问题结构化：从“木匠数学”走向“理性数学”

江苏苏州沧浪新城第二实验小学 刘 玮 施惠芳

刘 玮江苏省特级教师，中学高级教师，南京师范大学教育博士，江苏省人民教育家培养工程培养对象，江苏省人民政府教育督导团专家组成员。

多年来致力于小学数学教学理论与实践研究、学校管理秩序的优化和学校内涵发展，主持多项省级以上教育科学研究课题。出版个人专著《小学数学理想课堂构建与探究》《小学生多元发展与和谐教育研究》。

问题结构化：从“木匠数学”走向“理性数学”

江苏苏州沧浪新城第二实验小学 刘 玮 施惠芳

学生理性思维品质、批判质疑意识和探索创新精神是学生核心素养的重要组成部分，也是小学数学深度教学的应然追求。以问题结构化为引领，让学生完善结构型认知，经历数学化过程，深化批判式思维，涵泳理性精神是实现深度教学有效的方法和路径。

深度教学 问题结构 木匠数学 理性数学

数学教育家项武义先生曾用形象的比喻解释中外古代数学教育的差异，他认为中国的古代数学教育多是“木匠数学”，而古希腊的数学教育则是“理性数学”。“木匠数学”多表现为实用性、实践性数学知识、思想与方法，而“理性数学”则多表征为缜密的推理、概括与抽象，更突出数学的理性精神。《中国学生发展核心素养》指出，要让学生拥有科学精神，必须注重培育学生的理性思维、批判质疑和勇于探究等品质。那么，如何在小学数学教学中实现从“木匠数学”走向“理性数学”的转变，进而培养学生的理性精神呢？走出单一直觉与经验教学的窠臼，以结构化的问题贯串教学，引领学生完善结构型认知，经历数学化过程，启迪批判式思维，涵泳理性精神，实施深度教学是促进学生理性思维发展的有效途径，也是数学学科教学落实核心素养要求的行动应答。

一、“由点及面”地问，让学生完善结构型认知

在小学数学教材中，知识编排常常散布于不同年段，学生习得的知识点往往以“散装碎片”的方式贮存。唯有及时地盘点清理“信息碎片”，才能把相对独立的知识点串成线、集成块、连成网，从而促使学生经历知识形成、层递与发展的整个过程，形成结构性数学思考的方法体系。

“平面图形的面积总复习”是六年级下学期的一节复习课。我们常见的教学设计往往是这样的：通过提问，集中呈现小学阶段学过的常见图形，以及面积计算公式，然后让学生在小组中进行交流，汇报面积计算公式的推导过程，从而沟通知识之间的内在联系。反思这样的设计，总感觉老师“牵”得太多，放得不够。教师虽然有构建知识网络的意识，但学生没有经历自主建构过程。特级教师贲友林曾执教过这节课，其独特的教学设计让笔者至今仍记忆犹新。课始，贲老师就抛出问题：“我们已经学习了一些平面图形的面积计算方法，请思考我们为什么要先学习长方形的面积计算呢？”这样的问题，可能是以往教师研读教材时思考的问题，贲老师将此移植到数学课堂中，以这一思维含量极高的大问题组织学生讨论，推动学生自主地把各个平面图形的面积计算与长方形联系起来，然后让学生在讨论的基础上用画图的方式外化他们的想法，并在交流之后，将学生绘制的其中一种平面图形面积计算关系图旋转180°，以此形象地呈现平面图形面积计算的“知识树”。

纵观贲老师的教学，以“一问”引领“一课”，用一个核心问题串起平面图形面积计算的整片知识，学生在“由点及面”的大问题引领下，自主建构知识网络，在整体化的思考中促进学生深度学习的达成。

二、“由表及里”地问，让学生经历数学化过程

新知识来源于哪里，其与学生原有认知结构中的知识有着怎样的实质性联系？学生现在在哪里，要到哪儿去？这是儿童与新知相遇前老师必须厘清的问题。唯有从学生已有的学习经验出发，引领其运用数学的方法观察现实世界，沟通新旧知识之间的关联，去分析、探究、概括，在追根溯源的“数学化”过程中经历知识的发生过程，学生的思维才有发展的可能。

