温日明
(江西省信丰中学 341600)
抓住几何本质,避繁就简解题
温日明
(江西省信丰中学 341600)
通过比较常规解法和几何解法的优劣,说明抓住条件中的几何本质,利用数形结合解题的简洁性.
几何本质;避繁就简;解题
在学习数学的过程中,我们经常会遇到一些题目,常规方法求解比较繁琐,甚至做到中途做不下去,然而若换个角度,抓住条件中的几何本质,利用数形结合,往往会得到一些简洁解法,这是数学解题很重要的方法之一.下面试举几例,以飨读者.
例1 (2015江苏高考,10)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .
简解易知直线mx-y-2m-1=0(m∈R)恒过定点(2,-1),
∴当点(2,-1)为切点时圆的半径最大,
∴半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.
评析常规解法利用圆心到切线的距离等于半径,结合基本不等式求解,也行得通.简解抓住直线恒过定点,结合图形分析可知结果,简便易行.
例2 过圆O:x2+y2=2外一点A(3,1)引圆的两条切线,切点分别为T1,T2,则直线T1T2的方程为 .
常规解法易知切线存在斜率,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,
∴切线方程分别为x-y-2=0或x+7y-10=0.
∴直线T1T2的方程为x+2y-3=0.
简解如图1,以A为圆心,AT1为半径作圆,由切线长相等知圆A过必点T2,故T1T2是圆O与圆A的公共弦.
∴圆A的方程为(x-3)2+(y-1)2=8,
又圆O的方程为x2+y2=2,
相减得直线T1T2的方程为x+2y-3=0.
评析常规解法采用先求切点坐标,进而求出切点所在直线方程的方法,运算量较大.简解抓住切线长相等,T1,T2均在以A为圆心,AT1为半径的圆上,利用两圆公共弦求解,大大减少了运算量.
例3 在直角坐标平面内,与点A(1,2)的距离为1,且与点B(3,1)的距离为2的直线l共有 条.
常规解法显然直线l存在斜率,设l的方程为y=kx+b,
∴直线l共有2条.
简解∵点A,B到l的距离分别为1,2,
∴l是以A为圆心,1为半径的圆和以B为圆心,2为半径的圆公切线,而圆A,圆B是相交的,∴直线l共有2条.
评析常规解法以计算为主,难点在于方程组求解繁琐.简解巧在思考,看出l是两圆的公切线.
例4 (2014江西高考,9)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为
图2
简解如图2,∵A,B分别在x轴,y轴上,
∴OA⊥OB,
∴以AB为直径的圆C必过原点
O.又∵圆C与直线2x+y-4=0相切,
∴圆C直径的最小值为点O到直线2x+y-4=0的距离,
评析本题常规解法是设A,B的坐标,表示出圆C的半径,求出半径的最小值,从而求出面积的最小值,但求半径的最小值却很麻烦,许多学生因此半途而废.简解抓住圆C必过原点O这一特征,巧妙转化,简洁算出半径,可谓避繁就简.
[1]施富英.看透本质,巧思妙解[J].中学数学研究(南昌),2015(12):38-39.
G632
A
1008-0333(2017)31-0013-02
2017-07-01
温日明(1976-),男,江西信丰人,本科,中学高级教师,从事高中数学教育研究与初数研究.
杨惠民]