注重概念形成的几何概型教学设计研究

赵国玮 孔德兰 王文华 冯振举

(曲阜师范大学数学科学学院 273165)

以问题引领的方法，通过设疑、铺垫、对比、探究、解决等一系列环环紧扣的问题，实现问题情境由三维到一维、二维，再到三维的转变，力求使学生能在已有的知识经验基础之上，经历“几何概型”概念形成的过程，并及时深化巩固概念，即以概念的初探、形成、深化、巩固为一条隐形的主线贯穿课堂活动的始终.

1 教学过程设计

1.1 新课引入，问题提出

同学们，大家最近有没有关注新闻呢？爆发于美洲的寨卡病毒现在逐渐在欧洲和东南亚等地蔓延开来.这种病毒主要是靠伊蚊的叮咬来传播给人类的，所以做好伊蚊的预防和清理工作就十分有必要了.

问题：现在工作人员在一个空房间内(长10m，宽5m，高3m)发现有一只伊蚊，而专用的灭蚊剂每次只能喷出5m3的气雾(如图1).求工作人员随机按一下灭蚊剂就能立即把这只伊蚊杀死的概率有多大.(假定伊蚊在房间中等可能地分布着，不考虑工作人员所占房间的体积)

图1

【设计意图】联系当下热点问题，调动学生进入课堂的积极性.以求“把这只伊蚊杀死的概率有多大”为出发点，让学生体会无法利用已有的知识经验来解决这个问题，激发学生的求知欲.笔者之所以没有借用人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学(必修3)》“3.3.1几何概型”中的引例“转盘问题”为情境引入，原因将在后叙详述.

1.2 抛砖引玉，对比分析

问题1：一段长5m的绳子，上面有四个点(A,B,C,D)将绳子五等分(如图2)，从这四个点中任意一点处把绳子剪断，将绳子分成两段，求长度都不小于2m的概率.

图2

记事件M为“两段绳长都不小于2m”，只能在B点或C点把绳子剪断，所以

【设计意图】由此问题让学生复习回顾古典概型中基本事件的特点和概率的计算公式，为接下来提出问题2铺垫道路.

问题2：一段长5m的绳子，在任意一点处把绳子剪断，将绳子分成两段，求长度都不小于2m的概率.

师生活动：请同学们思考一下在这个问题中基本事件是什么，基本事件有多少个，基本事件是等可能发生的吗？学生可能的回答是：

基本事件是在任意一点处把绳子剪断，因为绳子上的点有无限个，所以基本事件有无限多个；又因为也是在任意一点处剪断的，所以基本事件是等可能发生的.

对于这个问题的概率，学生可能的回答是：

生1：还是记事件M为“两段绳长都不小于2m”，为了保证这两段绳长都不小于2m，所以就得分别在距离绳子两端2m长的部分之中取点(如图3)，而中间这1m长的绳子中有无限多个点，所以事件M就包含无限多个基本事件，而全部基本事件也有无限多个，所以

但是我并不知道这个比值是多少.

图3

生2：刚才那位同学是用古典概型的概率计算公式来计算的，而这个问题中基本事件有无限个，所以它不是古典概型，也就不能用古典概型的公式来计算了.

此时，根据学生产生的认知冲突，适时点破这一层“窗户纸”：

师：我们把生1同学所说的“中间这1m长的绳子中有无限多个点”这句话，转换角度来看就是“这无限多个点构成了中间1m长的绳子”；而全部基本事件也有无限多个，这无限多个基本事件可以构成长度为5m的绳子.

经过教师引导，学生自然容易理解事件M发生的概率就可以用中间绳长比全部绳长来计算，即

【设计意图】将此问题与问题1形成强烈地对比，引发学生思考“基本事件有无限多个问题怎样来求呢？”“还能借助古典概型的计算公式吗？”“可以转化为什么来求解呢？”从而对这一类概率模型形成初步认识，知道在问题2中事件M发生的概率与构成该区域的长度是成比例的.

问题3：请同学们对比问题1和问题2，这两个问题的基本事件有什么相同点和不同点吗？由我们前面的学习可以知道，问题1属于什么概率模型？问题2呢？

师生活动：学生回顾刚才的问题1和问题2，对异同点的可能回答是(如表1)

表1：两类问题的对比分析

同时，学生容易理解问题1属于古典概型，而不知道问题2属于什么概率模型.此时教师可引导学生大胆设想，给基本事件有无限多个的这一类概率模型取一个名字.学生可能的回答是：

长度概型——因为问题2 中是用两段绳子的长度之比来求的概率.

