试论“知识·探究·思维”路径下学生核心素养的培养

沈 良

(杭州市萧山区第五高级中学 311202)

2014年4月，教育部印发《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，要求研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准.三年多来，中学数学课程标准和数学核心素养的研究已渐入佳境.研究表明，中学阶段，数学核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面.这六个数学核心素养，力图体现数学学科根本性、关键性的育人价值.数学核心素养概念提出后，摆在一线教师队伍面前的自然是如何培育学生良好的数学核心素养，正是在此背景下，笔者尝试提出“知识·探究·思维”路径下学生核心素养的构建.

1 研究基点

(1)素养的形成依赖于知识的教学

素养是无法教的，它只能在一定的载体下通过潜移默化的熏陶才能逐步形成.在学校教育中，这个载体主要是学科知识的学习.掌握知识是形成素养的基础，“无知者无能”，这是常识.很难想象知识贫乏者会是一个高素养的人.有知识不等于有素养，但没有知识就不可能形成信息时代所需要的素养.[1]

(2)素养的形成依托于具体的活动

素养的形成与提升离不开数学学习与实践，每一种数学素养的提升所需要的数学学习实践的形式内容也有所不同，比如数学的数据分析素养需要对概率统计的活动，而逻辑推理素养可能更多地需要考察数学对象之间的逻辑关系与推理形式，尽管两者之间有所交叉，但还是有所差别.没有蕴含素养的活动体验、活动经验，素养的提升就成为无源之水、无本之木.尽管活动形式内容有所不同，但活动开展中的推进方式还是有共同点可寻，我们将重点探讨培养核心素养的共性特点.

(3)素养的形成离不开经验的内省

正如能力是无法直接传授一样，数学素养也是无法直接传授的，只能依靠学习者自身的领悟、内省、提炼逐步形成.因此，在数学的学习过程中，离不开经验的总结与提炼这种反省认知的过程.在课堂中加入引导学生自觉内省的教学过程，让学生逐步形成自觉反省、领悟的习惯，日积月累，可以提高学生的内省认知的能力，一旦反省认知的习惯与能力形成了，素养的提升就有了基础.

2 研究思路

“知识·探究·思维”路径下的学生核心素养培养，指课堂教学以数学知识为载体，学生探究为手段，通过思维发展促进核心素养发展的教学.“知识·探究·思维”分别反映了教什么、怎么教、为什么三个问题.“知识”反映了我们要给学生呈现什么样的内容，“探究”反映了我们要用怎样的方式把知识呈现给学生，“思维”则体现了数学的学科特点，反映了数学能带给学生怎样的教学价值.

(1)知识是基础，是形成数学学科素养的载体

知识是学校教育活动得以展开的一个“阿基米德点”，教学活动离不开知识，教学活动对知识具有绝对的依赖性，没有了知识，教学活动便成为无源之水、无本之木.教学无法在真空中产生也无法脱离知识而单独存在.[2]数学教学不管教学策略、教学理念如何改变，最重要的肯定是给学生呈现什么样的学习内容.强调知识的基础性，并不是想表达“知识本位”或“学科本位”观点，而是强调教师要更好理解教材，更好理解知识内涵，以此帮助学生获得更有意义的知识，用数学知识的魅力激发学生内在的求知欲，用数学知识培育人.

(2)探究是过程，是数学学科活动的重要途径

数学知识的特点决定了数学教学的重要方式是探究.数学是研究数量关系和空间形式的学科，数学的抽象性和逻辑性决定了数学是以理性思维为主的科学，探究是促进思维活动有效推进的教学形式，思维活动是探究的基本活动.事实上，以思维为特征的数学探究教学具有一般性，无论是教师的引导启发学习，还是学生的独立思考、解决问题的行为，都符合探究教学的一些关键特征.可以说，真正深入、高质量的数学学习必然含有探究的成分.数学学习中，提出与解决数学问题的每一环节几乎都涉及到抽象、概括、归纳、演绎、分析、综合、内省等数学思维活动，这既是一种内隐的理性思维过程，也是一种数学探究活动.

(3)思维是核心，是促进核心素养发展的关键

数学核心素养，是指能从数学的角度看问题，有条理地进行理性思维、严密求证、逻辑推理和清晰准确地表达的意识与能力.细细研究不难发现，数学核心素养包含的六个方面，往往以数学思维为基础，如数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程；数学逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程；几何直观与想象主要指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题……这些数学素养一定程度上即是凸显某种能力的思维表现.思维是数学的灵魂,提升学生数学思维的过程，自然也是提升学生素养的过程.没有思维，数学就失去了生命与活力.

