基于双模糊滑模控制的机器人运动轨迹跟踪误差仿真

宋 强,龚 弘,赵家峤,姚素刚,公茂法

(1.国网济宁供电公司 送变电工程处,山东 济宁272000; 2.山东科技大学 电气与自动化工程学院,山东 青岛266590)

基于双模糊滑模控制的机器人运动轨迹跟踪误差仿真

宋 强1,龚 弘1,赵家峤1,姚素刚1,公茂法2

(1.国网济宁供电公司 送变电工程处,山东 济宁272000; 2.山东科技大学 电气与自动化工程学院,山东 青岛266590)

当前,机器人运动轨迹在受到外界干扰因素情况下,不仅控制精度较低,而且抖动现象较为严重,不能很好地实现轨迹的跟踪任务.对此,创建了双关节机器人简图模型,采用双模糊滑模控制机器人的运动轨迹.推导了等效控制和切换控制组成的双模糊滑模控制方程式,根据模糊规则对切换增益系数进行在线补偿,引用李雅普诺夫函数对控制系统的稳定性进行了证明.通过具体实例,借助于Matlab软件对机器人运动轨迹的跟踪误差进行仿真.同时,与单模糊滑模控制方法进行对比和分析.仿真结果显示,机器人采用双模糊滑模控制方法,实际运动轨迹与期望运动轨迹误差较小,输入转矩的波动幅度较小.机器人末端执行器采用双模糊滑模控制方法,提高了运动轨迹的控制精度,改善了抖动现象.

机器人; 双模糊滑模控制; 跟踪误差; 仿真

机器人自20世纪问世以来,经过不断的发展,其技术水平得到了很大的改进,从而推动了社会的快速发展[1].机器人能够代替手工劳动,不仅可以进行重复性生产,而且能在高温、有毒、有害等危险环境下进行工作,在社会发展中的应用也越来越普遍,现主要应用在农业、工业、海洋及航空业等许多领域.工业生产采用机器人控制具有许多优点:① 生产成本较低;② 连续工作时间较长;③ 生产效率较高.随着计算机技术的快速发展,机器人也向着高科技方向前进,为了能够更加精确地完成任务,对机器人运动轨迹研究变得越来越重要[2].

机器人在执行复杂任务时,其运动轨迹的精确控制非常重要.经过多年的改进,机器人运动轨迹产生了许多的控制方法.例如:文献[3-4]研究了机器人RBF神经网络自适应控制方法,分析神经网络权值的算法,采用RBF神经网络逼近非线性函数,补偿了空间机器人的不确定因素,提高了机器人运动轨迹跟踪精度;文献[5]研究了移动机器人模糊PID-P型控制方法,证明了PID-P型控制方法的收敛性和稳定性,根据模糊控制理论整定了PID增益矩阵的参数,该控制方法简单易行,运动轨迹重复跟踪能力较强;文献[6-7]研究了机器人自适应模糊滑模控制算法,建立了机器人空间动力学模型,采用滑模控制稳定性解决机器人控制参数的不确定问题,增强了不确定因素的控制能力,通过仿真验证了滑模控制的运动轨迹跟踪效果,从而降低了运动轨迹的跟踪误差,跟踪效果较好.但是,以往研究的机器人在受到外界因素干扰的情况下,其运动轨迹跟踪误差较大.对此,本文建立了双关节机器人简图模型,分析了机器人运动过程中产生的误差,采用双模糊滑模控制方法,推导了双模糊滑模控制的等效控制方程式,引用李雅普诺夫函数对闭环系统运动的稳定性进行了证明.在Matlab/Simulink环境下,对机器人双模糊滑模控制方法进行仿真验证,并与单模糊滑模控制方法进行对比,为机器人控制技术的深入研究提供了参考依据.

1 双关节机器人模型

具有n关节的机器人,其动力学方程式[8]为

M(q)q″+C(q,q′)q′+F(q′)+G(q)+τd=τ

(1)

式中:q∈Rn为关节角位移量;q′和q″分别为角速度矢量和角加速度矢量;M(q)为正定惯性的对称矩阵;C(q,q′)为哥氏力和离心力矩阵;F(q′)为摩擦力矩阵;G(q)∈R为关节重力矢量;τd为外部干扰因素构成的矩阵;τ为输入控制矩阵.

本文以双关节机器人为研究对象,其简图模型如图1所示.

在图1中:q1为连杆1角位移;q2为连杆2角位移;m1为连杆1的质量;m2为连杆2的质量;l1为连杆1的长度;l2为连杆2的长度;g为重力加速度.

图1 双关节机器人构造简图Fig.1 A schematic diagram of a double joint robot

2 机器人双模糊滑模控制

2.1 滑模控制

机器人在执行任务过程中,控制目标要求关节实际运动角位移与期望运动角位移误差最小,跟踪误差定义为

e=qd-q

e′=qd′-q′

(2)

式中:qd=[qd1,qd2];q=[q1,q2];qd为机器人关节期望运动角位移;q为表示机器人关节实际运动角位移;qd′为机器人关节期望运动角速度;q′为机器人关节实际运动角速度.

