提升理解数学水平，优化课堂教学品质——以2015年江苏省初中数学青年教师评优课为例

徐德同

(常州市教育科学研究院 213001)

文[1]和文[2]指出：理解数学是教好数学的前提，大量的课堂观察表明，数学教学品质不高的原因，追本溯源，主要来自于教师的数学理解不到位.随着课改的不断深入，大家越来越清楚地认识到，回归数学教育的本来面目，发挥数学的内在力量，感悟数学特有的思维方式，挖掘数学内容所蕴含的价值观资源，以提高数学素养、发展思维能力、培育理性精神为核心，这是数学教育发展的大势所趋.本文以省评优课为例，浅谈教学中如何提升理解数学水平、优化课堂教学品质.

1 教学内容

课题：平面直角坐标系

图1

教材概要

情境引入：

音乐喷泉位置如图1.

小丽：音乐喷泉在哪里？

小明：在中山北路西边50m、北京西路北边30m.

小丽能按小明的描述，找到音乐喷泉吗？

概念建构：

平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系，水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向，铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点.

探索活动：

1.在直角坐标系中，用有序实数对(a,b)描述一个点的位置；

2.Q是直角坐标系中的一点，确定与它相对应的有序数对.

数学运用：略.

2 着力提升理解数学水平

如何提升理解数学水平？本次省评优课的教师在实践层面进行了积极的探索，概括起来，有以下四个方面：从大局和整体看知识点，夯实理解数学基础；从过程中感悟基本思想，突出理解数学重点；从史料中读出理性精神，彰显理解数学价值；从本质中把握教学要求，坚守理解数学底线.

2.1 从大局和整体看知识点，夯实理解数学基础

直角坐标系有什么作用？教学中很多教师提到了上述问题.结论基本一致：用来确定物体的位置.笔者以为这样的问题很有意义，只有明白了这一点，本节课的价值才会得到彰显.其实，只要我们把直角坐标系放在“数学的长河”中去审视，答案自然清晰.作用主要有两点：一是借助直角坐标系，实现了从常量数学到变量数学的跨越.在笛卡尔创立直角坐标系之前，数学的主题是静态的常量.正是有了直角坐标系这一划时代的工具，使得函数的概念产生了，数学进入变量时代.变量数学的出现，使数学自身在思想方法上发生了重大的变革，由此带来整个数学面貌的根本性改观；变量数学的产生，催生了微积分的创立，使自然科学描述现实世界的运动和变化成为可能，世界因此才变得更加精彩.直角坐标系的第二个作用是架起图形和代数之间的桥梁.在这之前的几何学，直观和推理(定性研究)是主要的研究方式，直角坐标系的出现，把点(线、面)和数(方程)联系到一起，几何概念可以用代数方法来描述，从而可以从代数的角度(定量研究)来研究几何问题.把先进的代数方法应用到几何学中来，促进了几何学的蓬勃发展.拉格朗日在《数学概要》中写道：“只要代数与几何分道扬镳，它们进展就缓慢，它们的应用就狭窄；但是当这两门学科结合成伴侣，它们就相互吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善”[3].

至于建立直角坐标系就有了一个参照，可以用来确定物体的位置，这是教材编写者命制的一个生活情境，让学生感知数学来源于生活，有利于把知识的学术形态转化为教育形态.从认知心理学的角度看，让学生体验从实际情境中抽象出数学问题、建构数学模型的过程，有利于他们在已有认知和经验基础上的自主建构.教学中，教师应当准确把握知识的体系，从全局看知识各部分之间的内在联系，熟悉知识在数学体系中的地位和作用，使学生获得从整体上对知识的认识，以利于拓宽视野、提高素养.

2.2 从过程中感悟基本思想，突出理解数学重点

学习基础知识、掌握基本技能的同时感悟基本数学思想是学习数学的重要目标之一.本节课要感悟什么样的数学思想？参赛教师都提到了“数形结合”思想，这也是直角坐标系的作用所在，不再赘述.还有教师提出了“坐标思想”，言过其实，本质还是形与数的结合.除“数形结合”之外，本节课还蕴含着两个基本思想：一是“一一对应”思想.在直角坐标系的概念形成之后，教材设计了两个探索活动：探索1，由直角坐标系中的一点，确定与它相对应的有序数对；探索2，由一对有序数对确定一个点.基于上述两个探索，我们可以得到：在直角坐标系中，点都可以用一对有序数对来表示，一对有序数对可以确定一个点，点与有序数对是一一对应的.我们知道“对应” 是函数的本质， 感悟并形成“一一对应”思想可以为后续学习函数打下很好的认知基础，这种“一一对应”思想也朴素体现了数学中的纯粹性和完备性.二是由特殊到一般思想.两个探索活动是本节课的重点，对于探索1，教材中是由有序数对(a,b)来确定一个点，教学中我们不能照搬不误，必须化抽象为具体，从特殊的情形入手，通过对若干具体有序数对的研究，让学生领悟出任一有序数对都对应平面上唯一的点，再把由特殊情形中总结得到的方法，应用到一般的情形中去.这样做既符合学生的认知规律和学习心理，也能教示给学生一种研究问题的思想方法：从特殊到一般.

