不等式的若干证明方法

秦丽萍

证明不等式同大多数数学问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。由于不等式的形式多种多样，所以不等式的证明方法也就灵活多样，具體问题具体分析是证明不等式的精髓。

一、比较法

（一）作差比较法

作差比较法的理论依据是：A- B>0 A>B；A- B<0 A

不等式两边的差的符号是正或负，一般必须利用不等式的性质经过变形后才能判断。变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少。

例 证明：

证明：

， ，

从上面例子我们可以看出作差比较法证明不等式的基本思路是：

① 作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。

②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。

③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。

（二）作商比较法

作商比较法的理论依据是：若 >1，且A>0，B>0，则A>B。

例 已知a，b均为正数，求证 ≥

分析：由于要比较的两式呈幂的结构，故采用作商比较法证明。

证明：令 ，

当a>b时， >1，a-b>0，由指数函数的性质，得 >1；

当a1；

当a=b时，显然 =1.

∴ 、 均为正数且有 >0，始终满足 ≥1

即 ≥1 故 ≥

从上面例子我们可以看出作商比较法证明不等式的基本思路是：作商→将商变形→判断商与1的大小→得出结论。

二、综合法

证明不等式，也可根据不等式的性质和已经证明过的不等式来进行。这就是用综合法来证明不等式。综合法也称公式法或均值不等式法。

综合法是“有因导果”，即由已知条件出发，推导出所要证明的不等式成立。但在运用不等式的性质和已经证明过的不等式时，要注意他们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误。

三、分析法

从要证的不等式出发，逐步分析能使不等式成立的充分条件直到所需条件已确认为正确的，即可断定不等式是成立的，这种证法叫分析法。

分析法证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

分析法的两个重要策略原则是：正难则反原则，即若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯；简单化原则，即寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式。

四、反证法

先假定要证不等式的反面成立，然后推出与已知条件（或已知真命题）和矛盾的结论，从而断定反证假定错误，因而要证不等式成立，这种证明不等式的方法叫反证法。

反证法的基本思想是通过否定结论，导出矛盾，从而肯定结论。

五、放缩法

在不等式证明中，经常用“舍掉一些正（或负）项”而使等式的各项变大（或小），或在分式中利用放大或缩小分式的分子分母，从而达到证明的目的，这种证明不等式的方法叫放缩法。

例 已知a，b∈R，且a+b=1. 求证：

证明：∵

∴左边= =右边.

放缩法常用的方法有：

①适当添加或舍去一些正项或负项，如： ； ；

②若分式的分子、分母均为正数，则可把分式的分子、分母适当放大或缩小，以达到对分式放缩的目的。

③利用基本不等式，如： ；

；

④利用函数的单调性，函数的值域进行放缩

① 利用常用结论：

； ； ；

。

有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度。

六、换元法

换元法主要指三角代换法，若原不等式的代数式，经过适当的三角换元，或代数换元，使证明过程简化时，则可通过换元法证之。

换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

换元法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题。

七、判别式法

判别式法主要利用一元二次方程根的判别式法。

例 已知a，b∈R，且a+b=1. 求证：

证明：设y=（a+2）2+（b+2）2，由a+b=1，有 ，

所以 ，

因为 ，所以 ，即 .

故 .

八、数形结合法

数形结合是指通过数与形之间的对应转化来解决问题。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形的转化，可以培养思维的灵活性，形象性。通过数形结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。

无论用什么方法来证明不等式，都需要对数学表达式进行适当的变形。这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口。