基于螺旋理论的6R串联工业机器人奇异位形分析*

李 丽，房立金，王国勋

(1.东北大学 a.机械工程与自动化学院;b.机器人科学与工程学院，沈阳 110189；2. 沈阳理工大学 机械工程学院，沈阳 110159)

基于螺旋理论的6R串联工业机器人奇异位形分析*

李 丽1a，房立金1b，王国勋2

(1.东北大学 a.机械工程与自动化学院;b.机器人科学与工程学院，沈阳 110189；2. 沈阳理工大学 机械工程学院，沈阳 110159)

针对6自由度串联工业机器人，对其工作空间中的奇异位形进行了分析。基于旋量理论，运用旋量指数积(POE)方法对机器人进行运动学建模，得到正运动学方程，并基于旋量指数积法对速度雅克比矩阵进行了推导。根据机器人处于奇异位形时的条件，对雅克比矩阵的行列式进行求解，从而得到机器人处于奇异位形时的所有情况，并给出了发生奇异时的机器人的构型。在此基础上，基于可操作度、雅克比条件数及最小奇异值等灵巧度指标使用MATLAB对机器人的奇异位形进行了仿真，仿真结果表明该机器人在3种情况下处于奇异位形，与分析结果一致，验证了文中方法的正确性。

工业机器人；旋量理论；雅克比矩阵；奇异性

0 引言

奇异位形是指机构在主动件的驱动下运动，在运动过程中如果机构的运动学、动力学性能瞬间发生突变，机构或处于死点、或失去稳定、或自由度发生变化，使得机构传递运动和动力的能力失常[1]。当机械手运动到奇异位置时, 产生的不良影响主要表现在三个方面[2]：①操作自由度减少；②某些关节角速度趋向无穷大，引起机械手失控；③使雅可比矩阵退化，从而所有包括雅可比的求逆控制方案无法实现。对于串联机器人来说，运动学奇异性是其固有属性，不可能完全消除，因此在研究机器人运动学时必须对其奇异性进行分析。许多研究人员通过分析机器人雅克比矩阵对奇异位形进行了分析。李诚等[3]针对6自由度装校机器人，采用D-H法及微分变换法对其奇异性进行了分析。董伯麟等[4]以MOTOMAN-VA1400型7自由度机器人为研究对象，基于阻尼最小二乘法对机器人的奇异性进行分析并给出回避算法。李宪华等[5]针对6自由度模块化机器人手臂，运用D-H法建模，对其奇异性进行了分析，并使用Robotics工具箱进行了仿真。张鹏程等[6]运用矢量法建立6自由度工业机器人的雅科比矩阵，并对其奇异性进行分析。吕永军[7]基于雅克比矩阵，利用几何法从奇异位形本质出发，从运动副线性相关角度出发对6自由度串联机器人的奇异位形进行了详细分析。PENNE[8]和BOHIGAS[9]也分别对机器人的奇异性进行了分析。以上研究大多采用D-H法对机器人进行建模，但是D-H建模方法需要对每个关节建立坐标系，且每个坐标系姿态都不相同，当机器人构型改变时需重新建立模型，因此D-H法过程复杂，计算效率低，几何意义不明确。另外，建立机器人速度雅克比矩阵时大多采用微分变换法或矢量法等，这种方法求解过程和结果都比较复杂。

旋量指数积法只需建立基坐标系和工具坐标系，然后对各个关节建立普吕克坐标系[10]，建模过程简单，几何意义明确，避免了D-H法计算困难和存在奇异性问题。用旋量法求解机器人速度雅克比矩阵具有计算简单、直观的优点。本文基于旋量理论，运用旋量指数积方法对6自由度工业机器人的速度雅克比矩阵进行求解，在此基础上对其奇异性进行分析与仿真。

1 基于旋量理论的运动学模型

本文机器人采用广数RB20机器人，该机器人拥有6个旋转关节，其三维模型由图1所示，结构简图如图2所示，该6自由度机器人的结构特点是关节2和关节3轴线相互平行，且均与关节1轴线垂直相交，后三个关节轴线交于一点，且关节4与关节5、关节5与关节6轴线相互垂直，满足Pieper准则。

