基于二次插值的光伏MPPT改进算法研究*

辛小南，李航宇，程志平，武杰

（1.郑州大学 电气工程学院，郑州450001；2.郑州供电公司，郑州450001）

0 引 言

作为一种清洁、安全、取之不尽用之不竭的绿色新能源，太阳能对于解决环境污染、能源短缺等世界问题起着重要作用［1-3］。光伏发电作为太阳能利用的主要方式，也越来越受到人们的关注［4］。然而，由于太阳能的波动性和随机性较大，其输出受光照和温度的影响不断变化，使得光电转化效率很低。为了充分利用光能，提高光电转化效率，对光伏系统进行最大功率跟踪势在必行［5］。

目前，国内外学者对光伏系统的最大功率跟踪控制进行了大量的研究。文献［6］提出基于恒定电压法的变步长滞环控制法，通过分析光伏电池受光照强度的影响和在最大功率点附近的功率特性确定了电压扰动步长值，减小了光照变化较快时光伏电池的稳态功率波动；文献［7］根据估算的最大功率点和输出电流成线性关系把P-I输出曲线划分成区域Ⅰ和区域Ⅱ两个独立区域，在两个独立区域分别采用变步长观测比较法和变斜率观测比较法快速调节输出电流使其接近或者等于最大功率点电流，达到快速跟踪最大功率点的目的；文献［8］提出了一种改进的自适应占空比扰动法，有效地克服了传统的扰动观测法的不足，能够同时提高系统的动态和稳态性能；文献［9］对扰动观察法的实现算法、扰动观察法的采样周期、功率采样值的滤波和直流电压的控制等问题进行了分析，提出了适合于并网的基于扰动观察法的MPPT方法；文献［10］采用改进的短路电流法进行初步跟踪，再使用双阶段变步长扰动观察法，使得工作点进一步调节到最大功率点，有效减少了光伏阵列输出功率在最大功率点的振荡。

分析了光伏电池的输出特性以及传统电导增量法的跟踪原理和优缺点；在此基础上，基于拉格朗日二次插值，对定步长电导增量法进行优化，减少其稳态波动，并分析了步长对该方法的稳态误差和跟踪速度的影响；为消除这一影响，提出了二次插值与变步长电导增量法相结合的MPPT算法；最后通过仿真验证了该方法的有效性。

1 光伏电池模型与输出特性

1.1 光伏电池模型

从光伏电池内部分析，光伏电池的单体等效电路如图1所示。在电路模型［1－3］中，Iph为光生电流，与光照强度成正比，同时受温度影响；Id为暗电流［2］，也受温度影响；Rsh和 Rs分别为电池内部等效并联和串联电阻。一般分析时Rsh很大，而Rs很小，所以理想电路计算时可以忽略不计。

图1 光伏电池等效电路模型Fig.1 Equivalent circuitmodel of photovoltaic cell

由图1分析，光伏电池数学模型可以表示为：

式中I0为二极管饱和电流；q为电荷量；A为二极管质量因数；K为波尔兹曼系数，在1～2之间。

根据文献［11］和文献［12］中的电池工程化模型，考虑到太阳辐射和温度影响等，可将光伏电池的数学模型简化。设定S为太阳辐射强度，T为电池温度，Isc为短路电流，Voc为开路电压，Im为最大功率点电流，Vm为最大功率点电压。则当光伏阵列电压为V时，其对应的电流I为：

其中：

式中Sref和Tref分别为太阳辐射和电池温度的参考值，一般取为 1 000 W／m2，25℃［13］；α、β为参考日照下电压、电流变化温度系数。

1.2 光伏电池输出特性

由公式（2）分析可知，光伏电池的输出特性受外界因素的影响。在不同的光照、温度下，光伏电池的输出曲线不同，对应的最大功率也不同。图2和图3是温度一定时，不同光照情况下的光伏电池输出特性；图4和图5是光照一定时，不同温度下的光伏电池输出特性。

图2 温度一定时，电压电流输出特性曲线Fig.2 V-Ioutput characteristic curve of constant temperature

图3 温度一定时，功率电压输出特性曲线Fig.3 P-V output characteristic curve of constant temperature

图4 光照强度一定时，电压电流输出特性曲线Fig.4 V-Ioutput characteristic curve of constant solar irradiation

图5 光照强度一定时，功率电压输出特性曲线Fig.5 P-V output characteristic curve of constant solar irradiation

