Lyapunov第二方法在非线性控制中的应用解析

魏萍

摘要：Lyapunov方法是进行系统稳定性分析和控制设计的重要工具。关于稳定性分析方面的应用，在一般教材和参考资料中都进行了详细的介绍。本文准备对Lyapunov第二方法，在非线性控制设计方面的应用進行解析说明。本文首先介绍了Lyapunov第二方法的基本内容，并说明了如何结合LaSalle不变原理拓宽Lyapunov函数的选择范围。然后针对两个具体例子，演示了应用Lyapunov第二方法，以及结合LaSalle不变原理，进行控制律设计的过程，并对设计的控制律进行了系统仿真验证。

关键词：Lyapunov第二方法；非线性系统；非线性控制；LaSalle不变原理

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）51-0171-03

一、引言

1892年俄国学者Lyapunov发表了论文《运动稳定性一般问题》，给出了分析常微分方程组稳定性的两个方法，分别称为Lyapunov第一方法和Lyapunov第二方法[1，2]。其中Lyapunov第二方法通过选取一个正定的标量函数（代替之前分析系统稳定性的能量函数），进而研究标量函数沿着目标系统轨线随时间的变化情况，得出目标系统平衡点的稳定性结论。这种可应用于线性和非线性、时变和时不变系统的稳定性分析手段，不需要求解微分方程，是稳定性理论的重要组成部分，同时也是控制分析和设计的重要工具。

关于Lyapunov第二方法的讲解，不仅出现在本科生的自动控制原理II或现代控制理论课堂中，也可能在研究生课程非线性系统或非线性控制课堂上作为重要内容[3，4]。不过一般教材或研究资料中，只是介绍和示例相关定理，以及其在稳定性分析中的应用，很少介绍其在非线性系统控制中的应用[5-7]。另外应用Lyapunov第二方法通常是首先选取一个正定的标量函数，然后要求这个标量函数关于系统的时间导数是负定的。这个负定的要求有时候会造成我们很难选到合适的Lyapunov函数，而LaSalle不变原理弥补了这个不足，拓宽了Lyapunov函数的选择范围。所以本文在这里准备对Lyapunov第二方法，以及在某些时候结合LaSalle不变原理，在非线性系统控制中的应用过程进行解析说明，详细分析其中应该注意的事项，并通过具体例子进行演示，相关内容可作为学习相关课程学生的课外研究作业。

二、Lyapunov第二方法的主要内容

设非线性方程组如下，

■=f（x），存在x■使得：f（x■）=0. （1）

其中x是n维状态变量，f（x）是n维函数向量，关于x连续可微。假设平衡点x■=0，若x■≠0，则可通过平移y=x-x■，得到平衡点是零的非线性系统。若f（x）定义在区域D上，存在连续可微的正定函数V（x），成立：

■（x）=■f（x）<0，x∈D （2）

则x■=0是系统（1）的渐近稳定平衡点。另外若D=R■，且

‖x‖→∞？圯V（x）→∞ （3）

则x■=0是系统（1）的全局渐近稳定平衡点[3，4]。

注记1：以上关于Lyapunov定理的描述仅选择了（全局）渐近稳定部分，因为从工程应用和控制设计的角度来看，系统需要具有Lyapunov意义下的渐近稳定性，仅符合Lyapunov意义下的稳定性是不够的。

注记2：式（2）要求V函数关于时间t的导数负定，这个苛刻的要求限制了函数V的选择范围，增加了我们选择适当V函数的难度。而LaSalle不变原理可以降低这个难度，也就是相对拓宽函数V的选择范围。

在应用Lyapunov第二方法时，结合LaSalle不变原理，确切地说是结合LaSalle不变原理的推论。因为LaSalle不变原理本身研究的是集合的收敛性，其推论针对的是特殊的集合，即孤立的平衡点。关于这些理论之间的关系，这里不进行赘述，感兴趣的读者可参考相关文献[3，4]。LaSalle不变原理的推论，关于式（2）的修正就是，满足半负定即可，同时再加一个条件：

集合S=x∈D？摇■（x）=0中系统的解仅包含x≡0。

则系统平衡点x=0是渐近稳定的；进一步，若D=R■，且条件（3）成立，则对应全局渐近稳定性。

注记3：Lyapunov稳定性或渐近稳定性，讨论的是平衡点的稳定性，并且Lyapunov定理中描述的平衡点均默认为原点。所以在进行控制律设计时，若系统平衡点非零，需先通过平移将平衡点变为原点，然后设计控制律u=g（x）成立g（0）=0，以保证原点是闭环系统的平衡点。

三、实例分析

例1 旋转的刚体航天器方程[4]：

J■■■=（J■-J■）ω■ω■+u■

J■■■=（J■-J■）ω■ω■+u■ （4）

J■■■=（J■-J■）ω■ω■+u■

其中ω=[ω1 ω2 ω3]T是沿主轴的角速度向量，是系统的状态变量；u=[u1 u2 u3]T是相对主轴的转矩向量，是系统的控制变量；J=[J1 J2 J3]T是相应转轴的转动惯量，是系统参数。控制目标：通过设计转矩向量u使得系统平衡点ω=[0 0 0]T渐近稳定。