图1 广数RB20加工机器人

1.1 刚体运动与旋量理论

在三维欧式空间R3中设S为参考坐标系，T为固定在刚体上的物体坐标系，刚体相对于参考坐标系的位姿可由下式描述：

SE(3)={(R,t)RSO(3),tR3:

(1)

式中，SE(3)为特殊欧式群，即李群。R为3×3姿态旋转矩阵，t为位置向量。SO(3)为特殊正交群。

根据欧拉定理，对于刚体的每一个旋转运动，都有一个旋转矩阵R(RSO(3))与之对应，设ω是表示旋转轴方向的单位矢量，θ为转角，则R可写成ω和θ的函数：

(2)

根据指数映射关系，可得：

(3)

设r为旋转轴ω上的一点，引入两个矩阵：

根据Chasles定理[11]，任意刚体运动都可以通过螺旋运动即通过绕某轴的转动与沿该轴移动的复合运动实现。也就是说刚体运动与螺旋运动是等价的。因此刚体运动变换可用旋量指数积形式表示：

(4)

由前面的分析可知，运动旋量的指数形式可表示刚体的相对运动，物体坐标系{T}经螺旋运动后，相对于参考坐标系{S}的位形为：

(5)

式中，g(0)为初始位形，g(θ)为刚体运动的终止位置。

1.2 机器人正向运动学建模

机器人运动学主要是描述机器人关节与组成机器人的各刚体之间的运动关系。机器人运动学求解在机器人学中占有重要的地位,是机器人轨迹规划,离线编程和运动控制的基础。机器人运动学的求解方法有多种，一般常用的有两种：D-H参数法[12-13]和旋量法[14-15]。

基于旋量指数映射理论建立加工机器人的运动学描述，应用指数积(POE)方法实现对机器人的正逆运动学问题进行求解。基于李群及旋量理论，建立各关节旋量坐标系，如图2所示,将机器人的惯性坐标系{S}取在基座上，将工具坐标系{T}选在末端执行器部分，取图2所示的机器人位形为初始位形。

图2 加工机器人结构及连杆坐标系

gST(0)为初始位形时惯性坐标系与工具坐标系的变换：

(6)

(7)

1.3 雅克比矩阵的求解

运用旋量及指数积(POE)方法可以很方便的求解机器人的雅克比矩阵。

设ξi′表示将第i个关节坐标系由初始位形变换到当前位形，其与经刚体变换的第i个关节的单位运动旋量ξi相对应,因而机器人雅克比矩阵的第i列就是变换到机器人当前位形下的第i个关节的单位运动旋量。根据单位运动旋量坐标的定义，与旋转关节对应的运动副旋量坐标为：

(8)

式中，ri′为当前位形下轴线上一点的位置矢量，ωi′为当前位形下旋转关节轴线方向的单位矢量，并且满足下式：

(9)

(10)

式中，ri(0)为初始位形下轴线上一点的位置矢量。

则：

JS(θ)=(ξ1′,ξ2′,…,ξn′)

(11)

对于6自由度工业机器人，雅克比矩阵求解过程如下。

J(θ)=(ξ1′,ξ2′,ξ3′,ξ4′ ,ξ5′,ξ6′)

(12)

(13)

雅克比矩阵的行列式为：

det(J)=a2d4cosθ3cosθ5(d4cos(θ2+θ3)-a2sinθ2)

(14)

2 机器人奇异性分析

2.1 奇异位形分析

机器人奇异位形包括边界奇异位形和内部奇异位形，边界奇异位形可通过轨迹规划时避开边界点而回避，内部奇异位形影响机器人的运动性能、加工轨迹等，因此在进行轨迹规划时必须识别和回避。机器人奇异位形的判别通常是通过判断其雅克比矩阵是否存在逆解来实现的，也就是判断雅克比矩阵对应的行列式是否为0。

由式(14)中det(J)=0时机器人存在奇异位形，即：

a2d4cosθ3cosθ5(d4cos(θ2+θ3)-a2sinθ2)=0

(15)

由上式可以看出，三种条件下机器人处于奇异位形，如下：

(1)cosθ3=0

图3 θ3的奇异位形

(2)cosθ5=0

(3)d4cos(θ2+θ3)-a2sinθ2=0

由此条件可知θ2和θ3满足上述关系时，机器人产生奇异行位，如图5所示。

为了更直观的展现θ2和θ3的关系，将条件(3)改成函数式，如下：

(16)