滑模函数定义为

r=e′+λe

(3)

式中:λ=[λ1,λ2]为正的对角矩阵,λ1,λ2>0.

假设外部干扰τd=0,令r′=0,则可推导出等效控制方程式为

τe=Hqd″+Hλe′+Cq′+G+F

(4)

机器人在受到外界不确定因素干扰时容易产生误差,为了对其进行补偿,设计的切换控制方程式为

τw=Hksgnr

(5)

式中:k=diag(k1,k2),k1,k2为切换控制增益系数,k1,k2>0.

由等效控制和切换控制组成的滑模控制器为

τ=τe+τw

(6)

2.2 切换增益系数控制

在滑模控制器(式(6))中,切换增益系数是导致机器人抖动的主要原因.由外界干扰导致的误差通过ki(i=1,2)进行补偿,使轨迹跟踪产生的误差最小.假如ki能够根据外界干扰因素做出自适应调整,那么就可以使抖动幅度降低和跟踪误差减小.

ki值根据模糊推理方法进行调整,模糊推理规则[9]方法如下:假如riri′>0(i=1,2),那么ki值就会增大;假如riri′<0(i=1,2),那么ki值就会减小.

模糊规则定义如下:① 如果riri′为NB,那么ki为NB;② 如果riri′为NM,那么ki为NM;③ 如果riri′为NS,那么ki为NS;④ 如果riri′为ZO,那么ki为ZO;⑤ 如果riri′为PS,那么ki为PS;⑥ 如果riri′为PM,那么ki为PM;⑦ 如果riri′为PB,那么ki为PB.

在上述模糊规则中,NB为负大,NM为负中,NS为负小,ZO为零,PS为正小,PM为正中,PB为正大.

ki上界采用积分方法估计,其表达式为

(7)

式中:ωi(i=1,2)为调整系数,ωi>0.因此,

(8)

式中:η=diag(η1,η2)为正对角阵调整系数,η1,η2>0.

则切换控制方程式为

(9)

对应的模糊滑模控制方程式为

(10)

2.3 切换项模糊控制

对于模糊控制方程式(10),模糊控制器设计如下:

(11)

uNZi+uZOi=1

(12)

式中:μNZi和μZOi为隶属度函数.

(13)

式中:εi=diag(ε1,ε2)为对角阵正的调整系数.

2.4 稳定性分析

证明 根据李雅普诺夫候选函数[11]可知

(14)

由于V(0)=0,并且r≠0有V(r)>0,所以

H-1(Cq′+G+F+τd-τ)+λe′)

(15)

由式(13)和式(15)可得

(16)

根据模糊控制逼近定理可知,存在βi>0,使得

(17)

(18)

(19)

根据式(16)和式(19)可知,V′(s)≤0.因此,由李雅普诺夫判别定律可知,该控制系统是稳定的.

3 仿真及分析

本文在Matlab/Simulink环境下对机器人运动轨迹的跟踪误差进行仿真验证.机器人运动仿真参数为:机器人期望运动轨迹为θ1=θ2=0.6cos(πt),初始条件为θ(0)=[0 0]T,滑模控制参数为K=diag{40,40},Λ=diag{8,8},外界干扰参数为τd1=40cos(πt),τd2=80cos(πt),机器人关节参数为l1=1.68 m,l2=1.32 m,m1=2.64 kg,m2=2.07 kg,g=9.82 m/s2,t=6 s.机器人运动轨迹跟踪误差在无外界干扰情况下,采用双模糊滑模控制仿真结果如图2所示,采用单模糊滑模控制仿真结果如图3所示.机器人运动轨迹跟踪误差在有外界干扰情况下,采用双模糊滑模控制仿真结果如图4所示,采用单模糊滑模控制仿真结果如图5所示.

由图2和图3的仿真结果可知:机械臂运动轨迹在无外界干扰情况下,双模糊滑模控制和单模糊滑模控制方法都能较好地实现机械臂运动轨迹的跟踪,但是,采用单模糊滑模控制输入力矩波动幅度较大,抖动现象较为严重.因此,采用双模糊滑模控制方法较好.由图4和图5的仿真结果可知:机械臂运动轨迹在有外界干扰情况下,双模糊滑模控制能较好地实现机械臂运动轨迹的跟踪,输入力矩波动幅度较小;而单模糊滑模控制机械臂运动轨迹跟踪误差较大,同时,采用单模糊滑模控制输入力矩波动幅度更大,抖动现象更加严重.综合比较可知,采用双模糊滑模控制方法能够精确地实现机械臂运动轨迹的跟踪任务.

图2 双模糊滑模控制仿真结果(无外界干扰)Fig.2 Simulation results of double fuzzy sliding mode control(no external interference)

图3 单模糊滑模控制仿真结果(无外界干扰)Fig.3 Single fuzzy sliding mode control simulation results(no external interference)

图4 双模糊滑模控制仿真结果(有外界干扰)Fig.4 Simulation results of double fuzzy sliding mode control(external interference)

图5 单模糊滑模控制仿真结果(有外界干扰)Fig.5 Single fuzzy sliding mode control simulation results(external interference)

4 结语

机器人在执行任务过程中,实际运动轨迹与期望运动轨迹存在误差较大,容易受到外界干扰.本文构造了两关节机器人简图模型,在机器人末端设计了双模糊滑模控制方法.同时,对机器人运动稳定性进行了证明.在Matlab/Simulink环境下对机械臂的跟踪误差进行仿真,并且与单模糊滑模控制仿真结果进行了比较.仿真结果显示:机械臂运动轨迹采用双模糊滑模控制方法不仅能够避免外界因素的干扰,而且还能有效地削弱机器人在运动过程中发生的抖动现象.

