Hilbert C*-模中g-Riesz基的新刻画

相中启

(上饶师范学院数学与计算机科学学院，中国 上饶 334001)

Hilbert C*-模中g-Riesz基的新刻画

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(上饶师范学院数学与计算机科学学院，中国 上饶 334001)

利用算子理论方法证明了HilbertC*-模上的可伴算子序列是g-Riesz基且有唯一对偶g-框架当且仅当相应的合成算子是一线性同胚，这修正了已有的一个结论.进一步，作为该结果的直接应用，给出了HilbertC*-模中的g-Riesz基具有唯一对偶g-框架的保界等价刻画.

HilbertC*-模；g-框架；g-Riesz基；对偶g-框架

框架(经典框架)是规范正交基的推广，它由Duffin和Schaeffer[1]于1952年引入，当时被用于处理非调和Fourier级数中的一些深刻问题.1986年，Daubechies等[2]的开创性工作揭示了小波理论和框架理论之间的紧密联系，自此框架理论作为小波分析中一个重要分支得到了广泛而深入的研究[3-6].如今，框架因其灵活性和冗余性已在图像与信号处理、数据压缩和抽样理论等领域中扮演着重要的角色.随着框架研究的深入，学者们提出了多种框架的离散推广形式，其中孙文昌教授[7]引入的g-框架更具一般性，它包含了诸如子空间框架(融合框架)、斜框架和伪框架等一些框架推广形式.

另一方面，框架和g-框架被类比到了HilbertC*-模中[8-9].虽然HilbertC*-模是Hilbert空间的自然推广，但是二者之间还是存在着许多的本质不同.例如，HilbertC*-模中拓扑可补的闭子模未必正交可补，这导致一些有关规范正交基的结果无法推广到HilbertC*-模的情形；Hilbert空间上关于连续线性泛函的著名的Riesz表示定理并不适用于HilbertC*-模，这蕴含着HilbertC*-模上的某些有界算子不可伴，等.同时应当指出，由于HilbertC*-模中所嵌入的C*-代数的复杂性，以及Hilbert空间中的一些经典技巧在HilbertC*-模中要么未知要么缺失，从而使得HilbertC*-模中的框架和g-框架问题要比Hilbert空间复杂和难以处理，所以框架和g-框架理论由Hilbert空间到HilbertC*-模的推广工作并非平凡.此外，近年来的一系列研究成果表明HilbertC*-模理论与小波特别是框架理论有着多方面的密切联系，一方的发展都将对另一方的发展起着积极的促进作用，这使得HilbertC*-模中框架和g-框架的研究工作重要和有意义.目前，HilbertC*-模中的框架特别是g-框架已得到了广泛的研究[10-15].

肖祥春和曾晓明[16]引入并研究了HilbertC*-模中的一类特殊的g-框架—g-Riesz基.特别地，他们得到了HilbertC*-模中g-Riesz基的一个等价刻画([16,定理3.3]).然而一个反例(本文例1)表明该结果的必要条件不成立，本文的目的是修正其结果并给出HilbertC*-模中的g-Riesz基具有唯一对偶g-框架的保界等价刻画.

1 一些定义和引理

定义1[9]任意j∈,设).如果存在常数0

(1)

则称{Λj}j∈是H关于{Kj}j∈的g-框架，C，D分别称为{Λj}j∈的下、上框架界.如果C=D=1，则称{Λj}j∈是Parsevalg-框架.如果(1)式右端的不等式成立，则称{Λj}j∈是H关于{Kj}j∈的g-Bessel序列，D称为g-Bessel界.

定义2[12]设{Λj}j∈是H关于{Kj}j∈的g-框架，其合成算子U：l2({Kj}j∈)→H定义为：

U({gj}j∈)=(gj),∀{gj}j∈∈l2({Kj}j∈).

(2)

容易验证U是可伴的且其伴随算子由下式给出：

U*:H→l2({Kj}j∈),U*f={Λjf}j∈,∀f∈H.

(3)

复合U和U*便得到{Λj}j∈的框架算子：

(4)

易见S是正自伴的可逆算子，于是任意f∈H由(4)式可得：

(5)

任意j∈,置则直接计算可知也是H关于{Kj}j∈的g-框架，称为{Λj}j∈的典范对偶g-框架.

定义3[9]设{Λj}j∈,{Γj}j∈分别是H关于{Kj}j∈的g-框架和g-Bessel序列，如果对任意的f∈H有

(6)

则称{Γj}j∈是{Λj}j∈的对偶g-框架.