《用数对确定位置》是苏教版数学四年级下册的内容，主要包括规则的认识和用数对确定位置的方法，学生学起来比较简单。通常教学的重点会放在对数对的认识与应用上，即比较关注“是什么”的教学，但这样的教学未免显得浅尝辄止。其实，看似简单的数学知识往往背后蕴含着深刻的数理。我们应该带领学生突破表层，由表及里，实现对所学知识的深度理解。

课始，教师出示班级学生座位图并提问：“这是班级的场景图，想知道班长在哪里吗？”顺势出示：班长的位置是第2排第5个。学生开始按照自己的理解与经验寻找，老师组织学生讨论自己的答案和采用的方法，结果出现了四种不同的答案，引发了认知冲突。老师继而追问：“为什么同一个位置，大家却找到了不同的人？”“每个人都有自己找班长的方法，但班长只有一个，那该怎么办？”引发学生思考与讨论，进而明确要“统一规则”。教师出示规则后再次让学生“找班长”，对比提问：“刚才同一个位置大家找到了不同的班长，现在同一个位置全班都找到了同一个班长，这是什么原因？”

以上片段，老师在执教这一内容时，教学的重点从规则内容的学习转至对规则的必要性与价值的体会上，即由关注“是什么”转为关注“为什么”。围绕“班长的位置在哪里”这一主问题展开，制造冲突，引发统一认识，并通过对比反思体会规则的价值，直入数学知识本源。

课中，教师又将班级场景图抽象成点子图，要求学生用第几列第几行的方式表示其中的某个点。接着提出要求：限时用第几行第几列的方法记录1～8号学生的位置。然后组织交流，进而追问：“大家都会记却记不完是什么原因？怎样能又快又准确地确定位置？”学生自主创编记录方法，进而提炼，最后达成共识。这一片段，围绕“怎样才能又快又准地确定位置”这一主问题，学生展开自主学习，经历了发现问题、解决问题的过程，学生在创造的过程中不断接近数对知识的本质。此时，学生完全是探索者和发现者，不仅完整经历了数对的认识、理解与表达的过程，更深切地体会到了数对确定位置的简洁与准确。

三、“由疑到证”地问，让学生养成批判式思维

从数学学习的进程来看，数学思维的展开一般要经过两个层级：第一个层级是基于数学信息的分析，产生冲动、困惑；第二个层级是依托信息之间的关系，思考解决问题的方法和策略。“学起于思，思源于疑”，疑惑或问题容易引起人的探究反射，当一个人对某一事物与现象产生疑惑的时候，思维的火花已经悄然生发。

苏教版数学四年级中有这样一道例题：四年级一班有22个男生，平均身高140厘米；18个女生，平均身高142厘米。全班学生的平均身高是多少厘米？这其实是一道求加上权平均数的题目，一些学生会认为只要用男生的平均身高加上女生的平均身高除以2来计算即可，这种错误认识在加权平均数的计算中非常普遍。对此，教师在教学时不是仅从正面强化训练，让学生对照“平均数=总数量÷总份数”进行列式计算，而是设计这样的情境。如下图，鼓励学生多角度思考，用不同的方法算出平均每

组有多少个算珠，接着引导学生进行不同方法的比较，学生发现“（6+4）÷2”最为便捷。在之后解答“全班学生平均身高是多少厘米”这一问题时，学生出现了两种不同的解法：（1）（140×22+142×18）÷（22+18）=140.9（厘米），（2）（140+142）÷2=141（厘米）。 两个不同的答案，学生议论纷纷。教师抓住机会组织双方展开辩论。一组用“平均数=总数量÷总份数”证明自己的思考正确，一组认为“把男、女生两个平均数相加再除以2，就是全班学生的平均身高”，并以刚才“求平均每组算珠的个数”反诘，此时教师没有做出评判，顺势说：“刚才大家都认为那是最便捷的方法，请观察这两幅图，它们一样吗？”学生盯着那幅图展开积极思考。一阵沉默后，学生终于“炸开”了：刚才两种颜色算珠的组数是一样的，都是3组，所以可以这样算，但现在男女生人数是不一样的，所以不能这样计算。如果男女生人数相等就可以了。此时，教师对原题进行修改，女生由18人改成22人，再要求学生用自己的方法计算，结果列式不同，得数相同。此时学生领悟其中原委，只有当份数相同时才能用平均数求平均数。老师再次质疑：“不改变女生人数，全班学生的平均身高偏向于男生还是女生？”学生从实例中观察发现男生人数多，答案偏向于男生的平均身高。

