环形喷管水下气体射流夹断过程

李婷婷，胡俊，曹雪洁，于勇

（1北京理工大学宇航学院，飞行器动力学与控制教育部重点实验室，北京 100081；2中航工业第一飞机设计研究院，陕西 西安 710089）

环形喷管水下气体射流夹断过程

李婷婷1,2，胡俊1，曹雪洁1，于勇1

（1北京理工大学宇航学院，飞行器动力学与控制教育部重点实验室，北京 100081；2中航工业第一飞机设计研究院，陕西 西安 710089）

对水下竖直环形喷管出口气体射流现象进行了研究，采用高速摄影仪记录了水下气体射流发展过程，并通过 MATLAB编程处理图片的方式，对夹断的判定、夹断的位置和频率做了探讨，对环形喷管射流的特性进行了分析。结果表明：环形喷管水下气体射流呈现出持续射流和集中夹断两种阶段；在本文工况下，水下气体射流离喷口越近，夹断次数越多，离喷口越远，夹断次数越少；对于本文所有喷管，其动量射流段发生夹断的频率都随气体流量增加而减小；水下气体射流的回击现象并不是气体反向倒流撞击喷管端面形成的，而是夹断发生后，后续喷入的气体在轴向受阻，进而横向扩张的结果；对于环缝大小一定的喷管，气体流量越大，射流穿透深度越大。

水下气体射流；夹断；回击；穿透深度

引 言

气体在液体中的运动普遍存在于许多工程技术领域中，民用如喷射冶金[1-2]、水下切割/焊接[3-4]等；国防工业如潜射导弹破水发射[5-6]、水下喷气推进[7]等。水下气体射流动力学作为多相流领域的热点问题一直受到国内外学者的关注。

早期关注水下气体射流动力学的行业是冶金工程[8-10]。对流态的区分和转变方面，Mori等[11-12]将氮气通入液态汞中，通过改变氮气速度发现存在两种流态：① 泡流流态，此时低速气体在水中呈离散泡状喷出；② 射流流态，此时高速气体在水中呈连续气体喷射而出。同时发现从泡流流态到射流流态的转变发生在气体流速为声速附近的一个范围内。Mcnallan等[13]通过实验验证了泡流流态和射流流态的存在，并探究了这两种流态转变的影响因素。之后 Zhao等[14]将这个流态转变的中间态称为过渡流态。

对气体在液体中形成的射流形态研究中，有文献[15]提出了气体射流不连续的现象，即间歇性的出现“射流夹断”和“射流持续”两种现象。戚隆溪等[16]采用插入式静压探针测量了射流轴线压力分布，为射流发生夹断和射流内部压力变化之间的关系提供了一定的依据。Surin等[17]提出液体中的气体射流界面的脉动和气体射流中轴线区域气体的滞留有关，而射流界面的变动对应了射流膨胀和颈缩甚至夹断的发生。也有文献[18-20]表明，气液两相界面的不稳定性、流场压力变化以及能量变化导致了射流夹断的发生。王柏懿等[21]使用探针排测量了喷管出口处和射流近场区的脉动压力分布，发现压力脉冲和射流形貌改变伴随发生，并得出在距离喷口端面2倍喷口直径附近处发生间歇性颈缩。这个“2倍喷口直径附近处”是对夹断发生位置的粗略估计。他们认为回击现象是“射流在喷口附近迅速膨胀，膨胀的气体到达一定程度后分离成两个部分，一部分气体继续流向下游，另一部分流向上游，后者撞击到端面后受到阻碍而被挤压”的过程。Aoki等[22]在研究喷射冶金中喷嘴腐蚀问题时认为回击现象是由于气体射流断裂时在喷嘴出口处形成的气泡在液体静压差的作用下反向运动进而撞击喷嘴前沿表面所致。Koria[23]在研究金属溶液中气体射流非浮力段的长度的工作中发现，在气体Mach数Ma＜1时，通入金属溶液中的气体射流在离喷口很近位置就离散成细碎的气泡状；而当气体Mach数Ma＞1时，射流非浮力段的长度增加，即在离喷口较远处气体射流才发生离散。该研究可以看作是对气体射流在液体中穿透深度的探究。