教科书的本质是教学活动参考体系，基本数学思想不会白纸黑字写在教科书上，基本数学思想蕴含在数学知识的形成、发展过程中，蕴含在数学问题的剖析、解决过程中.教学中教师要能够透过知识看思想，通过合理设计，引导学生逐步感悟数学思想.

2.3 从史料中读出理性精神，彰显理解数学价值

如何谈史料？教学中很多教师都从数学史的角度介绍了笛卡尔如何想到创建直角坐标系.一说看到房梁上的蛛网受到启发；另一说受经纬度的启发.笔者无意去考证，事实上也无从考证.对于这些无从考证的史料，教师在引用时必须本着实事求是的态度，明确告诉学生：这仅仅是一个传说、一个故事.这才是教者、师者应该具有的态度，这就是数学的态度：不含糊马虎，不武断轻言.故事到这儿远没有结束，教师要做的不仅是讲故事，无论这些传说的可靠性如何，有一点值得肯定的，那就是笛卡尔是个善于思考的人.这些有趣的传说，就象瓦特看到蒸汽冲起开水壶盖发明了蒸汽机一样，说明笛卡尔在创建直角坐标系的过程中，可能是受到周围一些形状或本质相似的事物的启发，触发了灵感，引发了理性的思考.故事的背后我们要教示给孩子们：要善于用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界.这，才是故事的真谛！

教育的目的在于育人，教学中教师要能够透过现象看本质，把从学科中锤炼出来的数学精神(理性精神和探究精神)潜移默化为学生的思维方式、关键能力与核心素养，这些潜流于学科根基之中的方法、思想和眼光，一定会渗透到学科以外的事物中去、生活中去，真正彰显学科的育人价值.

2.4 从本质中把握教学要求，坚守理解数学底线

画直角坐标系时，一位优秀教师提出了这样的注意点：坐标系的箭头要画成平角实心箭头“→”.仔细翻阅苏科版教材，箭头都是平角实心，不禁为参赛教师的细致所感佩.那么，直角坐标系的箭头，是画成虚“→”还是实“→”？笔者认为，箭头的本质是标明正方向，虚与实只是一种形式，教材里统一画成平角实心有美观大方之意，对于书写体而言虚比实更简洁易画.数学是求简的，去伪求真、大道至简是数学的本质追求，这一要求稍显为过.《课标》指出：教师应当准确把握教学内容的数学实质，确定合理的要求和目标.这应该成为每一位教师的必修课，也是教师专业成长的必由之路.

教科书里的数学知识，包括准确的定义、严密的推理，是形式化的摆放在那儿的，教师的任务不仅要讲推理，更要讲道理，要能揭示学这些数学干什么，意义何在？要能揭示数学发展的轨迹，揭示数学发展过程中的智慧，揭示学习数学、研究数学的基本套路、基本方法，以此来体现数学的本质，彰显数学的价值.这，才是美好的数学教育！

3 不断优化课堂教学品质

怎样优化课堂教学品质？本次评优课的课堂展示活动给我们很多有意义的启示：高品质源自好情境，高品质源自好生成，高品质源自好规范.一句话，教师只有认真设计教学活动，严格要求自己，才能优化课堂教学品质.

3.1 高品质源自好情境

所谓情境，就是根据知识内容和学习心理，创造一个环境，引导学生积极思考主动探索.本节课教材设置的情境是小丽问询“音乐喷泉”的位置，小明如何回答才能正确引导小丽？这一情境是学生身边经常发生的事，是真实的有意义的情境.只要合理设计问题，就能很好的引导学生自主建构.比如：

问题(1)：如果小明说音乐喷泉在“中山北路西边50 m”，小丽能找到吗?

问题(2)：如果小明说音乐喷泉在“北京西路北边30 m”，小丽能找到吗?

问题(3)：如果小明说音乐喷泉在“中山北路西边50m，北京西路30m”，小丽能找到吗?

问题(4)：如果小明说音乐喷泉在“中山北路西边50 m，北京西路北边30 m”，小丽能找到吗?

通过上述问题，让学生感悟出要确定音乐喷泉的位置，必须借助两个数据，而且是两个带方向的数据.而“正反”两个方向在数学中可以用“正负号”来刻画，根据常识，我们一般规定向右、向上为正方向.所以，“中山北路西边50m，北京西路北边30m”就可以用一组有序数对(-50，+30)来表示，再说明数对中数的有序性.这样，用有序数对来描述一个点的位置就很清晰自然.而规定了正方向的直线是数轴，两条互相垂直的数轴就构成了我们学习的主题“平面直角坐标系”.课题自然导出，言简意赅.