由图3、图5可知，在一定的温度和光照强度下，光伏系统存在唯一最大功率点。由图2、图3可知，当温度一定时，最大短路电流随光照强度的增大而增大，最大开路电压相对变化很小，同时，光伏最大功率点也随之增大。由图4、图5可知，当光照强度一定时，最大开路电压随温度的增大而减小，最大短路电流相对变化很小，同时，光伏最大功率点也随之减小。

2 改进的电导增量法

2.1 传统的电导增量法

由光伏电池的输出特性可知，为了保证光伏系统功率的最大输出，必须找到光伏系统的最大功率点，即进行最大功率跟踪（MPPT）。电导增量法是一种常用的最大功率跟踪方法。

对于功率P＝I·V，两侧对V进行求导可得［13］：

结合图3和图5所示的P－V曲线，电压V与最大功率点电压Vm的关系为：

结合式（3），有：

由式（5）可得，MPPT过程中电压的增减可由d I／d V与－I／V的大小关系反映了的变化趋势，即：

（1）当 d V不为0时，若 d I／d V＞－I／V，则增大当前电压；若 d I／d V＜－I／V，则减小当前电压；

（2）当 d V＝0时，若 d I＞0，则增大当前电压；若d I＜0，则减小当前电压；若d I＝0，可得最大功率点。

结合上述分析，若按照固定的步长调整电压，则称为定步长电导增量法，其流程图如图6所示，具体步骤如下：

（1）对光伏电池的电压和电流进行采样，结果记为 Vk和 Ik；

（2）结合上次的采样结果，计算d V和d I；

（3）根据 d I／d V与 －Ik／Vk的关系，判断电压调整方向；

（4）根据步骤（3）的电压调整方向，以固定的步长调整电压。

图6 电导增量法流程图Fig.6 Flow chart of conductance incrementmethod

由图6可知，若跟踪步长ΔV选择较小，MPPT跟踪的精度较高，但跟踪速度慢；若ΔV选择较大，则跟踪速度快，但跟踪精度较差。由此可见，传统的电导增量法无法同时满足跟踪速度和稳态精度的要求。

2.2 改进的MPPT算法

为解决传统电导增量法的跟踪速度和稳态精度的矛盾，引入拉格朗日二次插值算法。

2.2.1 基于二次插值的定步长电导增量法

由图3和图5可知，在最大功率点附近，P-V特性曲线近似为开口向下的抛物线，可通过二次插值法拟合出最大功率点附近的功率曲线，进而求得最大功率点。

为便于说明，定义靠近最大功率点的区域Q为插值区域。基于二次插值的定步长电导增量法如图7所示，其步骤如下：

（1）以定步长的电导增量法，进行最大功率跟踪；

（2）在进入插值区域Q之前，仍然按照定步长电导增量法进行最大功率跟踪；

（3）进入插值区域后，在P-V曲线上，选取满足式（6）的插值点（V1，P1）、（V2，P2）和（V3，P3）进行插值计算；

插值多项式为［14］：

其中：

可以得到二次函数的一般方程式：

其中：

在上述插值运算中，插值区域Q的选择是曲线准确拟合的关键。图8反映了插值区域对拟合精度的影响。在图8中，曲线1是光伏电池的P-V曲线，曲线2是取V＝0.85Vm、Vm、1.15Vm对应三个点时的拟合曲线，曲线3是取 V＝0.92Vm、Vm、1.08Vm对应三个点时的拟合曲线，曲线4是取V＝0.94Vm、Vm、1.06Vm对应三个点时的拟合曲线。对比曲线可以看出，插值点越接近最大功率点（见曲线3、见曲线4），拟合曲线的误差越小；当插值点远离最大功率点时（如曲线2），拟合误差较大。本文选取的插值区域为Q＝（0.94Vm，1.06Vm），在该区域下拟合曲线的最大值点与最大功率点误差较小。

图7 基于二次插值的定步长电导增量法流程图Fig.7 Flow chart of fixed-step conductance incrementmethod based on quadratic interpolation

图8 基于二次插值的拟合曲线Fig.8 Fitting curve based on quadratic interpolation

基于二次插值的定步长电导增量法一定程度上解决了MPPT跟踪速度与波动之间的矛盾，但步长的选取仍然是该方法的难点。若步长选取过大，则有可能跳过插值区域Q，造成较大的二次插值误差；若步长选取过小，能准确地进入插值区域，但跟踪速度慢。

