高阶非齐次线性微分方程解的增长级

2017-12-23 02:16龙见仁
中北大学学报(自然科学版) 2017年5期
关键词:实数射线线性

周 鉴, 龙见仁

(贵州师范大学 数学科学学院, 贵州 贵阳 550001)

高阶非齐次线性微分方程解的增长级

周 鉴, 龙见仁

(贵州师范大学 数学科学学院, 贵州 贵阳 550001)

运用微分方程复振荡的理论, 研究一类具有整函数系数的高阶非齐次复线性微分方程解的增长级, 其中方程的系数均为整函数且非齐次项不恒为零. 当方程的系数增长级满足一定的条件时, 方程任一非零解具有无穷增长级.

线性微分方程; 增长级; 整函数; 零点收敛指数

考虑给定k≥2阶线性微分方程

式中:Ai(i=0,1,…,k-1),F均为整函数且F不恒为零.

方程(1)对应的齐次方程为

定理1 设k≥2为自然数,A0,A1,…,Ak-1,F均为有穷级整函数且F不恒为零, 存在As(0≤s≤k-1) 使得对于正实数α>0,β>0, 有ρ(Ai)<β(i≠s)及ρ(F)<β且

i) 或者max{ρ(A),i=1,…,s-1}>ρ(A0)>ρ(F).

ii) 或者ρ(Ai)<ρ(F), (i=0,1,…,s-1).

如果对于任意给定的ε>0, 存在有穷实数序列{φm}, {θm}满足条件

φ1<θ1<φ2<θ2<…<φn<θn<φn+1=

使得当z→∞,φm≤argz≤θm(m=1,…,n)有

1) 方程(1)的任意不恒为零解f满足

2) 对于任意的有穷级整函数φ有

定理2 设k≥2为自然数,A0,A1,…,Ak-1,F均为有穷级整函数且F不恒为零, 存在As(0≤s≤k-1) 使得对于正实数α>0,β>0, 有ρ(Ai)<β(i≠s)及ρ(F)≥β, 且max{ρ(Ai),i=1,…,s-1}>ρ(A0).

如果对于任意给定的ε>0, 存在有穷实数序列{φm}, {θm}满足条件(3),(4) 使得式(5)成立, 则

1) 方程(1)的任意解f满足式(6), 至多一个有穷级解f0.

3) 如果f为方程(1)中的无穷级解,φ有穷级整函数但非方程(1)的解则

∞.

4) 如果f0为(1)中的有穷级解, 则对于方程(1)中的任一无穷级解f及任意常数c≠1有

∞.

1 预备知识

引理1[10]设f(z)为一个有穷ρ级超越亚纯函数, 对于给定的正数ε存在一个线性零测度集E1⊂[0,2π), 使得如果ψ1∈[0,2π)E1, 则存在一个常数R1(ψ1)>1使得对所有满足条件: argz=ψ1且|z|≥R1(ψ1)的复数z及所有的实数对(k,j)这里k>j≥0, 有不等式

引理2[11]设f(z)是整函数, |f(k)(z)|在某条射线argz=θ上无界, 则存在无穷序列zn=rneiθ(n=1,2,…)趋于无穷, 使得rn→∞时有f(k)(zn)→∞且

|zn|k-j

引理4 设k≥2为自然数,A0,A1,…,Ak-1, 均为整函数, 对于给定实数α>0,β>0,θ1<θ2, 存在As(0≤s≤k-1), 当z→∞,z∈S={z∶θ1≤argz≤θ2}有

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如果f为方程(2)非零解且ρ(f)=ρ<∞, 则对于任意ε>0, 存在M>0, 成立不等式|f(z)|≤M|z|s. 其中z∈Sε={z∶θ1+ε≤argz≤θ2-ε}, |z|≥R0>0.

证明由ρ(f)=ρ<∞, 由引理1知, 存在一个线性零测度集E1⊂0,2π), 使得如果ψ0∈[0,2π)E1, 则存在常数R0=R0(ψ0)>1使得对所有满足条件: argz=ψ0且|z|≥R0(ψ0)的复数z及i=s+1,…,k有

下证|f(s)(z)|在任意射线argz=ψ∈[θ1,θ2]E1上有界.

反设|f(s)(z)|在某条射线argz=ψ1∈[θ1,θ2]E1上无界, 由引理2知, 存在无穷序列zn=rneiψ1(n=1,2,…)趋于无穷, 使得rn→∞时有f(s)(zn)→∞且

|zn|s-i≤

由方程(2)有

结合式(11)~(13)有

式中:M0,M1为某个正实数. 这与式(10)相矛盾.