式(16)即为机器人处于奇异位形时θ2和θ3的关系，对应的函数图像如图6所示。

图4 θ5奇异位形

图5 θ2和θ3的奇异位形

图6 θ2和θ3的关系曲线

2.2 灵巧度指标

机器人在工作时要避开奇异，尽量远离奇异位形，当机器人接近奇异位形时，其雅克比矩阵呈病态分布，其逆矩阵的精度降低，从而使运动输入与输出之间的传递关系失真。这种可以定量地衡量这种运动失真程度的指标称为灵巧度，衡量机器人灵巧度的指标主要有三类：雅克比条件数，可操作度和最小奇异值。

2.2.1 雅克比条件数

雅克比矩阵的条件数可定义为：

κ(J)=‖J‖‖J-1‖

(17)

且

‖J‖=max‖x‖=1‖Jx‖

(18)

等式两边取平方，得：

‖J‖2=max‖x‖=1xTJTJx

(19)

由此可知，‖J‖2是矩阵JTJ的最大特征值。如果J为非奇异矩阵，则JTJ为正定矩阵，其特征值均为正数。因此J的谱范数是该矩阵的最大奇异值σmax；同理，J-1的谱范数是J的最小奇异值的倒数(1/σmin)。因此，

(20)

雅克比条件数与机构几何尺寸及位形有关，不同位形下末端执行器所对应的条件数一般不同，但其值最小为1。条件数越大，机器人在该位形下的灵活性就越差。如果条件数的值为无穷大，则机器人处于奇异位形。

2.2.2 可操作度

YOSHIKAWA[16]将雅克比矩阵与其转置矩阵乘积的行列式定义为机器人的可操作度，即：

(21)

利用J的奇异值，上式也可写成：

ω=σ1σ2…σm

(22)

当机器人处于正常位形时，可操作度就是速度雅克比矩阵行列式的值；当机器人处于奇异位形时，可操作度为0。

2.2.3 最小奇异值

KLEIN[17]提出将雅克比矩阵的最小奇异值作为机器人灵巧度的性能指标，用来度量机器人的灵活性。根据矩阵的奇异值分解理论，对雅克比矩阵J进行奇异值分解，得：

J=UDV

(23)

其中，

式中，U∈Rm×n,V∈Rn×n,σ1,σ2,…,σm是雅克比矩阵J的奇异值，则最小奇异值为：

σmin=min(σ1,σ2,…,σm)

(24)

当σmin趋于0时，机器人处于奇异位形，其灵活性最差。

3 奇异位形仿真分析

由上节分析可知，机器人的奇异位形与关节2、关节3及关节5有关，当θ2，θ3，θ5运动到特定角度时，机器人处于奇异形位，其速度雅克比矩阵J奇异，降秩，对应的行列式det(J)=0。本节使用MATHLAB对机器人的奇异位形进行仿真。

机器人的奇异值大小与机器人的运动位置密切相关，即与各关节角的大小有关，因此在仿真时固定其他关节角不变，θ2、θ3、θ5在取值范围内变化。

图7为关节2转角与可操作度、条件数及最小奇异值关系，对应的各个关节的角度值如表1所示。由图7可看出，在表1的条件下，当θ2=0.277355时最小奇异值趋于0，可操作度为0，此时机器人处于奇异位形。由图7还可以看出在θ2=0.277355附近，雅克比矩阵J的条件数κ达到最大值，雅克比矩阵出现降秩，此时机器人的灵活性最差。将表1中θ3的值带入条件3中同样可得出θ2=0.277355。

表1 第一组关节角取值

(a)可操作度 (b)最小奇异值

(c)条件数 (d)雅克比矩阵的秩

图8为关节3转角与可操作度、条件数及最小奇异值关系，对应的各个关节的角度值如表2所示。由图8可看出在表2条件下，关节3有2处位置最小奇异值趋于0，分别是0.58588，1.5708因此当θ3等于以上2个值时，机器人处于奇异位形。当θ2取表2中的值时，即θ2=(π/6)°时，由条件3可得出θ3=-0.163308,0.58588，而θ3的取值范围是[-2π/5,7π/5]，因此θ3只能取0.58588，又根据上节分析的第一种情况，当θ3=π/2度时机器人处于奇异位形，因此表2条件下发生奇异位形时θ3的取值为0.58588rad和1.5708rad，计算结果与仿真结果一致。从图8中还可看出关节3处于奇异位形的θ3对应的条件数具有极值，可操作度为0，雅克比矩阵降秩，此时机器人的灵活性最差。