3 研究内涵

3.1 理解知识内涵，提升思维发展

理解知识内涵，即指教师在学科知识的教学中必须做到准、精、简，要发展面向教学的数学知识，挖掘内蕴于学科知识背后的思想方法，加深学生对概念的深层次理解，学习数学提出猜想做出论证的方法，并学会用数学的眼光解析周围的事物和各种现象.

(1)不同知识类别蕴含不同教学价值

依据数学学习内容区别有三个层面，概念学习、规则学习(或称原理学习)和问题解决学习等，不同知识类别蕴含不同教学价值.数学概念是进行数学推理、判断、证明的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点.数学规则是中学数学学习的关键环节，有利于学生认知结构的完善和认知能力的提高.数学问题解决是以思考为内涵，以问题目标为走向的心理活动过程，其实质是运用已有的知识去探索新情景中的问题结果，使问题由初始状态达到目标状态的一种活动过程.

(2)数学知识特征蕴含数学思维属性

学科知识是学科教学的起点，学科知识特征很大程度将决定课堂教学主要方式.关于数学知识的特征，自然会有诸多不同的观点，在此想强调数学知识的以下几个特征，它对我们的数学教学具有较大启发作用:一是数学的抽象性，数学的抽象性表现在对空间形式和数量关系这一特性的抽象；二是数学的严谨性，数学的严谨性指数学推理具有很强的逻辑性和较高的精准性；三是数学的程序性，程序性是数学知识的一个基本属性.

数学的抽象性、严谨性与程序性一定程度上都反映了数学的思维性，是思维在数学学习中表现出来的一定特征.数学知识的这一特征将很大程度上决定我们的课堂教学主要采取“思考探究”的方式，决定了数学教学的目标是促进学生理性精神发展.故了解数学知识特征有助于我们更好把握数学思维特点，更好把握数学教学本质.

(3)理解知识本质助于提升教学效益

宏观上看，数学本质便是数学观问题，即“数学是什么”.站在不同的角度来看数学，对于数学本质有不同的认识：从数学的学科结构上看，数学是模型；从数学对人的指导作用上看，数学是方法；从数学的应用价值上看，数学是工具；从数学的表现形式上看，数学是符号；从数学的过程上看，数学是推理运算.[3]

微观上看，“数学本质”是指具体数学知识的本真意义.在教学中，教师要善于对数学知识进行深入挖掘，不断地自我追问:“客观事物背后隐藏着什么数学知识与规律?数学知识的本质属性又是什么？统摄具体数学知识及技能的数学思想是什么？ ”[4]

教学中，需要将宏观与微观结合来理解数学本质，两者结合既有大的“境界”又有小的“落脚点”，宏观有助于我们开拓数学教学的视野，微观有助于我们更好开展数学课堂教学，提升数学教学效益，更好实现数学育人目标.

【案例1】已知动直线l的方程:cosα·(x-2)+sinα(y+1)=1,(α∈R) .给出如下结论:

(1)动直线l恒过某一定点；

(2)存在不同的实数α1，α2，使相应的直线l1，l2平行；

(3)坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上；

(4)动直线可表示坐标平面上x=2,y=-1之外所有直线；

(5)动直线l可表示坐标平面上的所有动直线.

其中正确结论的序号是________.

本题是2016学年第一学期杭州地区七县市高二年级数学期末测试题，是一个含参二元一次方程所表示的动直线的特征问题的研究，因参数以三角函数形式出现，故对学生而言具有一定难度.但笔者在与部分教师交流中也发现，部分教师对本题的解决以及所蕴含的几何意义都缺乏足够的理解，这也值得我们深思:教师对知识理解的深刻程度必然会影响到学生的数学学习，故要更好实现学生数学核心素养的培养，必然需要不断提升教师的专业水平，不断提高教师对知识内涵的理解.