【设计意图】“数学教学必须使学生逐步认清概念间的关系，从而系统地掌握数学基础知识”[1].通过对比问题1和问题2的异同点，达到“抛砖引玉”的目的.同时在学生给该概率模型起名时，教师不能因为学生不称之为“几何概型”就加以否决.

学生对概念的认识是逐步深入的过程，并非“一蹴而就”，是呈现螺旋式上升的状态，契合矛盾的认识与解决过程，实现概念理解的层层递进.为了避免学生将长度之比作为“几何概型”的本质属性，则应使用适当的变式情境，即引入如下的问题.

1.3 实例探究，概念初探

问题：一艘没有人的小船自由地漂荡在圆形湖面(半径为200m)上，问小船距离岸边均不小于10m的概率.

师生活动：请同学们思考这个问题中基本事件是什么，基本事件有多少个，基本事件是等可能发生的吗？学生可能发现这个问题与前述“问题2”有相似之处，基本事件都有无限多个并且都是等可能发生的.由前摄干扰的影响，学生可能的回答是：

生1：记事件A为“小船距离岸边均不小于10m”，则小船的活动半径为190m，所以事件A发生的概率就可以用小圆直径比大圆直径来计算，即

生2：小船并不是在某一条直径上漂荡，它是在整个湖面上自由漂荡的，则事件A包含的基本事件可以构成半径为190m的圆，而全部基本事件可以构成半径为200m的圆(如图4)，所以事件A发生的概率就是半径为190m的圆的面积比整个湖面的面积，即

图4

【设计意图】前面由长度之比求出概率并称之为“长度概型”，而“小船问题”中基本事件同样具有无限个、等可能性，却是利用面积之比来求的概率，引起新的认知冲突，使学生对探究这一类概率模型的热情持续升温.

1.4 解决问题，概念形成

问题：回顾这节课刚开始时提出的“伊蚊问题”，你有解题思路了吗？你是怎样计算的？为什么呢？

师生活动：学生结合刚才的探究过程，头脑中对这一类概率模型已经有“长度概型”、“面积概型”等意识，面对“伊蚊问题”，学生可能的回答是：

记事件A为“按一下灭蚊剂就把伊蚊杀死”，也就是伊蚊的位置恰好是在喷出的气雾内.因为这只伊蚊在房间内的位置是随机的，所以用喷出气雾的体积除以整个房间的体积就是事件A发生的概率了，即

“伊蚊问题”中存在许多无关要素，如“喷出的气雾扩散了怎么办？”“伊蚊被喷了一下没死怎么办？”等等.如果学生能够独立发现并提出，教师应予以赞扬；如果学生忽视了这些无关要素，教师可提示学生“在这个问题中，我们考虑一种比较理想的条件——喷出的气雾在短时间内不会扩散、伊蚊一旦被喷到就会立即死亡”等等.

此时教师可主动点出学生的矛盾所在，“我们可以看出，对基本事件有无限个并且都是等可能发生的这一类概率模型，在某些情景下，可以用面积或体积之比来计算事件A发生的概率，所以把它叫做‘长度概型’是不全面的.但是，长度、面积、体积都是度量几何图形的一种方法，不妨我们就把它叫做‘几何概型’吧”(如表2).

表2 两种概率模型的对比分析

【设计意图】“现代认知心理学认为，(数学)概念具有发展性，随着知识结构的不断完善，学生对概念的理解就从具体水平向抽象水平发展，从日常概念(有时这种概念是错误的)向科学概念发展”[2].由前述所探究的几个例子，归纳总结出把基本事件有无限个并且都是等可能发生的这一类概率模型称为“几何概型”.在感性认识的基础上，从特殊实例上升到一般概念，为下面深入、理性地理解概念的内涵做好准备.

1.5 反思提升，概念深化

问题1：除了基本事件有无限个、都是等可能发生的这两个特点外，几何概型最主要的特点是什么？事件A发生的概率只与什么有关？怎样来定义几何概型呢？

师生活动：学生可能的回答是：

事件A发生的概率只与构成事件A区域的长度、面积或体积有关.

回顾古典概型的定义为：

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

②每个基本事件出现的可能性相等, 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.

但是把具有这两个特点：

①试验中所有可能出现的基本事件有无限个；

②每个基本事件出现的可能性相等，的概率模型称为几何概型，并不能突出几何概型与几何度量有关的特点，所以可以把另一个独树一帜的特点称为几何概型的定义，即

如果每个事件发生的概率只与构成该区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.

【设计意图】把区别于古典概型最明显的特点称为几何概型的定义，让学生更进一步地理解几何概型的内涵和特殊之处，实现对几何概型概念的深化.