在国防工业如潜射导弹破水发射过程中，发射装置的出口界面不是圆形或者矩形[24-25]，而是环形喷管。本文在之前对环形喷管低速泡流形态研究[26]的基础上，以同心筒发射技术[27]及其在水下破水发射领域[28]的应用为背景，开展了环形喷管水下气体射流的研究，从理论上定义了夹断的概念，从而可以定量地确定射流的穿透深度。实验中发现了环形喷管水下气体射流发展的两种阶段，即“集中夹断”和“持续射流”两种阶段。这里夹断即对应射流的颈缩。根据实验数据的后处理，对射流夹断的位置和频率、回击现象的本质进行了讨论，对射流穿透深度进行了定义和讨论。

1 实验装置

实验装置如图1所示。主要包括空气压缩机、气体流量控制器、透明水箱以及喷嘴组件。空气压缩机最大流量为250 L·min-1，最大压力为0.8 MPa，储气罐的体积为 110 L。水箱由透明有机玻璃板制成，高100 cm，底边长50 cm。实验中，喷管组件浸没在水中。用Photron公司的Fastcam-Ultima APX型高速摄影仪记录水下气体射流发展过程。实验中拍摄速度为1000帧/秒，拍摄持续时间2 s，光源为LED灯。为减弱液面晃动[29]，在液面上放置消波板，并与液面保持水平。用Matlab编写图片处理程序，对实验图片进行处理分析，得到射流边界等相关数据。

环形喷管结构如图2所示，喷管由外筒和中心柱组合而成；外筒通过外螺纹与箱底相连接；外筒底部留有气室，用于使通入的气体均匀；外筒接近底部处开有4个均匀分布的通气孔，分别从4个方向通入气体，以使进入喷管的气流更加均匀；环缝外径为10 mm，内径分别为8.4、8.8、9.2、9.6 mm；喷管由铝合金加工而成。图3为喷管实物。本文根据环缝不同尺寸设计有多个不同气体流量的实验工况。所有实验工况水深均为 240 mm。本文中的气体流量均为标准状态下的体积流量，温度均为室温293 K。

2 分析方法

射流按其驱动力划分，可分为动量射流、浮射流和浮力射流[30]。动量射流即以出流的动量为驱动力，在之后的运动中这个动量的作用仍然重要，浮力射流即以浮力为驱动力的射流，浮射流介于两者之间。射流不同区段划分如图4所示。

本文主要以动量射流段为研究对象。对于射流的动量射流段和羽流段的定性判定有多种方法，如Fischer等[31]定义了一个特征长度LQ，由式(1)～式(3)给出。

图1 实验系统Fig.1 Schematic diagram of experimental system

图2 环形喷管结构Fig.2 Schematic diagram of annular nozzle(unit：mm)

图3 环形喷管实物Fig.3 Annular nozzle

式中，Q为气体的体积流量，L·min-1；u为气体流速，m·s-1；D为喷管水力直径，m；M为动量通量，kg·s-2·m-1。L表示射流轴向某一点到喷口的距离，m，则L＜LQ表示动量射流段，L＞LQ表示浮力羽流段。

图4 射流区段划分Fig.4 Schematic diagram of jet section

在单相流动中研究者[31]用LM表示从动量射流到浮力射流转变的位置到喷口端面的距离。当射流发展方向上某一点到喷口的距离L≤LM时，认为流动是动量驱动的，即这段是动量射流；当L＞LM时，认为流动是浮力驱动的，即LM下游的是浮力射流。因此LM表示流动下游动量力和浮力的比值，其表达式由式(4)～式(6)给出。

式中，g是重力加速度，m·s-2；B为浮力通量，kg·s-3·m-1；下角标∞和o分别表示周围液体和喷管出口处的参数，即ρ∞为周围液体密度，ρo为喷管出口气体密度，kg·m-3。这个值也不能精确地指出过渡点的位置，同LQ一样，只能定性地判断。

本文采用LM作为估计动量射流段和羽流段的方法，并在后文用来评估射流穿透深度。

实验采用4个环缝大小不同的环形喷管，对应的实验工况流量和相应的LM见表1。表中只给出了4个喷管在实验条件限制下最大和最小流量对应的工况。

由于沿轴向射流特性变化很大，故两相流系统和单相流差别很大。Tross[32]通过实验发现浸没式气体射流也有自相似流动行为，并且提出了计算动压、空隙率（描述气液两相流中气泡分散相间相互作用的参数）和其他浸没式气体射流内在特性的关系式。Loth等[33]在预测浸没式射流内在特性（如动压的空隙率）的变化时将 Tross[32]的实验研究和数值模拟做了对比，实验和数值模拟符合得较好。