3.2 探究知识生成，促成能力培养

数学课堂教学中的探究是指课堂教学中，学生围绕教学内容，就某些数学概念、规则、问题，以探究形式学习新知识的过程.这个过程包括：设置情境，提出问题，思考、讨论问题的结论，给出解释或证明.这种探究学习形式有三个突出特点：一是教师的全程监控；二是探究内容的相对稳定性；三是时间和空间的固定性.因此，它属于一种有结构的“定向式探究”，即有教师提供探究内容并确定探究程序，学生寻找答案、发现联系的探究过程.[5]

(1)数学问题是引发探究的逻辑起点

美国数学家哈尔莫斯指出：定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的任何一个都不是数学的心脏，只有问题是数学的心脏.问题可以激励思维，思维需要问题激励，没有问题就没有思维，问题是思维的动力，这是思维的问题性.

数学由问题构成，数学的一切都可以看成是数学问题的衍生.数学课堂学习从问题开始，问题是数学课堂教与学活动的起点.提出问题后，解决问题成为探索活动的主题，可以说提出问题和解决问题是数学课堂学习活动的主要形式.数学问题对数学思维活动的决定影响表现为：(1)数学问题是数学思维的动力，并为思维指出了方向；(2)数学思维的过程就是不断地提出问题、解决问题的过程；(3)提出问题是探索活动的关键环节，新的数学问题的出现，既表现为数学思维的进展，同时也为更深入的数学思维活动提供动力和规划方向.

(2)经历知识发生发展是探究重要路径

经历知识发生发展，指让学生经历概念、规则、问题的探究与解决，经历概念、规则与问题的引入、形成、应用、拓展与反思等阶段，通过“做中学”的过程、通过“深思考”的过程，不仅完成概念、规则、问题的学习，更完成其中蕴含的思想方法的学习，从而提升数学能力发展、提升数学素养的发展.

经历知识发生发展，要化学术形态的知识为教育形态的知识.于教师而言，要通晓所学内容是怎样发展起来的，它的研究问题、研究方法和研究结果经历了怎样的变化，在发生发展中经历了哪些困难和障碍等.知识的发生发展过程体现了人类认识和了解世界的过程，蕴含一定的思想方法、一定时代的文化背景、一定的生活经验，是人类文明与智慧的结晶，需要教师进行充分挖掘.

经历知识发生发展，要使数学学习建立在直接感知、具体形式的基础上.数学学习的困难之处是由它所具有的高度抽象概括性这一特点所决定.但是它们都是从客观的对象中抽象、归纳、演绎出来的，具有丰富的直观背景.这就是说，数学思维活动不能完全建立在抽象的概念和词语的基础上，它应该建立在直接感知的具体形式的基础上，由具体到抽象去探究.

【案例2】三角函数周期的概念教学

周期概念教学中，笔者以为要加强学生周期概念的理解，必然需要交代知识的来龙去脉，通过情景引入、问题探索，使学生经历概念生长的整个过程，从而更好理解周期概念，更好运用周期概念解决问题.课堂教学中，笔者主要分三个步骤开展周期概念的教学：

(一)创设情景，寻找共性.通过生活中、自然界中常见的一些运动，引导学生观察它们共同特征，探究它们共同属性，从而引出“周而复始”现象，引入到课题学习.

(二)几何直观，探求本质.设置问题：“正弦曲线每相隔2π个单位重复出现，反映在函数性质上是如何刻画与描述？”教师启发，学生思考探究，厘清研究思路.结合师生探讨与几何画板展示，经历函数周期性探究过程：任取一点A,存在对应点B(间隔2π)仍然在图像上，发现并归纳出A点与B点关系：横坐标相差2π，纵坐标相等，即sin(x+2π)=sinx，f(x+2π)=f(x).这个过程也是渗透数学研究方法的过程，由图象性质探索函数性质，函数性质由图像性质刻画，把握函数性质研究思路：“图像↔点(x,y)↔函数y=f(x)”，同时，运用形的视角(单位圆)和数的视角(诱导公式)阐释周而复始的内涵.

(三)类比定义，形成概念.类比思考：“为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2π为这个函数的周期.若一个周期函数周期为T，则应满足怎样的代数关系？结合图象，运用类比方法，尝试得出函数周期定义.”运用类比，学生探究函数周期一般性定义，得出“f(x+T)=f(x)”，教师进一步追问学生是如何想到上述关系式，分享学生认识.类比正弦曲线得出周期函数定义，从特殊到一般地培养学生归纳猜想能力.

上面简要描述了函数周期概念教学的过程，可以发现学生认识由感性到理性，学生对周期概念的理解由图像表达到符号抽象，层层递进，其中探究成为学生学习的主要方式，问题成为学生探究学习的主要载体，以问促疑、以问促思、以问导学，将知识发生发展的过程交由学生自己探索发现，实现知识学习与能力培养的目的.

