几类偏微分方程非标准有限差分格式的研究

李苓苓，陈 琼

（南昌工学院，江西 南昌 330108）

几类偏微分方程非标准有限差分格式的研究

李苓苓，陈 琼

（南昌工学院，江西 南昌 330108）

文章对偏微分方程以及其解法的概述做出了简要的介绍，在此基础上，文章对非标准有限差分进行了详细的描述。除此之外，文章对Fisher方程、Burgers方程和Burgers-Fisher、粘性耦合Burgers方程这几类偏微分方程非标准有限差分格式进行了详细的介绍。

偏微分方程；非标准有限差分；格式

1 偏微分方程的概述

偏微分方程是解决现代数学问题的一个有效方法，在数学、自然、物理、天文中国均具有重要的应用，因此对其的研究也就格外具有现实意义。常微分方程和偏微分方程的区别为：常微分方程中问题的变量只有一个，偏微分方程中问题的变量为两个或者多个。而在微分方程中，二阶微分方程的应用和研究最为广泛。

2 非标准有限差分

在非标准有限差分解决问题的方法中，精确差分方法是Potts在1982年提出的。除此之外，θ-方法也是解决问题的好办法，此类方法在提出之后被一些研究者加以研究方法，在解决问题上具有更大的优势，这就比如说由Berzins改造的有限差分方法、Lubuma改造的有限差分方法。

3 几类方程非标准有限差分格式

（1）Fisher方程。Fisher方程格式如下：ut=uxx+u(1-u)。根据方程的行波解对方程进行处理时，可以得到如下的非标准有限差分格式：

在这个由Albowitz和Zeppetella提出的等式中：b表示常数，0≤u（x,t）≤1。而Fisher方程方程的精确有限差分格式格式在学术上还是比较模糊的，以下是对此的详细介绍。

首先，利用Mickens给Fisher方程进行离散处理，则式（1）可以变成如下式（2）。

而式（2）需所需要满足的条件为：φ（Δt，λ）=Δt+O（Δt2）。而这个方法应用到离散二阶倒数也是可行的。而利用Mickens方法给方程进行处理时，则可以得到这样的公式：

（2）Burgers方程和Burgers-Fisher方程。Burgers方程是一类在数学中应用广泛的方程，它得到了很多学者的研究。其基本方程格式为：ut=uxx-auuxx。而Burgers-Fisher方程则是对Burgers方程的转换变化，其基本格式为：ut+uxx-auuxx=u(1-u)。以下对构造Burgers方程和Burgers-Fisher方程的精确有限差分格式做出简要的介绍。

在构造Burgers方程和Burgers-Fisher方程的精确有限差分格式之前，对Mickens给出的文献以及Roeger给出的文献中的理论加以应用，这对进行方程的转换具有十分重要的意义。

而在求粘性耦合Burgers方程中的非标准有限差分的格式的过程中，对上诉的方程进行一定的指数变换。在此之后，需要应用到精确有限差分的格式对得到的公式进行一定的变换。

4 注意事项

在进行几类偏微分方程非标准有限差分格中的求解时，我们需要注重这样几个方面：①求解过程中对一些软件的使用。由于求解的过程和求解的步骤是十分复杂的，我们需要对一些软件加以使用来简化我们的求解过程。在选择软件时，我们除了可以使用一些简化计算步骤的软件，我们也可以使用一些模拟软件对结果进行模拟，这样对结果变得更加直观。②求解后进行验证。在得到偏微分方程非标准有限差分格式后，我们需要对结果进行验证，这样才能保证结果的准确性。而进行结果的验证时，我们可以从这样两个方面入手：首先，验证计算过程以及使用的理论。其次，将计算的结果反向推导来验证计算是否正确。除此之外，我们也可以通过不同的方法和理论进行多次计算，这样可以保证计算结果的准确性。③在进行几类偏微分方程非标准有限差分格式的计算中，注重对一些方法和理论加以利用，这样可以大大地简化计算步骤，这就比如说对Mickens给出的文献以及Roeger给出的文献中的理论加以利用。

5 结语

偏微分方程对解决实际问题具有十分重要的作用，因此研究几种偏微分方程非标准有限差分格式也具有重要的意义。而求解Fisher方程、Burgers方程和Burgers-Fisher、粘性耦合Burgers方程的过程中，注重对一些诸如Mickens给出的文献以及Roeger给出的文献中的理论加以利用。

李苓苓，硕士研究生，讲师，主要研究方向：拓扑动力系统。