表1 统计动量射流段夹断次数的参数Table 1 Parameter values used in statistics of pinch-off number of momentum jet

作为第1步近似，射流穿透深度通过气体射流边界的静力平衡来估计，即仅考虑气体射流内部的压力和外部的压力，而不考虑气体波动引起的动力。那么当气体射流内部的压力不足以抵挡外部压力时，射流破碎。该射流破碎的位置距喷口端面的距离即为气体射流穿透深度。依据 Tross[32]的实验和理论分析结果，大约在射流轴向射流内部压力和外部水静力相等的位置就是射流顶端。据此，速度和空隙率可以分别由式（7）和式（8）给出。

式中，ζ是由式（9）给出的变密度射流的一个特征长度，r是计算气体流速u的位置的射流半径，yN是射流下游某点距喷口端面的距离。下角标c表示中心线。

中心线上的速度（uc）、空隙率（αc）和密度（ρc）分别由式（11）、式（12）和式（13）给出。

其中，常数引用Tross[32]的计算结果。Φ是一个半经验函数，它描述射流发展状况。

为了确保实验拍摄的图片都是射流已经达到稳定状态的图片，拍摄在气体连通一段时间之后才开始进行。这里的稳定状态是指气体流量保持稳定地通入水中的状态，此时，气体射流的各种行为将会重复出现。本文采用型号为 ALICAT MC-250SLPM-D的气体流量控制器，保证了通入水箱的气体压力在拍摄时间内保持稳定。

3 结果与讨论

3.1 环形喷管水下气体射流的两种阶段

实验发现，环形喷管形成的射流和圆形喷管的[21]类似，在射流持续一段时间后出现“夹断”现象。夹断是指气体射流从喷嘴到自由液面不再连续的状态。图 5是内径d=9.6 mm，气体流量Q=80 L·min-1工况下“夹断”现象的发展过程 。在104 ms时夹断还未发生，仍为持续射流。在105～110 ms时夹断发生。Weiland等[6]的研究中圆形喷管气体射流也有夹断现象发生。由此可知环形喷管的环形截面并未对水下气体射流“夹断”现象产生明显的影响。

图5 夹断现象发展过程Fig.5 Development process of pinch-off(d=9.6 mm,Q=80 L·min-1)

图6 射流发展的两种阶段Fig.6 Two stages of gas jet during development

实验观察到，在射流流态，连续的喷射状射流可以持续一定时间，随后接连发生多次夹断，之后又进入连续射流状态，这两种现象在流场中有规律地交替出现。基于射流的这种特性，本文将水下气体射流划分为两种阶段，即连续射流阶段和集中夹断阶段。集中夹断阶段伴随发生射流径向膨胀，甚至进而发生回击。图6是射流的两种阶段。将某个夹断结束的时刻记为1 ms，1～415 ms是射流持续阶段，如图所示，这段时间里，射流一直保持连续喷射状态。在415 ms发生第1次夹断，469 ms发生第2次夹断，499 ms发生第3次夹断，此为集中夹断阶段，连续发生3次夹断，时间间隔分别为54 ms和30 ms，后射流又进入持续射流段，即499～873 ms，持续时间为374 ms。在873 ms时第2次集中夹断阶段开始。实验中，射流就是以这两种阶段相间出现发展的。

3.2 夹断的判断、位置和频率

夹断是水下气体射流不可避免的一种现象，对于夹断的研究十分重要。Weiland等[6]采用了高速摄影仪记录射流发展过程，并定量地分析了圆形喷管射流的部分特性。本节采用类似的定量方法来判断夹断，并研究夹断发生的位置和频率。

高速摄影仪拍摄获得水下气体射流的二维图像。利用 MATLAB编程对图片进行处理。处理过程按以下步骤完成。

（1）将实验所得原始图片转成灰度图，设定阈值将灰度图转为二值图，如图7（a）～（d）所示。

（2）利用图像腐蚀和图像膨胀等方法完善二值图，然后利用边界提取函提取图像边界，如图 7（e）～（h）所示。这里首先定义二维图像中的射流边界为流场中像素灰度梯度最大的连续曲线。