[1] 魏娟.多自由度机械臂轨迹跟踪控制仿真研究[D].湘潭:湘潭大学,2010.

WEI J.Trajectory tracking control and simulation of multi-degree-of-freedom manipulator[D].Xiangtan:Xiangtan University,2010.

[2] 唐亚男.基于智能体的多机器人组织协作研究[D].北京:北京信息科技大学,2007.

TANG Y N.Collaborative research of multi-robot organization based on intelligent body[D].Beijing:Beijing Information Science and Technology University,2007.

[3] 谢箭,刘国良,颜世佐,等.基于神经网络的不确定性空间机器人自适应控制方法研究[J].宇航学报,2010,31(1):124-128.

XIE J,LIU G L,YAN S Z,et al.Study on neural network adaptive control method for uncertain space manipulator[J].Journal of Astronautics,2010,31(1):124-128.

[4] 吴玉香,王聪.不确定机器人的自适应神经网络控制与学习[J].控制理论与应用,2013,30(8):991-995.

WU Y X,WANG C.Adaptive neural network control and learning for uncertain robot[J].Control Theory & Applications,2013,30(8):991-995.

[5] 刘国荣,张扬名.移动机器人轨迹跟踪的模糊PID-P型迭代学习控制[J].电子学报,2013,41(8):1537-1540.

LIU G R,ZHANG Y M.Trajectory tracking of mobile robots based on fuzzy PID-P type iterative learning control[J].Acta Electronica Sinica,2013,41(8):1537-1540.

[6] 王宗义,李艳东,刘涛,等.移动机器人的自适应模糊滑模动力学控制[J].哈尔滨工程大学学报,2011,32(6):793-799.

WANG Z Y,LI Y D,LIU T,et al.Dynamic control of mobile robots based on an adaptive fuzzy sliding mode[J].Journal of Harbin Engineering University,2011,32(6):793-799.

[7] 张显伟,吴忠伟,张凤海,等.移动机器人模糊滑模轨迹跟踪控制[J].长春工业大学学报(自然科学版),2013,34(4):374-377.

ZHANG X W,WU Z W,ZHANG F H,et al.Mobile robot trajectory tracking with fuzzy sliding mode control[J].Journal of Changchun University of Technology(Natural Science Edition),2013,34(4):374-377.

[8] ASIF M,KHAN M J,CAI N.Adaptive sliding mode dynamic controller with integrator in the loop for nonholonomic wheeled mobile robot trajectory tracking[J].International Journal of Control,2014,87(5):965-973.

[9] OVEISI A,NESTOROVIC T.Robust observer based adaptive fuzzy sliding mode controller[J].Mechanical Systems and Signal Processing,2016,76(8):60-69.

[10] SOLTANPOUR M R,OTADOLAJAM P,KHOOBAN M H.Robust control strategy for electrically driven robot manipulators:adaptive fuzzy sliding mode[J].Measurement & Technology,2015,9(3):324-332.

[11] HOANG N B,KANG H J.Neural network-based adaptive tracking control of mobile robots in the presence of wheel slip and external disturbance force[J].Neuro-computing,2016,188(10):13-20.

Simulation research on trajectory tracking error of robot based on double fuzzy sliding mode control

SONGQiang1,GONGHong1,ZHAOJiaqiao1,YAOSugang1,GONGMaofa2

(1.Power Transmission and Distribution Agency,State Grid Jining Power Supply Company,Jining 530226,Shandong,China; 2.School of Electrical Engineering and Automation,Shandong University of Technology,Qingdao 266590,Shandong, China)

At present,the trajectory of the robot is not only the control precision is low,but also the jitter phenomenon is serious,can not realize the trajectory tracking task well under the circumstance of external interference.In this paper,a double-robot model is built,and the motion trajectory of the robot is controlled by double fuzzy sliding mode.The dual fuzzy sliding mode control equations of equivalent control and switching control are deduced and the switching gain coefficients are compensated on the basis of fuzzy rules.The stability of the control system is proved by using Lyapunov function.The tracking error of robot motion trajectory is simulated by Matlab software.At the same time,compared with the single fuzzy sliding mode control method.Simulation results show that the robot adopts double fuzzy sliding mode control method,the actual trajectory and the expected trajectory error is small,the fluctuation range of the input torque is small.Robot end effector adopts double fuzzy sliding mode control method to improve the control precision of motion trajectory and improve the jitter phenomenon.

robot; double fuzzy sliding mode control; tracking error; simulation

宋 强(1972—),男,高级工程师.E-mail:songq2017@163.com

TP 24

A

1672-5581(2017)05-0421-05