32秒时，以A，P，M为顶点的△AMP相似△ABC.

三、总结思考

由于本篇文章重在谈由假设法引发的教学思考，所以有关本题的其他解法暂不讨论.思考此法在教材例题与此题中所起的作用，不仅使得教师讲题的思路清晰，而且方便学生操作，在中考实战中假设法更是大放光彩.这不得不令从事数学教育的工作者深思：

1.新课程改革的教学理念“以学生为主体、教师为主导”在课堂教学中有着宝贵的指导作用与实际意义.

2.作为一名数学教育者，仅仅传授学生基本知识就够了吗？不！从学生发展的长远角度看，更多的还是要传授学生学习数学的方法，“授人以鱼，不如授人以渔”.

3.争做教育改革的先行者，善于发现和吸收先进的教学理念，把理论与实践联系起来，边学习、边实践、边总结、不断创新，最大限度地追求课堂教学的有效性.