定义4[16]设{Λj}j∈是H关于{Kj}j∈的g-框架，称{Λj}j∈是g-Riesz基，如果下列两个条件成立:

(i)任意j∈,Λj≠0;

为了证明主要结论，需要下面的几个引理.

(i)T是满射.

(ii)T*关于范数下有界，即存在m>0使得任意f∈K,‖T*f‖≥m‖f‖.

(iii)T*关于内积下有界，即存在m′>0使得任意f∈K,〈T*f,T*f〉≥m′〈f〉.

由引理1立即可得如下结果，其证明是平凡的，故略去.

(i)如果T是满射，则TT*可逆且

‖(TT*)-1‖-1·IdK≤TT*≤‖T‖2·IdK.

(ii)如果T是单射且有闭的值域，则T*T可逆且

‖(TT*)-1‖-1·IdH≤T*T≤‖T‖2·IdH.

记号IdH和IdK分别表示H和K上的恒等算子.

TT†T=T，T†TT†=T†，(TT†)*=TT†，(T†T)*=T†T.

(7)

下文中，记号θ†总是用来表示可伴算子θ的Moore-Penrose逆(如果存在).

引理4[16]任意j∈,设则{Λj}j∈是H关于{Kj}j∈的g-框架当且仅当

U：l2({Kj}j∈)→H,U({gj}j∈)=(gj)

(8)

是定义好的有界满射算子.

引理5任意j∈,设则{Λj}j∈是H关于{Kj}j∈的g-Bessel界为D的g-Bessel序列当且仅当

(9)

证结论的必要性是平凡的，下证充分性.设序列{Λj}j∈满足(9)式.任意⊂,任意{gj}j∈∈l2({Kj}j∈),因为

T:H→l2({Kj}j∈),Tf={Λjf}j∈,∀f∈H,

所以T是可伴的.故此

2 主要结果及证明

下面的结果即为文献[16]中的定理3.3:

断言1任意j∈,设则序列{Λj}j∈是H的g-Riesz基当且仅当(8)式定义的算子U是一线性同胚.

确实，如果(8)式定义的算子U是一线性同胚，则{Λj}j∈是H的g-Riesz基，但反之不对.因为若相应于g-Riesz基的合成算子是线性同胚，则每个g-Riesz基都应有唯一的对偶g-框架，这一般不成立，参见下面的例子.

例1设l∞是所有有界复值序列的集合.任意u={uj}j∈,v={vj}j∈∈l∞,定义

则A={l∞,‖·‖}是一C*-代数.

设H=C0表示所有收敛于零的序列的全体.任意u,v∈H,定义

则H是A上的HilbertC*-模.

设{ej}j∈是H的规范正交基，m∈.任意j∈,令

且定义Λj:H→Kj为：

任意f∈H,由于

所以{Λj}j∈是H关于{Kj}j∈的Parsevalg-框架.

容易验证

任意j∈,因为Λje(j-1)m+l=e(j-1)m+l,因此Λj≠0.任意⊂,{gj}j∈∈l2({Kj}j∈),如果则任意i∈,

显然{Λj}j∈是其自身的对偶g-框架.现在令

则易见{Γj}j∈是H关于{Kj}j∈的g-Bessel序列，且Λ1e2m=0,Γ1e2m=e2m.因此Γ1≠Λ1.任意f∈H,由于所以

因此

这表明{Γj}j∈也是{Λj}j∈的对偶g-框架.

断言1可修正为如下形式.

定理1任意j∈,设则序列{Λj}j∈是H的g-Riesz基且具有唯一对偶g-框架当且仅当(8)式定义的算子U是一线性同胚.

证设{Λj}j∈是H的g-Riesz基且有唯一对偶g-框架.要证(8)式定义的算子U是一线性同胚，由引理1和4知只需证明R(U*)=l2{Kj}j∈.假设R(U*)≠l({Kj}j∈),则存在F={Fj}j∈∈(R(U*))⊥满足‖F‖=1.定义可伴算子列如下：

Qj:l2({Kj}j∈)→Kj,Qj(G)=〈G，F〉Fj,∀j∈.

任意G={Gj}j∈∈l2({Kj}j∈)有

由引理5知{QjT}j∈是H关于{Kj}j∈的界为‖T‖2的g-Bessel序列.因为F与R(U*)正交，所以任意f,g∈H可得

所以{Γj}j∈是{Λj}j∈的对偶g-框架.令h=T-1F,则(QjT)(h)=〈F,F〉Fj.因为

所以Qj不全为零.因此{Γj}j∈是{Λj}j∈的异于的对偶g-框架，这与{Λj}j∈的对偶g-框架的唯一性相矛盾.