进一步由引理3易知, 存在M2>0, 使得任意的z∈Sε={z∶θ1+ε≤argz≤θ2-ε}有

由f(z)的s阶Taylor展开式

|f(z)|≤|f(0)|+|f′(0)||z|+…+

式中:M为某个正实数且z∈Sε, |z|≥R0>0.

引理5 设k≥2为自然数,A0,A1,…,Ak-1,α,β,ε,θ1,θ2,Sε, 如引理4所给,F为整函数且ρ(F)<β, 则对于方程(1)的任意有穷级解f有|f(z)|≤M|z|s. 其中z∈Sε, |z|≥R0>0,M为某个正实数.

证明由ρ(f)=ρ<∞及引理4的证明可知式(12)仍然成立.

下证|f(s)(z)|在任意射线argz=ψ∈[θ1,θ2]E1上有界.

反设|f(s)(z)|在某条射线argz=ψ1∈[θ1,θ2]E1上无界, 由引理4证明可知式(13)成立.

由于|f(s)(zn)|→∞, (n→∞), 不妨设|f(s)(zn)|≥1, 注意到ρ(F)<β, 故

结合式(1), 式(11)~(13), 式(18)可得

M0exp{o(1)|zn|β}|zn|M1,

其中,M0,M1为某个正实数. 这与式(10)相矛盾.

同引理4的证明, 可得

f(z)|≤M|z|s,

其中,M为某个正实数且z∈Sε, |z|≥R0>0.

引理6 设k≥2为自然数,A0,A1,…,Ak-1为有穷级整函数, 存在As(0≤s≤k-1)使得对于α>0,β>0有

如果对于任意给定的ε>0, 存在有穷实数序列{φm}, {θm}满足条件(3)和(4) 使得当z→∞,z∈Dm={z∶φm≤argz≤θm, (m=1,…,n)}有

则方程(2)的任意解f均为无穷级.

则当|z|=r>r0+1时, 有

故在角域θm-ε≤argz≤φm+1+ε, (m=1,…,n)中, 当|z|=r>r0+1时, 有

如果多项式f的次数degf≥s, 则

ρ(f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A0f)=

ρ(As)≥β>0.

这与方程(2)相矛盾.

如果多项式f的次数degf≤s-1, 则

ρ(As-1f(s-1)+…+A0f)>ρ(A0)≥0,

这也与方程(2)相矛盾.

故方程(2)的任意解f均为无穷级.

引理7 设k≥2为自然数,A0,A1,…,Ak-1,α,β,ε,{φm},{θm},Dm, 如引理6所给,F为整函数且ρ(F)<β, 且成立

i) 或者ρ(Ai)<ρ(F), (i=01,,…,s-1),

ii) 或者max{ρ(Ai),i=1,…,s-1}>ρ(A0)>ρ(F),

则方程(1)的任意解f均为无穷级.

同理, 在角域θm-ε≤argz≤φm+1+ε, (m=1,…,n)可得|f(z)|≤M|z|s.

由此可知, |f(z)|≤M|z|s全平面成立, 因此f(z)为多项式.

如果多项式f的次数degf≥s, 则

ρ(f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A0f)=

ρ(As)≥β>ρ(F),

这与方程(1)相矛盾.

如果多项式f的次数degf≤s-1, 则

i) 当ρ(Ai)<ρ(F), (i=0,1,…,s-1)时,

ρ(f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A0f)=

max{ρ(Ai)∶i=0,1,…,s-1}<ρ(F).

这与方程(1)相矛盾.

ii) 当max{ρ(Ai),i=1,…,s-1)>ρ(A0)>ρ(F)时,

ρ(As-1f(s-1)+…+A0f)=max{ρ(Ai)∶

i=0,1,…,s-1)}≥ρ(A0)>ρ(F),

这也与方程(1)相矛盾.

故方程(1)的任意解f均为无穷级.

引理8[13]设A0,A1,…,An-1,F≠0为有穷级亚纯函数,f为方程

2 定理的证明

定理1的证明

2) 令g=f-φ, 由于f为方程(1)的解, 且ρ(φ)<∞, 故

ρ(g)=ρ(f-φ)=max{ρ(f),ρ(φ)}=

ρ(f)=∞.

而f=g+φ, 将其代入方程(1)中有

g(k)+Ak-1g(k-1)+…+A0g=

由于ρ(φ)<∞, 故φ不可能为方程(1)的解, 因此,

记G=F-(φ(k)+Ak-1φ(k-1)+…+A0φ)≠0, 则对于方程

∞.

定理2的证明

1) 不妨设f0为方程(1)的一个有穷级解, 即ρ(f0)<∞.

如果方程(1) 还有另外一个有穷级解f1, 满足ρ(f1)<∞且f0≠f1.