选用V（ω）=1/2（J■ω■■+J■ω■■+J■ω■■）作为备选Lyapunov函数，沿着系统（4）关于时间求导：

■（ω）=J■ω■■■+J■ω■■■+J■ω■■■

=ω■u■+ω■u■+ω■u■

为保证上式负定，选择u■=-k■ω■，i=1，2，3，k■>0，则

■（ω）=-k■w■■-k■w■■-k■w■■<0

另外，当‖ω‖→∞时，V（ω）→∞。所以选定的控制律可保证系统原点的全局渐近稳定性。

例2 负阻抗振荡器状态空间方程[4]：

■■=x■/ε

■■=ε[-x■+x■-1/3x■■+u] （5）

其中x1是通过电感的电流，x2是电容兩端的电压；u是输入系统的电压，作为控制变量；ε>0是系统参数。控制目标：设计系统的输入电压u使得系统平衡点x=[0 0]T渐近稳定。

选择V（x）=1/2（ε■x■■+x■■）作为备选Lyapunov函数，沿着系统（5）关于时间求导：

（x）=ε■x■■■+x■■■

=εx■■-1/3εx■■+εx■u

（1）选择u=-kx■，k>1，则

■（x）=-ε（k-1）x■■-1/3εx■■≤0

上述表达式是半负定的，故不能由Lyapunov定理直接得出渐近稳定的结论。此时可考虑借助不变原理的推论，由于

■（x）=0■■=0，■■=0？圯x■=x■=0

则设计的控制律可以保证系统原点的渐近稳定性。

（2）选择u=-k■x■■x■-k■x■，k■>0，k■>1，则

■（x）=-ε（k-1）x■■-1/3εx■■-εk■x■■x■■≤0

表达式仍然是半负定的，故不能由Lyapunov定理直接得出渐近稳定的结论。此时可考虑借助不变原理的推论，由于

■（x）=0■■=0，■■=0？圯x■=x■=0

则设计的控制律可以保证系统原点的渐近稳定性。

注记4：应用Lyapunov第二方法设计非线性系统的控制律，通常是先确定一个正定的备选函数，然后设计控制律的形式使得函数的导数负定。这个过程中Lyapunov函数和控制律的选取，都有很大的发挥空间。所以在研究具体问题时，可进行多种尝试，最后做出相对较优的选择。比如在研究第二例子时，设计的两个控制律都能保证系统的渐近稳定性，但是第二种控制律有两个调节参数，在具体设计时增加选择结果的多样性。

四、仿真

例1 设系统参数：J1=55，J2=58，J3=65；取状态初值：w（0）=[42，33，37]T，选择k1=85，k2=280，k3=78。状态变量稳定性收敛过程如图1所示。

例2（1） 设系统参数：ε=0.2；取状态初值：x（0）=[5.6，3.7]T；选择k=100。状态变量稳定性收敛过程如图2所示。

例2（2） 设系统参数：ε=0.2；取状态初值：x（0）=[5.6，3.7]T；选择k1=16，k2=27。状态变量稳定性收敛过程如图3所示。

参考文献：

[1]吴麒.自动控制原理（下册）[M].北京：清华大学出版社，2002.

[2]胡寿松.自动控制原理（第五版）[M].北京：清华大学出版社，2011.

[3] Hassan K. Khalil.非线性系统（第三版） [M].朱义胜，董辉，李作洲，等，译.北京：电子工业出版社，2011.

[4] Hassan K. Khalil. （韩正之，王划，王少华等译）.非线性控制[M].北京：机械工业出版社，2015.

[5]李娟，李生权. “李雅普诺夫稳定性理论”在电气专业的教学探讨[J].教育现代化，2016，（37）：183-185.

[6]贺俊吉，赵明，许晓彦，解翔. 非线性系统控制系统教学中存在的问题和改进方法探讨[J].教育教学论坛，2017，（13）：183-184.

[7]唐超颖. 对李雅普诺夫第二法教学方法的探讨[J]. 电气电子教学学报，2013，35（5）：68-70.

Abstract：Lyapunov method is an important tool for system stability analysis and control design. On the stability of the application，in general textbooks and reference materials are introduced in detail. The preparation of Lyapunov second method used in nonlinear control design analysis. This paper first introduces the basic contents of Lyapunov second method the range of choice and explains how to combine LaSalle invariant principle to broaden the Lyapunov function. Then according to two specific examples to illustrate the application of the second methods，Lyapunov，and Combining the principle of LaSalle invariance，the design of control law is carried out，and the designed control law is simulated and validated

Key words：Lyapunov second method；nonlinear system；nonlinear control；LaSalle invariance principle