反过来，设(8)式定义的算子U是一线性同胚，则易见{Λj}j∈是关于{Λj}j∈的对偶g-框架.设⊂,{gj}j∈∈l2({Kj}j∈),若则对于任意的j∈,令gj=0可得

因为U是单射，所以由上式立即可得gj=0对一切j∈成立.下证任意j∈,Λj≠0.假设存在n∈使得Λn=0.令0≠gn∈Kn;当n≠j∈时，令0=gj∈Kj,则

利用U的单射性可知任意j∈,gj=0,矛盾.完成证明.

推论1任意j∈,设).如果{Λj}j∈是H的g-Riesz基且有唯一的对偶g-框架，则任意j∈,{Λj}j∈{j}不再构成H的g-框架.

证假设存在j0∈使得{Λj}j∈{j0}是H关于{Kj}j∈{j0}的g-框架，其框架算子记为S.令

由重构公式(5)可得

由定理1,U是单射，于是任意j∈,gj=0,矛盾.

下面的两个结果是定理1的直接应用.定理2表明HilbertC*-模中具有唯一对偶g-框架的g-Riesz基可以表示为可逆算子在一列投影下的像.

定理2任意j∈,设则{Λj}j∈是H的g-Riesz基且有唯一对偶g-框架当且仅当Λj=PjΓ,其中可逆，Pj是l2({Kj}j∈)上的将其每个序列映为第j个分量的投影.

证首先设{Λj}j∈是H的g-Riesz基且有唯一对偶g-框架，U是其合成算子.由定理1知U可逆，从而U*可逆.任意i∈,f∈H,因为Λif=Pi({Λjf}j∈)=PiU*f,所以Λi=PiU*.

由引理2可得

所以{Λj}j∈是H的框架界为‖(Γ*Γ)-1‖-1，‖Γ‖2的g-框架且易见其合成算子U=Γ*.再次利用定理1,{Λj}j∈是H的g-Riesz基且具有唯一对偶g-框架.

如下的关于HilbertC*-模中具有唯一对偶g-框架的g-Riesz基的等价刻画保持了g-框架界信息.

(10)

证首先设{Λj}j∈是H的框架界为C，D的g-Riesz基且具有唯一对偶g-框架，则由定理1可知R(U*)=l2({Kj}j∈).条件(i)由g-框架的定义立即可得.下证条件(ii),由引理5知只需证明(10)式左端的不等式.任意{gj}j∈∈l2({Kj}j∈),存在f∈H使得U*f={gj}j∈.于是

‖{gj}j∈‖4=‖〈U*f,U*f〉‖2≤‖UU*f‖2‖f‖2≤‖〈Λjf,Λjf〉‖‖UU*f‖2=

因此C‖{gj}j∈‖2≤‖U{gj}j∈‖2.

现在假设条件(i)和(ii)成立.任意f∈H,任意有限子集⊂,有

‖f‖2‖U({Λjf}j∈)‖2≤‖f‖2‖U‖2‖‖〈Λjf,Λjf〉‖,

由此可得

由引理5可知，{Λj}j∈是H的界为D的g-Bessel序列.

C‖U†U{gj}j∈‖2≤‖UU†U{gj}j∈‖2=‖U{gj}j∈‖2.

综上，{Λj}j∈是H的界为C,D的g-框架，所以由引理4，U是满射.显然U是单射.于是由定理1知{Λj}j∈是H的g-Riesz基且具有唯一对偶g-框架.

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NewCharacterizationsofg-RieszBasesinHilbertC*-Modules

XIANGZhong-qi*

(School of Mathematics and Computer Science, Shangrao Normal University, Shangrao 334001, China)

The present paper proves, by utilizing the method of operator theory, that a sequence of adjointable operators on a HilbertC*-module is ag-Riesz basis with unique dualg-frame if and only if the corresponding synthesis operator is a homeomorphism, which provides a correction to one existing conclusion and further, as a direct application of this result, it gives an equivalent characterization forg-Riesz bases with unique dualg-frames in HilbertC*-modules, which preserves theg-frame bounds.

HilbertC*-module;g-frame;g-Riesz basis; dualg-frame

10.7612/j.issn.1000-2537.2017.06.014

国家自然科学基金资助项目(11761057);江西省自然科学基金资助项目(20151BAB201007);江西省教育厅科学技术研究项目(GJJ151061)

*通讯作者,E-mail：lxsy20110927@163.com

2016-12-15

O177.1

A

1000-2537(2017)06-0080-07

(编辑 HWJ)