随机利率下标的资产价格波动率服从有限马尔可夫链的欧式看涨期权定价*

王剑君

(湖南工程学院 理学院，湘潭 411104)

随机利率下标的资产价格波动率服从有限马尔可夫链的欧式看涨期权定价*

王剑君

(湖南工程学院 理学院，湘潭 411104)

设利率随机，股价波动率为马尔可夫过程，在综合考虑利率和股价模型的基础上，推导了随机利率和随机波动率下欧式看涨期权的定价公式.

随机利率；随机波动率；马尔可夫链；欧式看涨期权

0 引言

众所周知，在几何布朗运动中，利率和波动率均为常数，Robert C.Merton、Myron S.Scholes、Fischer Black推导的欧式看涨期权的定价方法(即B-S模型)在经济学界引起了轰动，Merton和Scholes由于他们所做的巨大贡献获得诺贝尔经济学奖这一殊荣.

但B-S模型与实际情况并不完全符合，为改进B-S模型，学者们提出了很多种方法：如引入随机利率、引入随机波动率，引入随机跳，还有将布朗运动用分数布朗运动来代替以及假定期权具有随机寿命等等.本文结合了前两种方法，推导了随机利率和随机波动率下的欧式看涨期权的定价公式.

1 随机利率模型

设借贷利率不是常数，而是随机的，考查模型(Ⅰ):

为简单起见，假定市场只有两种证券，一种是无风险证券即债券，其价格满足

dB(t,T)=B(t,T)[r(t)dt

(1)

另一种是风险证券即股票，作为标的资产，其价格满足

dS(t)=S(t)[(μ(t)-q(t))dt

(2)

文献[1]将模型(Ⅰ)转化为模型(Ⅱ):

dB(t,T)=B(t,T)[r(t)dt

(3)

dS(t)=S(t)[(μ(t)-q(t))dt

(4)

dV(t)=α(t)dS(t)+β(t)dB(t,T)+q(t)α(t)S(t)dt

(5)

则称此交易策略α(t),β(t)为自融资交易策略.

在文献[1]中，令

(6)

(7)

θ(t)=

若定义Q,使得

则可证明以下引理.

引理 欧式未定权益V(t)=g(S(T))在t时刻的无套利价格为

V(t)=B(t,T)EQ[g((S(T))Ft]

2 随机波动率模型

如果股价波动率不是常数，而是随机的，服从时齐次马尔可夫链.将过去某一时刻到现在的一个时间段作为考查的样本期，均分该样本期，分析每一时间区间中每天的股价和收益率从而推导出每一时间区间的股价波动率为σi(i=1,2,3…,m),得到这个马尔可夫链的m个不同的状态，进一步可得前一个时间区间股价波动率为σi，而后一个时间区间变为σj的概率pij(Δt)(i,j=1,2,…,m),那么一步转移概率矩阵为：

设到期日T=nΔt,根据Chapman-Kolmogorov方程求得pij(nΔt)=p(σ(t+nΔt)=σjσ(t)=σi),由全概率公式可得

记P(t)=(p1(t),p2(t),…,pm(t))，pi(t)为t时刻股价波动率为σi(i=1,2,…m)的概率，根据全概率公式可以计算出T时刻股价波动率的预测模型为：

3 随机利率下标的资产价格波动率服从有限马尔可夫链的期权定价

3.1 随机利率下欧式看涨期权的定价

设利率满足方程(1)，敲定价格为K,由引理知T时刻的股票价格为：

从而

因此

设S(T)和lnS(T)的分布函数分别为FS(T)(x)和FlnS(T)(x)，则

FS(T)(x)=P(S(T)

两边同时对x求导得：

C(t)=B(t,T)EQ[g(S(T))Ft]=

B(t,T)EQ[max(S(T)-K,0)Ft]=

dS(T)=

B(t,T)I1-KB(t,T)I2

N(d2)

d2=

N即为N(0,1)的分布函数Φ(x)，F1为N(μ*,σ*2)的分布函数.

其中F2为N(μ*+σ*2,σ*2)的分布函数；d1=d2+v(t,T)

因此随机利率下欧式看涨期权在t时刻的价格为

3.2 随机利率下标的资产价格波动率服从有限马尔可夫链的欧式看涨期权定价

与3.1条件相同，若股价波动率在T时刻的概率分布为(p1,p2,…pm)，即T时刻S(T)的概率密度为fi(S(T))的概率为pi(i=1,2,…,m)，由于该马尔可夫链与相应的布朗运动相互独立，从而可得T时刻S(T)的概率密度为

故随机利率下标的资产价格波动率服从有限马尔可夫链的欧式看涨期权在t时刻的价格为

C(t)=B(t,T)EQ[g(S(T))Ft]=

B(t,T)EQ[max(S(T)-K,0)Ft]=

C(t,σi)为T时刻股票价格波动率为σi时欧式看涨期权在t时刻的价格.由3.1知

d2=

因此可以得出结论：随机利率下标的资产价格波动率服从有限马尔可夫链的欧式看涨期权价格，是以T时刻股价波动率为σi的欧式看涨期权在t时刻的价格C(t,σi)的加权和，其权重就是T时刻股价波动率为σi的概率pi.

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PricingofEuropeanCallOptionUnderStochasticInterestRatesAssumingVolatilityofPriceofUnderlyingAssetsFollowsaFiniteMarkovChain

WANG Jian-jun

(College of Science, Hunan Institute of Engineerning, Xiangtan 411104, China)

Assuming that the interest rates is a stochastic process and the volatility of stock price follows a Markov process,this paper derives the pricing formulas of the European call option under the stochastic interest rates and stochastic volatility,considering comprehensively the interest rates and the models of stock price.

stochastic interest rates; stochastic volatility; markov chain; the european call option

2017-05-17

王剑君(1973-)，女，硕士，副教授，研究方向：随机分析及其应用.

F830.9；O211.6

A

1671-119X(2017)04-0048-04