（3）处理每一帧图片，测量特定位置射流左右边界随时间的变化，得到图8。

采用边界追踪方法，对实验图片中射流边界进行追踪。夹断时，射流不再连续。图8中上方的蓝色曲线表示射流的左边界，下方的绿色曲线表示射流的右边界。图8（a）是环形喷管内径为9.6 mm，气体流量为150 L·min-1，喷口下游20 mm处的射流边界随时间的变化，在约 200、700、950、1250、1350、1750 ms射流左右边界发生重合，即射流在这些时间点发生夹断。图8（b）是环形喷管内径为9.6 mm，气体流量为80 L·min-1，喷口下游20 mm处射流左右边界随时间的变化，在约 400、1500、1600 ms射流发生夹断。这样就有了对射流夹断判定的方法。

实际上，当射流左右边界距离小到一定程度时，也应该认为夹断发生，如图9所示。显然图中3种情况下的射流都已不再连续，已经夹断，然而此时左右边界并未完全重合。这就需要找到一个判定射流夹断的尺度X，当射流左右边界距离x＜X时，认为发生夹断，当x＞X时认为没有发生夹断。本文中初步确定喷管的环缝外径 10 mm为判定夹断的尺寸X，即射流左右边界距离x≤10 mm时，认为夹断发生。如图10所示，图中两条水平直线表示环缝外径大小。在这两条直线辅助下，就能更加准确地获得射流夹断的信息。例如图中，在大约750 ms也发生一次夹断。本文中均采用这种判定法则来判定夹断。

图7 图像处理过程Fig.7 Image processing

实验发现，夹断发生在射流发展方向上多处位置。本文统计了环缝内径为9.6 mm的喷管在4个不同气体流量下，射流在一系列固定位置发生夹断的次数，如图11所示。图中纵坐标是夹断次数，该次数是通过将3次实验的数据加权平均得到的；横坐标是用LQ进行量纲1化之后的位置，即y/LQ，其中y为到喷口的距离，LQ是由式（1）确定的特征长度。由图可知，不同位置的夹断次数不同。流量为100、120、150 L·min-1的工况，离喷口越近，夹断次数越少。而80 L·min-1这条曲线比较特殊，夹断次数上升很快，这是该工况下并未形成射流流态的缘故。同时，该图也说明了随着气体流量增加，夹断次数减少。

图12是4种喷管在动量射流段夹断次数随气体流量的变化。图中只统计了4种喷管射流流态的夹断次数。例如，内径d=9.6 mm的喷管在气体流量Q=80 L·min-1时进入射流流态，该曲线就从Q=80 L·min-1开始；而内径d=9.2 mm的环形喷管在气体流量Q=120 L·min-1时才进入射流流态，该曲线就从Q=120 L·min-1开始。由图可知，4种喷管动量射流段发生夹断的次数都随气体流量增加而减少。即对于特定尺寸的喷管，气体流量越大，夹断频率越小。

图8 喷口下游2倍环缝外径处射流左右边界随时间的变化Fig.8 Interface position in time is shown at 2 diameters downstream from nozzle exit

图9 射流夹断判定Fig.9 Decision method of pinch-off

图10 判断是否发生夹断的射流左右边界之间的距离Fig.10 Interface position and auxiliary lines

图11 内径d=9.6 mm的环形喷管射流夹断次数在射流下游的分布Fig.11 Pinch-off events plotted against pinch-off position

3.3 夹断原因及回击现象

气体从喷口喷出时，具有很大的动量，使得气体能够竖直冲破液体，而在气体射流向上发展的过程中，离液面越近，气体动量越小，气体向周围发散，上升速度变慢。对于浮力射流段发生的夹断，是气体射流和周围液体密度差异引起的。在射流下游，气体不能支撑该处的液体静压，导致气体射流夹断。

图12 4种喷管动量射流段夹断次数随气体流量的变化Fig.12 Pinch-off number plotted against gas flow rates at momentum jet section for all nozzles

实验中发现，射流夹断的发生往往伴随着回击现象，进口气体速度越高这种现象越是明显。在喷射冶金工艺中，回击现象的发生造成了冶炼炉中风口周围炉衬的侵蚀和损伤问题。如果能够通过进口气体流量的调节，选择夹断发生频率最小的工况应用到喷射冶金工艺中，可以有效地延缓喷嘴腐蚀。所以对于射流夹断原因的研究具有重要的应用价值。

