高中数学三角函数的解题方式探讨

江小阳

摘 要：对于高中来说三角函数可是非常热门的知识点，也是高考的热门考点。它是高中公认的重难点，重要是指在考试中经常出现，而难点则是指它灵活多变，不容易掌握。而正是由于其灵活多变，也造成其解法也多种多样，常常不会仅局限于一种解法，所以下面就以我的个人见解谈谈三角函数的解法的几大归类。

关键词：高中数学；三角函数；解题方式

三角函数其逻辑性还是比较强的，通过对三角函数的逻辑分析后，不仅可以通透的看待这一类题目，同样可以活化思维以提高学习效率。以下就是我个人对三角函数题型的一些理解和看法。

一、课本理论推导型

在高中课本中，三角函数包含许多方面的理论推导。即正弦、余弦和正切的公式的推导。还有就是正弦 、余弦和正切的图像分布以及三角函数与其他知识点组成的混合题型。而有些题目就是我要说的理论推导型，这类题目喜欢迷惑学生使他们找不到要使用的公式或者说课本理论。因此在面对此类题目时不仅需要掌握牢靠的理论知识，还需注意把握主线，这样不仅能够巩固知识点还能提高学习效率，加深对三角函数的理论的理解。

例题：已知α、β为锐角，当cosα=4/5，tan（α-β）=1/3，求cosβ的值。

例题解析：这就是典型的理论题目，但就这道题来说，难度不是很大，他主要考察的还是对三角函数的理论上的理解能力，此题较为清晰的就能看出是对三角函数的公式的理解和运用。那么我们对于这道题的解答就比较明朗了，运用既有的公式对这道题进行解答。

解：根据既有三角函数公式：cosβ=cos[α-（α-β）]

然后对cos[α-（α-β）]展开

得：cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）

又因为已知条件α为锐角，所以得cosα=4/5，sinα=3/5

根據已知条件α、β为锐角，所以得-π/2<α-β<π/2

且根据已知条件tan（α-β）=1/3，所以得0<α-β<π/2

根据以上条件我们可得cos﹙α-β﹚=/10，sin（α-β）=/10，cosβ=/50

思考：从例题1我们可以清楚的感受到这道题反复运用的就是课本上三角函数理论知识的诱导公式和和差公式等。所以这类题目需要对基础知识的牢靠掌握，熟练掌握各个公式之间的变化，对公式的变化有较为明确的理解。这道题目是为了体现其题型，有些有难度的此类题目，他主要是迷惑学生，让其困惑找不到要使用公式。所以这类题目它的解题方式就是找到题目的主干，然后分析已知条件，对照课本公式的变化转到要求解的目标上。这就是此类题目的大致的解题思路。

二、三角函数角度型题型

这类题型的特点就非常明显，由于大纲要求对三角函数的特殊角度有记忆要求，但是对非特殊角度并没有记忆要求。所以此类题目就要求学生运用已知角度求解未知角度，通过三角函数的和差公式及诱导公式求得未知角度的解。

例题：求sin10° sin30° sin50° sin70° 的值

例题解析：我们都知道除了其中的30° 是大纲要求记忆的特殊三角函数角度，其余的都是未知的三角函数的角度，若不对未知的三角函数角度进行查表得其值，那么就要求对这些未知角度进行拆分，得出与三角函数特殊角度值相关的变形公式。

首先我们可以先对sin10° sin30° sin50° sin70° 进行变换，将sin公式改为cos公式。所以可得：sin10° sin30° sin50° sin70°1/2cos80° cos60° cos40° cos20°这样我们就发现cos公式的角度都成倍角关系，自然就想到倍角公式，然而倍角公式sin2α=2sinαcosα，所以我们就需要对该公式进行变形得到cosα=sin2α/2sina，理解贯通这些解题也就非常明了了。

解：sin10° sin30° sin50° sin70°=1/2cos80°cos60°cos40°cos20°=1/16·sin160°/sin20°=1/16

思考：这些角度问题就属于比较生涩的题目了，因为三角函数的公式比较繁多，所以题目的设计也就多种多样了。这道题目运用了正弦余弦的转换和二倍角公式。但是如果学生不尝试对正弦余弦转换的话，思路就不能展开，解题同样就无望了。所以这类题目不仅仅要求学生扎实的基本功，更要求有一定的思维扩展的创新性。

所以，对于高中三角函数来说，对我们最难的就是各种各样公式进行变换，为什么要变换就是为了化简原来的公式，简化后的公式在对应其要求的求解值，我们的思路就非常容易被打开。在这种状况下，我们对于运用各中公式将问题简化也就更加得心应手，提高我们的破题的效率，缩短解题的时间，在考试时就能解放出更多的时间来解其他题目。但是有一点我们必须时刻注意，那就是千万千万不要审错题目，一旦审错题目不仅会浪费时间，还会使自己丈二和尚摸不着头脑，对题目无从下手。面对题目沉着冷静，活用多种方式解题，可以有效的锻炼我们的数学思维能力。

参考文献：

[1]吴婉君. 现行五个版本高中数学教材三角函数内容的比较研究[D].广州大学，2016.

[2]刘凤双. 高中数学三角函数变式教学的认识研究[D].曲阜师范大学，2016.

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[4]马文杰. 高一函数教学中学生数学解题错误的实证研究[D].华东师范大学，2014.