在整个学习过程中，教师多次设疑，反复质问，引导学生在比较反思中不断接近真理、去伪存真。此过程不仅使学生知道求平均数的一般思考方法与特殊方法之间的关系，而且学会了在普遍性原理指导下，从特殊性出发灵活地解决问题，提高了解决问题的能力，学生思维在思辨中走向理性。

四、“由下而上”地问，让学生涵泳理性精神

从“木匠数学”走向“理性数学”，需要从直觉、经验走向理性，在教学中，我们要引导学生寻找充分的思维依据，对问题进行观察、比较、分析、综合、抽象，进而概括出数学的本质。合理而有梯度的问题，不仅有利于问题研究的展开，更有利于问题探索的深入。从具体的经验和直觉之“形而下”的问题出发，走向理性思维之“形而上”的问题概括，是学生数学理性思维品质形成的必经过程。

例如，在复习“平面图形的面积计算”时，引导学生对平面图形面积计算的相关知识进行梳理后，我设计了以下几组问题展开教学。

第一组问题：

问题1：观察下面一组图形，计算这四个图形的面积，你有什么想法？学生自由阐述后，计算这四个图形的面积。

问题2：它们的面积为什么会相等？如果要画一个三角形，它的面积是平行四边形的一半，你会怎么画？

问题3：在你画的这个三角形上，再画一个和它等底等高但形状不同的三角形，你会画吗？这些三角形形状不同但面积相等，仔细观察，你有什么发现？

基于此，讨论：下图A、B这样的图形面积相等吗？

第二组问题：回顾作图要求，画一个面积是平行四边形面积一半的三角形。

问题1：面积是平行四边形的一半，只能是这些底4厘米、高6厘米的三角形吗？

问题2：多想一想，就出现了这么多的情况。这些既不等底又不等高的三角形，面积怎么就相等呢？

第三四组问题：

问题1：仔细观察，这个三角形和梯形，面积相等吗？为什么？（如图1）

图1

图2

图3

动画演示：梯形上底缩短一格，同时下底延长一格。（如图2）

问题2：仔细观察，现在的图形与原来相比，有什么联系？

继续动画演示：上底缩短一格，同时下底再延长一格。（如图3）

问题3：想象一下，这样继续下去会怎样？

根据学生回答，动画演示：梯形上底缩为一点，下底延长，成为一个三角形。

问题4：你是怎么知道这个三角形和原来的梯形面积相等的？此问题意在让学生知道求梯形面积并不是一定要转化成平行四边形再来推导，我们也可以把梯形转化成三角形，再根据三角形的面积计算公式来推导。此后，教师介绍《九章算术》中梯形计算面积公式的推导过程。

以上四组问题，其涵盖了三个维度的指向：第一维度指向于“横向数学化”，着力于让儿童已有的数学经验与新的数学知识发生关联；第二维度指向于“纵向数学化”，着力于让儿童的数学思维生成、重塑与再发展，从而建立起数学知识之间的联系；第三维度则指向“横向数学化”与“纵向数学化”的融通，着力于知识的系统化建构。

深度教学是让儿童深度参与教学过程、深刻掌握学习内容的教学。“深度参与教学过程”旨在实现儿童与教材、儿童与教师之间全面而充分地交流，其是深度教学的过程性特征；“深刻掌握学习内容”是指儿童实现自身已有经验与所学内容的深度融合，其是深度教学的结果性特征。“问题结构化”则是一种“桥梁”，它使学习者与教学过程、学习内容实现了深度契合式的相遇。至此，我们不仅仅给予了学生“木匠数学”的直觉与经验，还给予了学生“理性数学”的分析归纳、批判质疑和系统思考。♪

[1]郑毓信.以“深度教学”落实数学核心素养[J].小学数学教师，2017（9）.

[2]刘玮.回到数学本身：让儿童在思考中学习——核心素养视域下儿童数学思考的教学建构[J].小学数学教与学，2017（8）.

[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[4]崔允漷.追问“核心素养”[J].全球教育展望，2016（5）.

[5]钟启泉.“核心素养”赋予基础教育以新时代的内涵[J].上海教育科研，2016（2）.

[6]罗祖兵.深度教学：“核心素养”时代教学变革的方向[J].课程·教材·教法，2017（4）.