以往对射流回击现象的研究中，王柏懿等[21]使用探针排测量了喷管出口处和射流近场区的脉动压力分布，发现压力脉冲和射流形貌改变是伴随发生的，并得出射流中气体的聚集和释放导致了射流内部的压力突增和突降，这里的气体聚集是指“颈缩”，而气体释放是指“膨胀”。他们认为气体射流中的剪切不稳定性导致了间歇性颈缩，颈缩使得气体迅速聚集，从而气体内部压力突增，当达到一定程度后射流发生膨胀，导致压力下降。本文由于实验中没有测量压力变化，所以不能对此做出判定。由已有文献[18-19]可知，夹断很可能与气液两相不稳定性、压力变化以及能量变化有关。

Aoki等[22]和王柏懿等[21]均认为回击现象是由于气体射流夹断后离喷口近的一部分气体反向倒流进而撞击喷嘴前沿表面形成的。王柏懿等[21]在实验中用来记录射流发展过程的数字相机拍摄频率为100帧/秒。本文实验使用高速摄影仪采取的拍摄频率是1000帧/秒，实验图片显示，夹断之后，新喷出的气体在轴向受到较大的阻滞，气体只能径向扩张形成泡状，随后气泡体积增大，甚至发生气泡包裹喷嘴的现象，并没有出现气体反向倒流进而撞击喷嘴的现象。图13为夹断前后的详细情况。如图所示，在118 ms之前，射流是纵向发展并且靠近喷嘴处逐渐变窄的，这就是之前文献[21]所讲的“颈缩”，紧随颈缩之后发生夹断（117～118 ms颈缩，119 ms夹断发生）。夹断之后气体在纵向受到阻滞作用，纵向发展变慢，而新的气体仍源源不断输入，迫使射流横向发展，图中120～123 ms清楚地展示了气泡横向发展，在123 ms横向发展达到最大值后纵向才开始迅速发展。回击现象的演变是很迅速的，这组图片各自相隔仅1ms，亦即射流夹断之后气泡横向发展是很迅速的，肉眼看就好像是夹断之后气体反向倒流撞击喷嘴端面。

3.4 射流穿透深度

不管是喷射冶金还是潜射导弹破水发射，射流的穿透深度都很重要。影响气体射流在周围水中穿透深度的因素有很多，如喷管尺寸、水深或气体流量等。本文只讨论气体流量对穿透深度的影响。由于射流在其自然运动中存在大量脉动和波动现象，使得气液两相相互掺混，很难确定真正的射流边界位置，所以只能统计性地描述其穿透深度。Ozawa等[19]用电阻率探针来测定气体在水中的统计分布并由此来确定气体射流的穿透深度。他们设计了一个电路，置于水中的探针是构成电路的一部分。如果探测点被水占据，那么电路就是通的，得到的值为 1；如果探测点被空气占据，那么电路不通，则获得的值为 0。在每个探测点，将一段时间内获得的1的值相加，再除以总的测量时间，就得到了每个探测点处气体所占的时间分数，进而就可以确定射流的穿透深度。尽管Castillejos等[34]和 Ito等[35]对该方法做了修正，但依然有很多局限性，如只能测量有限个点的气体时间分数，而探针不可避免地会对流场产生影响等。本文在该思路的基础上，通过处理实验图片得到每个瞬时气体射流在空间上的分布信息，进而确定射流穿透深度。这种方法是非浸入的，并且能够获得射流发展方向上所有点的气体时间分数。首先将原始图片进行二值化。由于三维气泡会有反光，所以此时的二值图片在射流内部区域存在很多白色区域（反光造成的），故需要对二值图取反后进行膨胀和填充处理，使射流中反光的部分全部被清除。再次取反之后得到干净的气液两相图片。把测量时间内获得的所有二值图中对应的像素值相加，再将所得结果除以测量时间，得到所有像素点气体所占的时间分数，最后转为彩色云图，如图14所示。该图表示的是在测量时间内每个位置处气体出现的时间分数。该图环缝内径均为d=9.6 mm，图 14（a）气体流量Q=80 L·min-1，图 14（b）气体流量Q=140 L·min-1。对比图 4（a）、（b）两图可以清楚地看出这两种工况下气体出现的时间分数不同，尤其是气体核心长度不同（图中喷管出口处深红色的部分为气体核心）。为了量化和比较不同工况射流穿透深度，定义射流穿透深度为气体占据的时间分数在98%及以上的像素在射流中心线上的最大值。这种方法的优点之一，是能够分辨出某处是被破碎的小气泡占据还是被与喷口相接并连续的气体射流占据。这也是探针探测法无法分辨的。本文中射流穿透深度仅指和喷口相接的部分气体射流，亦即本文计算中忽略了所有破碎或者和喷口脱离的气泡，即图14中上半部分是被忽略的。