2.2.2 基于二次插值的变步长电导增量法

为解决二次插值定步长电导增量法的步长选取问题，在原有改进算法的基础上采用变步长的算法。

根据P-V变化曲线，当V远离最大功率点电压Vm时（ΔP较大），可以设置较大的步长以加快跟踪速度；当V逼近插值区域Q时（ΔP变小），减小步长，使插值节点能够准确地进入区域Q，进而进行二次插值。由此可见，步长大小应随ΔP成正比变化，这样既加快了跟踪前期动态响应速度，又保证插值节点准确地进入插值区域Q。

引入变步长增量因子D反映步长与功率变化的关系，即：

式中n为衰减系数；k为初始步长系数。n的大小影响步长变化的快慢。

基于二次插值的变步长电导增量法MPPT控制流程图如图9所示，其步骤如下：

（1）根据步长增量因子，以变步长的电导增量法，开始进行最大功率跟踪；

（2）在进入插值区域Q之前，按照变步长电导增量法进行最大功率跟踪；

（3）进入插值区域后，在P-V曲线上，选取满足式（6）的插值点（V1，P1）、（V2，P2）和（V3，P3）进行插值计算，拟合曲线的最大值即为最大功率点。

图9 基于二次插值的变步长电导增量法流程图Fig.9 Flowchart of variable-step conductance incrementmothed based on quadratic interpolation

3 仿真与分析

为验证基于二次插值光伏MPPT改进算法的有效性，搭建光伏电池最大功率跟踪仿真模型，进行仿真研究。光伏电池参数（额定值）如表1所示。

表1 光伏电池参数Tab.1 Parameters of photovoltaic cell

在仿真过程中，温度设为25℃，光照强度的变化如图10所示。图中，光照强度初始值为1 000 W／m2；在 t＝0.5 s时，下降为700W／m2；在 t＝1 s时，上升为 850W／m2。

图10 光照强度变化曲线图Fig.10 Change of solar irradiation

图11反映了步长对定步长电导增量法跟踪速度和稳态精度的影响。图11（a）中，步长为0.01，初始启动跟踪段的跟踪时间为0.006 5 s，稳态时最大功率波动为1.8 W；图11（b）中，步长为0.001，初始启动跟踪段的跟踪时间为0.068 s，稳态时最大功率波动为0.02 W。可见，固定步长的电导增量法无法同时保证动态响应和稳态特性。

图12为基于二次插值的定步长电导增量法的仿真结果。图12（a）中，步长取为0.01，光伏电池初始启动跟踪段的跟踪时间为0.011 s，稳态时最大功率波动为1.4W。结合图11（a），系统跟踪到最大功率所用时间增加了0.004 5 s，最大功率的波动减小0.4 W；当光照强度改变时，可以迅速跟踪到最大功率点。

图12（b）反映了步长对二次插值结果的影响。图中，步长取为0.1。由图可知，当光照强度变化时，跟踪系统难以插值区域，造成了较大的插值误差，从而无法准确地进行最大功率跟踪。

由图12可知，基于二次插值的定步长电导增量法在一定程度上解决了MPPT跟踪速度与波动之间的矛盾，但步长的选取是该算法能否准确进入插值区域Q的关键，也对系统能否完成MPPT具有重大影响。

图11 定步长电导增量法仿真结果Fig.11 Simulation results of fixed-step conductance incrementmethod

图12 基于二次插值定步长电导增量法仿真结果Fig.12 Simulation results of fixed-step conductance incrementmethod based on quadratic interpolation

图13为基于二次插值的变步长电导增量法仿真结果。图中，光伏电池初始启动跟踪段的跟踪时间为0.018 s，稳态时最大功率波动为0.22 W；在光照强度改变时，能准确地进入插值区域，快速跟踪最大功率点，且稳态功率波动较小。由图可知，该方法可以有效的解决了MPPT跟踪速度与稳态波动之间的矛盾。

图13 基于二次插值变步长电导增量法仿真图Fig.13 Simulation results of variable-step conductance incrementmethod based on quadratic interpolation

4 结束语

在分析光伏电池模型的输出特性的基础上，结合P-V曲线的特点，采用二次插值，对定步长电导增量法进行优化，提出了一种将二次插值与变步长电导增量法相结合的MPPT改进算法。结果表明，提出的算法可以迅速稳定地响应外部环境的变化，有效地解决了跟踪速度和稳态波动的矛盾。另外，该算法也可为其他MPPT算法提供参考。