由增长级的定义可知

另外,f0-f1显然应满足方程(2).

由引理6可知

ρ(f0-f1)=∞, 这与ρ(f0-f1)<∞相矛盾.

故方程(1)至多有一个有穷级解.

再由引理8知, 方程(2)的任一无穷级解f应满足

2) 设f0为方程(1)中的有穷级解,ρ(f0)<∞, 则由方程(1)可知, 当z0为f0的d阶零点且d>k, 则z0必为F的d-k阶零点, 因此

又由值分布理论的对数导数引理知识可知

由方程(1)可得

由式(33), (34)和(36)有

记α=max{ρ(As),ρ(F)}, 则对于任意ε>0及充分大的r, 有

T(r,F)

由式(37)和(38)有

ρ(f0)≤max{ρ(F),ρ(As)}.

另一方面由方程(1)可见

ρ(f0)≥max{ρ(F),ρ(As)}.

3) 设f为方程(1)中的无穷级解,φ为有穷级整函数但非方程(1)的解.

令g=f-φ, 则ρ(g)=ρ(f-φ)=max{ρ(f),ρ(φ)}=ρ(f)=∞.

而f=g+φ, 将其代入方程(1)中有

g(k)+Ak-1g(k-1)+…+A0g=

F-(φ(k)+Ak-1φ(k-1)+…+A0φ).

又φ非方程(1)的解, 因此

F-(φ(k)+Ak-1φ(k-1)+…+A0φ)≠0.

4) 设f0为方程(1)中的有穷级解, 则对于方程(1)中的任一无穷级解f及任意常数c≠1, 令g=f-cf0, 则g满足方程

g(k)+Ak-1g(k-1)+…+A0g=(1-c)F.

[1] 杨乐. 值分布及其新研究[M]. 北京: 科学出版社, 1982.

[2] Hayman W K. Meromorphic function[M]. Oxford: Clarendon, 1964.

[3] 张广厚. 整函数和亚纯函数理论-亏值、 渐进值和奇异方向[M]. 北京: 科学出版社, 1986.

[4] Chen Zongxuan, Gao Shian. Entire solutions of differential equations with finite order transcendental entire coefficients[J]. Acta Mathematica Sinica, 1997, 13(4): 453-464.

[5] Li Yezhou, Wang Jun. Oscillation of solution of linear differential equations[J]. Acta Mathematica Sinica , 2008, 24(1): 167-176.

[6] Wang Jun, Laine I. Growth of solutions of nonhomogeneous linear differential equations[J]. Abstract &Applied Analysis, 2009, 2009(1): 1-11.

[7] Habib H, Beladi B. On the growth of solutions of some higher order linear differential equations with entire coefficients[J]. Theory Differential Equations, 2011, 93(2): 1-13.

[8] Long Jianren. On complex oscillation theory of solutions of some higher order linear differential equations[J]. Journal of Math Research with Applications, 2012, 32(4): 423-430.

[9] Grohn J, Rattya J. On oscillation of solutions of linear differential equations[J]. Journal of Geometric Analysis, 2015, 20(5): 1-18.

[10] Gunderson G G. Estimates for the logarithmic derivative of meromorphic function plus similar estimates[J]. Journal of the London Mathematical Society, 1988, 37(2): 88-104.

[11] Laine I, Yang Ronghua. Finite order solutions of complex linear differential equations [J]. Electronic Journal of Differential Equations, 2004, 2004(65): 281-286.

[12] Chen Zongxuan, Gong Juan, Zheng Xiumin. On the growth of solutions to higher order differential equations[J]. Annals of Differential Equations, 2012, 2(2): 170-179.

[13] 高仕安, 陈宗煊, 陈特为. 线性微分方程的复振荡理论[M]. 武汉: 华中理工大学出版社, 1998.

GrowthofSolutionsofNon-HomogeneousHigherOrderLinearDifferentialEquations

ZHOU Jian, LONG Jian-ren

(School of Mathematics science, Guizhou Normal University, Guiyang 550001, China)

This paper concerned with the growth of solutions of the non-homogeneous higher order linear differential equations with entire function coefficients by using complex oscillation theory of linear differential equations, where the coefficients are entire functions and the non-homogeneous term unequal to zero. It is shown when the coefficients order meets certain conditions then every non-zero solution of the equation is of infinite order.

linear differential equations; growth; entire function; convergence exponent of zero

1673-3193(2017)05-0544-05

2016-09-30

国家自然科学基金资助项目(11501142); 贵州省科学技术基金(黔科合J字LKS[2009]04号)

周 鉴(1976-), 男, 副教授, 博士生, 主要从事复分析的研究.

O174.52

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.05.007

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