图13 环缝内径为9.6 mm、气体流量为150 L·min-1时夹断前后的现象Fig.13 Pinch-off details when gas flow rate is 150 L·min-1 and inner diameter of ring is 9.6 mm

图14 射流穿透深度Fig.14 Jet penetration

图15给出了本文实验得出的射流穿透深度LP和实验方法部分介绍的两种经验公式预测的射流穿透深度LM和yN*，显然LM远远高于LP，而yN*在气体流量较低时低于LP，但在气体流量较高时却高于LP。由LM预测的射流穿透深度和进口气体流量是线性关系，而由yN*和实验得出的射流穿透深度和进口气体流量是二次关系，出现这个结果的原因还有待进一步研究。

图15 本文方法获得的射流穿透深度和经验公式计算得到的射流穿透深度对比Fig.15 Comparison between penetration acquired in this paper and obtained by empirical formulas

4 结 论

本文首先介绍了水下气体射流的两种基本阶段，其次对射流夹断的判断、位置、频率以及穿透深度做了探讨。之后对夹断发生的原因及回击现象的本质进行了讨论。最后研究了气体流量对射流穿透深度的影响。结论如下。

（1）水下气体射流有持续射流和集中夹断两种相间出现的阶段。

（2）在本文实验工况下，离喷口越近，射流夹断次数越少。动量射流段发生夹断的频率都随气体流量增加而降低。气体射流的剪切不稳定性导致了间歇性颈缩，颈缩导致气体内部压力突增，从而引发夹断发生。

（3）如果将穿透深度定义为多次夹断之间射流穿透深度的平均值，则射流传统深度随着气体流量的增加而增加，预测穿透深度的经验关系式还有待进一步的研究。

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date:2017-05-22.

Prof.HU Jun,hujun@bit.edu.cn

supported by the National Natural Science Foundation of China (11372041).

Pinch-off process of underwater annular-nozzled gas jet

LI Tingting1,2,HU Jun1,CAO Xuejie1,YU Yong1
(1Key Laboratory of Dynamic and Control of Flight Vehicle,School of Aerospace Engineering,Beijing Institute of Technology,Beijing100081,China;2The First Aircraft Institute,Aviation Industry Corporation of China,Xi’an710089,Shaanxi,China)

An experimental study was carried out on basic phenomena,pinch-off characteristics and penetration depth of underwater gas jet ejecting out of a vertical annular nozzle.The process of gas jet development was recorded by a high-speed camera,and jet interfaces were tracked by processing pictures with an edge detection algorithm.The pinch-off spatial distribution was determined by summation of downstream position across all recorded times.The gas jet penetration distance was calculated by counting transient pixel values divided by measured time duration of gas observed for all pixel locations.The color contour was used to indicate time percentage for gas to occupy a certain location in the field of view.The results show that underwater annular-nozzled gas jets exhibit two stages of continuous jet and centralized pinch-off.More pinch-off occurs near nozzle and less pinch-off occurs further away from nozzle in the study conditions.Pinch-off frequency at momentum jet section for all nozzles is reduced with the increase of gas flow rate.Back-attack phenomenon upon pinch-off is the result of axial obstruction and transverse expansion of subsequent gas instead of gas flowing backwards and impinging on nozzle end.The jet penetration distance is proportional to gas flow rate for ring seams of same sizes.

underwater gas jet; pinch-off; back-attack; penetration depth

O 359+.1

A

0438—1157（2017）12—4565—11

10.11949/j.issn.0438-1157.20170666

2017-05-22收到初稿，2017-08-31收到修改稿。

联系人：胡俊。

李婷婷（1988—），女，硕士研究生。

国家自然科学基金项目（11372041）。