3.3 基于思维发展，提升核心素养

高中课程标准修订组，按照内涵、价值和表现的框架，给出的高中数学核心素养是：数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析.那我们自然会思考“数学思维能力”与“数学核心素养”两者内在关系如何.

(1)发展数学思维能力是数学教育的重要目标

数学思维是人脑对客观事物的数量关系和空间形式间接的、概括的反映,是一种用文字和符号构成概念、判断、推理的心理过程.按照思维活动的总体规律数学思维通常可分为:数学直觉思维、数学逻辑思维、数学形象思维.由于数学知识的抽象性和思维对象的数形特征，在数学思维过程中，对上述三种思维的运用就有侧重性.同时，数学问题的解决过程也是这三种思维相辅相成、交错运用的过程.在数学问题解决的过程中，常利用形象思维和直觉思维找到思维的突破口，然后再通过逻辑思维进行合理的论证，进而完成整个思维过程.

高中数学教学中应努力培养学生的这三种基本数学思维能力.此外,运算能力是逻辑思维能力的一部分,是它与运算技能相结合的产物；空间想象能力是形象思维能力的一部分,是它与几何形式相结合的产物.逻辑思维和形象思维是主体,主体水平的提高为直觉思维的发展提供坚实基础.[6]

(2)发展数学核心素养是数学培育的终极目标

数学核心素养，指在培养“全面发展”的人的过程中数学学科的独特贡献和教学价值，是数学育人的终极目标，体现了“以人为本”的教学理念.数学核心素养，其基点为数学学科特色，目标指向为全面发展的人的培养.数学核心素养，可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，核心素养不是指具体的知识与技能，也不是一般意义上的数学能力.核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能.核心素养反映数学本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的，具有综合性、整体性和持久性.数学核心素养与数学课程的目标和内容直接相关，对于理解数学学科本质，设计数学教学，以及开展数学评价等有着重要的意义和价值.

(3)发展思维能力是发展核心素养的重要途径

数学是“思维”学科，所以数学核心素养各条项目往往都以“数学思维”为基础，或侧重于某一项数学思维能力，或侧重于某几项数学思维能力.如“数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.”从定义中不难发现，数学抽象以逻辑思维为主，其他思维为辅.如“直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.”从直观想象定义中可以发现，直观想象以直觉思维和形象思维为主，两者相辅相成.

可见，数学核心素养是数学思维能力更高要求的表达，是数学思维能力的发展.抓住了数学思维能力的培养本质上便抓住了数学核心素养的培养，发展学生数学思维能力是发展核心素养的重要途径，或者说发展核心素养必然以发展数学思维能力为前提.

【案例3】“含参函数”最值问题的复习教学

对于一个含有参数的函数，参数的变化会影响函数最值的取得，故分析参数来研究函数最值是一个重要课题，如何开展这个问题研究，笔者从知识生成的角度来设计教学，按照“概念建构，简单问题解决，复杂问题解决”的过程推进教学，其例题教学摘要如下：

例1记函数f(x)=|x-t|在[-1,3]上的最大值为M(t)，若M(t)=2，则t=________.

例3函数f(x)=ax2-x+b,a>0，记|f(x)|在x∈[0,2]上的最大值为M(a,b)，试求M(a,b)的最小值，并求此时a,b的值.

例题教学中，参数由“单参、双参、多参”发展推进，首先从“单参函数”最值研究中把握分类讨论与数形结合的一般性方法，然后发展到“双参函数”中学习双参数的分类讨论，最后发展到“多参函数”研究中的策略优化[7].这是一个充满数学味的过程，是一个促进学生数学思维发展的过程，而这必然也是一个促进学生数学素养提升的过程.

4 结束语

数学学科有其特色，数学教学有其特色，数学育人目标有其特色.数学教学终极目标指向必然是要将我们学生培养成“全面发展”的人，而对数学教学的审视，不仅需要我们更新各种理念，更重要的是如何抓住数学教学的本质，如何更好组织教材内容，如何更好开展课堂教学，如何更好地以数学知识魅力吸引学生、培养学生，正如人教社章建跃博士所说：“培养学生的理性思维始终是数学课程的核心任务，这就是数学教学的‘宗’”[1].