由分析与仿真结果可知，要避免关节3处于奇异位形，在对机器人进行轨迹规划时必须使关节角3远离90°；同时，关节角2的值要远离由式(16)所确定的值。

表2 第二组关节角取值

(a)可操作度 (b)最小奇异值

(c)条件数 (d)雅克比矩阵的秩

图9为关节5转角与可操作度、条件数及最小奇异值关系，对应的各个关节的角度值如表3所示。由表5可知，θ2，θ3不满足条件3，因此此情况下关节2和关节3不会处于奇异位形。由图9可看出当θ5=π/2时最小奇异值为0，可操作度为0，雅克比矩阵条件数最大，且雅克比矩阵降秩，此时关节5处于奇异位形，关节灵活性最差。

由以上分析可知，关节5发生奇异位形时，关节角5与其他关节角没有关系，因此，在进行轨迹规划时，只要使关节角5远离90°就可以避免机器人处于奇异位形。

表3 关节角取值

(a)可操作度 (b)最小奇异值

(c)条件数 (d)雅克比矩阵的秩

4 结束语

基于李群及旋量理论，以广数RB20机器人为例，运用旋量指数积方法建立机器人的速度雅克比矩阵。与传统D-H方法相比，该方法模型简单，几何意义明确，易推广到其他构型的机器人。在此基础上，对机器人所有情况下的奇异位形进行了分析，并基于最小奇异值、雅克比条件数、可操作度等灵巧度指标利用MATLAB对机器人的奇异性进行了仿真分析，仿真结果验证了分析结果的正确性。分析计算和仿真结果表明，本文机器人的奇异位形与其他6自由度串联机器人的奇异情况有所不同，该机器人在3种情况下处于奇异位形，分别是θ3=π/2，θ5=π/2，以及θ2和θ3满足特定关系 2.1节中的条件3，此时机器人的可操作度及雅克比矩阵的最小奇异值趋于0，其灵活性最差，并出现自由度缺失及雅克比矩阵降秩等情况。 最后，根据仿真分析结果，针对不同的奇异位形给出了避免奇异的建议，为机器人合理轨迹规划提供参考。分析与仿真结果为切削加工机器人末端刀具路径规划提供必要的数据基础，有利于提高零件表面加工质量和加工效率 。

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SingularityAnalysisof6RSeriesIndustrialRobotBasedonScrewTheory

LI Li1a, FANG Li-jin1b, WANG Guo-xun2

(1 a.School of Mechanical Engineering & Automation; b.Faculty of Robot Science and Engineering,Northeastern University,Shenyang 110189, China; 2. School of Mechanical Engineering,Shenyang Ligong University,Shenyang 110159, China)

Aiming at the 6-DOF series robot, the singularity in the working space was analysed. Based on the screw theory, the kinematic modeling of the robot is carried out by using the screw product of exponentials (POE) method to obtain the positive kinematics equation, and the velocity Jacobian matrix is deduced based on the screw product of exponentials method. According to the condition that the robot is in the singularity, the determinant of the Jacobian matrix is solved, and all the cases when the robot is in the singularity are obtained, and the configurations of the robot when the singularity occurs are given. On this basis, the singularity of the cutting robot is simulated using MATLAB based on the dexterity index: Operability, Jacobian condition and minimum singular value, the simulation results show that the robot is in singularity in three cases, the simulation results are in agreement with the analytical results, the correctness of this method is verified.

industrial robot; screw theory; jacobian matrix; singularity

TH165;TG659

A

1001-2265(2017)12-0001-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.12.001

2017-07-08；

2017-08-13

国家自然科学基金项目(51575092)；辽宁重大装备制造协同创新中心项目

李丽(1981—)，女，山东聊城人，沈阳理工大学副教授，东北大学博士研究生，研究方向为机器人技术，先进制造技术，(E-mail)wgxlili@126.com;通讯作者：王国勋(1979—)，男，山东五莲县人，沈阳理工大学副教授，博士，研究方向为机器人技术，先进制造技术，(E-mail)wangguoxun@126.com。

(编辑李秀敏)