问题2：根据几何概型的定义和刚刚解决的这几个问题，自己总结几何概型的概率计算公式.

师生活动：先由学生独立总结，然后教师整理提炼，得到计算公式为：

1.6 灵活运用，概念巩固

问题1：甲、乙两人玩转盘游戏，如图5，当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.那么，以这两个转盘为游戏工具，对甲乙两人来说都是公平的吗？甲获胜的概率分别是多大呢？

问题2：取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如图6)，随机地向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.

图5

图6

问题3:随机地向图5转盘(2)上扔飞镖，飞镖正好插在转盘圆心处的概率是多少？我们知道“不可能事件概率为0”，那么，反之成立吗——“概率为0的事件一定是不可能事件吗？”

【设计意图】问题1选自人教版数学必修三“3.3.1几何概型”中P135“问题”.

其一，教材上只问了“在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少”.但笔者认为缺少了“公平”这一价值取向，即可再添加一句“以这两个转盘为游戏工具，对甲乙两人来说都是公平的吗”，否则容易使学生滋生开展不公平游戏的倾向.而几何概型这一课时内在地是要提高学生公平、公正的价值观和辨别能力，所以有必要再补问这一句.

其二，问题1可用多种方法来解决，比如长度之比、面积之比、角度之比等等，使学生理解几何概型的灵活处理之处，不无裨益.

其三，笔者之所以没有借用此问题1来作为新课的引入，是因为这个问题很容易引起学生利用古典概型的概率计算公式来求解，即求B区域的个数与全部B和N区域的个数之比；并且“由转盘游戏引入几何概型的教学，出现种种逻辑漏洞可能是不可避免的”[3]，“转盘模型作为几何概型概率计算的合理性解释没有问题，但是作为引例引导学生理解几何概型和古典概型的区别不太合适”[4].

回顾学生在学习人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册“25.1随机事件与概率”这一课时，很多教师用类似转盘(2)做游戏，让学生感受获奖的可能性及其可能性大小.学生由直观感知甲获胜的可能性更大，因为B有3个，而N只有2个，但此时并不要求学生理解“几何概型”，只是处于“感受可能性”状态.

在必修3“几何概型”这一课时，再以转盘为例子引入，学生首先会想到用个数之比就能求出概率，那么“为什么还要用弧长、面积、角度之比来求呢？几何概型有用吗”？从而不利于学生对几何概型的掌握和开展古典概型与几何概型的对比分析.于是笔者将这一“转盘问题”作为概念得出之后、应用概念的一个例子，以期学生能最大程度地掌握概念、应用概念.从另一方面来说，将转盘划分为几个不等分的区域(但是可按某种方式来度量)可能更好.

问题2选自苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学(必修3)》P107例1.通过解决此问题，引导学生用随机模拟的方法估计圆周率的值，即为下一节课“3.3.2均匀随机数的产生”打下基础.

问题3是为了让学生理解“不可能事件”与“概率为0的事件”这二者的不同之处，正确区分不同概念所表达的含义，以免混淆.

2 教学设计反思

其一，从古典概型和几何概型的定义来看，两者可谓求同存异.前已详述，几何概型不能用古典概型的定义方式来定义，这样无法突出几何概型独特的特点，最终二者形成各自的定义方式.而考究“古典概型”名字的由来也别具一番风味：考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，取“古典”二字，既表示它所处的时期早，也代表了一种典型的概率模型.

1814年，拉普拉斯在他的著作《概率的分析理论》中给出了著名的概率古典定义，即“概率是有利情况的个数与所有可能情况个数之比”[5].这可以看作古典概型概率的最原始计算公式了.

其二，“概率论的诞生，虽然渊源于靠运气取胜的游戏，但在今天，却已成为人类知识的最重要的一部分”.无论古典概型，还是几何概型，都与数学化有着密不可分的联系，尤其是横向数学化——“把生活世界引向符号世界”[6].几何概型这一课时，重点之一是使学生把实例问题，经过抽象，借助相应的数学符号来解决，包括长度、面积、体积、角度等.正确地使用某一种度量方式是关键，即保证基本事件发生的等可能性(可见苏教版数学必修3中P110，习题3.3第8题).

其三，本教学设计围绕问题的提出、探究、解决、反思与应用，结合概念的初探、形成、深化与巩固，既实现过程到对象的转变，又使得二者在认知结构中共存，有利于实现对本质概念“几何概型”的掌握，稳固双基，却又不失过程与方法，并内在地体现公平、公正的情感、态度与价值观.即这是一个“分析具体例证的共同特征，并从这些共同特征中归纳出概念本质特征”[7]的过程.(如图7)