教学中很多人舍弃了这一真实的情境，另起炉灶.有的引用中国象棋棋盘，有的引用国际象棋棋盘(学生不熟悉)，有的让孩子们走出教室后按指定的座位入座(动静大很热闹)，…….我们认为，情境的创设要有利于学生感受数学来源于生活，要有利于学生在已有认知和经验基础上的自主建构，要有利于引出主题、引发思考、激发思维的碰撞.脱离生活实际，不顾及学生年龄特征和知识储备，过于追求趣味化，拖沓冗长的情境都是低效的甚至毫无必要的.有一位教师在创设情境、形成“直角坐标系”概念这一环节用时23分钟，主次颠倒了.数学课要有数学味，数学课是学习数学知识的，是内化数学思想方法的，是感悟数学理性精神的，情境的设计要简单合情，概念的建构要合理有度.

3.2 高品质源自好生成

有一节课印象很深，教师请学生对图2中的点进行分类.教师预设学生会根据坐标的正负分成4类，从而得到象限概念.学生的想法永远比我们预设的要多.交流时，一学生回答：老师，我是按照直线进行分类的，(-2,4)、(-2,3)、(-2,2)、(-2,1)、(-2,-1)、(-2，-2)这些点都在同一直线上，可以分为一类.教师看学生的回答和自己想要的很有距离，赶紧打住，往4个部分的路上引去，接着大谈象限的概念.

图2

事实上，教师如果能顺势引导，设置追问：

(1)上述6个点都在垂直于x轴的直线上，它们的坐标有什么特征？

(2)再找若干在垂直于x轴的直线上的点、垂直于y轴的直线上的点，逐步发现一般的规律：垂直于x轴直线上的点横坐标相同、垂直于y轴直线上的点纵坐标相同；

(3)图中(-5,1)、(-3，-1)、(-2，-2)、(-1，-3)也在一直线上，坐标满足什么特征？(-1，-3)、(1，-1)、(3,1)、(4,2)这些点呢？

(4)由特殊到一般，引导归纳：直线上的点，坐标满足确定的数量关系；

(5*)拓展研究：通过归纳，设满足的数量关系为ax+by+c=0，待定系数法求出a,b,c.

通过这样的讨论，不仅实现了知识的自然生长，更提升了本节课的思维品质，也为接着学习一次函数打下了坚实的基础.这样的顺势生成比大谈象限的概念(毫无必要，知道就可以了)、多做几道练习和形式化的小结更加自然、更有挑战、更有价值.

课堂教学中随时都有可能出现超出预设的不同“声音”或偶然突发的意外情况，这种非预期信息的出现，稍纵即逝，可遇而不可求.而许多“意外”很可能就是学生学习的顿悟、灵感的萌发，教师若能运用教学智慧及时捕捉、把握契机，再因势利导，就有可能催生精彩的动态资源的生成.这，才是灵动的课堂！

3.3 高品质源自好规范

数学是规范的严谨的，这种规范和严谨不仅仅体现在数学的内容、数学的表述中，也体现在数学的测量、计算、画图、实验等探究过程中.

教学中如何规范的画垂线？很多教师画图都很随意，直尺放在黑板上就画.这不是科学的画图，也不应该是数学教师的画图行为.规范的画垂线，应该是直角三角板的一条直角边和水平直线重合，沿另一条边画出垂线.可以想象，没有教师的“言传身教”，孩子们能悟出规范的作图？

卞毓方在《回望钱学森》一文中讲到了一个真实故事：一次，是在中科院一位朋友的办公室.我去时，朋友在欣赏一卷《钱学森手稿》.这一套手稿，分两卷，五百多页，是从钱学森早期的手稿遴选出来的.我拿过来翻了翻，与其说是手稿，不如说是艺术品.无论中文、英文，大字、小字，计算、图表，都工工整整，一丝不苟，连一个小小的等号，也长短有度，中规中矩.钱老曾在黑板上给学生写下“严谨、严肃、严格、严密”几个大字，这是他对学生的要求，也是他学术精神的体现.从大师身上可以发现规范严谨应该从小事做起，从细节入手.教书和育人密不可分，育人无小事，作为教师必须意识到：你的一言一行都是给孩子们做示范，规范严谨的治学作风可能会影响他们一辈子.

教学是一门艺术，教师应当不断研究教学的方法和策略，研究如何从启迪人的思维和智慧的角度去实施教学，不断提升课堂教学的品质.当然，倘若讲课者孤陋寡闻、学问浅薄、知识贫乏，无论怎么绞尽脑汁地研究方法和策略，也难以把课讲好，只能就事论事，甚至可能弄巧成拙.路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！