《方程的根与函数的零点》教学设计

向大勇

一、教学任务分析

1.通过对二次函数图像的描绘，理解函数零点的概念，体会在解决问题过程的一般思维方法。

2.通过对一般函数图像的描绘分析，领会函数零点与相应方程的关系，掌握零点存在的判定条件，培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。

二、教学重点与难点

重点：零点的概念及对零点存在性定理的准确理解。

难点：零点所在区间的确定。

三、教学基本流程

四、教学过程设计

（一）创设情境，感知概念

1.实例引入

解方程：（1） ；（2） .

意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情.

2.一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系

问题1：方程的根与对应函数图像与x轴交点之间什么关系？

填空：

问题2：这个结论对一般的二次函数和方程都成立吗？

学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标.

意图：通过对二次函数图象与相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备.

3.一般函数的图象与方程根的关系

问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例！

师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，用几何画板展示如下函数的图象：

y=2x-8， y=ln（x-2）， y=（x-1）（x+2）（x-3）

意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫.

（二）辨析讨论，深化概念

4.函数零点

概念：对于函数y=f（x），把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点.

问题4：零点是不是点？零点是不是f（0）？

〖即兴练习〗函数f （x）= 的零点为_______

意图：及时矫正“零点是交点”这一误解.

5.归纳函数的零点与方程的根的关系

问题5：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？

（1）联系：方程f（x）=0有实数根?函数y=f（x）的图象与x轴有交点?函数y=f（x）有零点.

（2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言.

意图：函数问题与方程问题有时可以相互转化，这正是函数与方程思想的基础.

（三）实例探究，归纳定理

6.零点存在性定理的探索

问题6：需要怎样的条件，函数y=f（x）在区间[a，b]上一定有零点？

探究：（1）观察二次函数f（x）= 的图象：

在区间[-2，1]上有零点______；f（-2）·f（1）_____0（“<”或“>”）.

在区间（2，4）上有零点______；f（2）·f（4）____0（“<”或“>”）.

（2）观察函数的图象

①在区间（a，b）上___（有/无）零点；f（a）·f（b） ___ 0（“<”或“>”）.

②在区间（b，c）上___（有/无）零点；f（b）·f（c） ___ 0（“<”或“>”）.

③在区间（c，d）上___（有/无）零点；f（c）·f（d） ___ 0（“<”或“>”）.

意圖：通过归纳得出零点存在性定理.

7.零点存在性定理

若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点.即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根.

〖即兴练习〗下列函数在相应区间内是否存在零点？

（1）f（x）= ，x∈[ ，2]； （2）f（x）= ，x∈[3，5].

意图：通过简单的练习适应定理的使用.

（四）正反例证，熟悉定理

8.定理辨析与灵活运用

例1 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：

（1）已知函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）·f（b）<0，则f（x）在区间（a，b）内有且仅有一个零点. （ × ）

（2）已知函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）·f（b）≥0，则f（x）在区间（a，b）内没有零点. （ × ）

（3）已知函数y=f（x）在区间[a，b]满足f（a）·f（b）<0，则f（x）在区间（a，b）内存在零点.（ × ）

意图：通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出，促进对定理的准确理解.

9.练习

（1）已知函数f （x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）对应值表：

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有 （ C ）

（2）方程 的根所在的大致区间为 （ B ）

意图：一方面促进对定理的活用，另一方面为突破后面的例题铺设台阶.

（五）总结整理，提高认识

（1）一个关系：函数零点与方程根的关系：

（2）两种思想：函数方程思想；数形结合思想.

（3）三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间.

（六）布置作业，独立探究

1.课后练习

2.思考题

方程 在区间______内有解，如何求出这个解的近似值？请预习下一节。