关于2类群体运动模型的综述：Cucker-Smale模型与Kuramoto模型

薛小平

(哈尔滨工业大学 数学系， 黑龙江 哈尔滨 150001)

关于2类群体运动模型的综述：Cucker-Smale模型与Kuramoto模型

薛小平

(哈尔滨工业大学 数学系， 黑龙江 哈尔滨 150001)

介绍2类重要的群体运动模型Cucker-Smale(简记(C-S))模型与Kuramoto(简记(K))模型的研究现状及发展动态.(C-S)模型是描述动物群体能如何成群的数学机制,(K)模型是揭示自然界中广泛存在的频率同步现象的形成机制.2个模型具有共同的特点，即群体效应，但研究的方法和手段却不相同.重点从数学方法上论述研究的成果及其未解决的问题，帮助有兴趣的读者能较快地进入这一领域.

Cucker-Smale模型； Kuramoto模型； 成群； 锁相； 频率同步

鸟群、鱼群、羊群等自然界的动物成群机理是什么？从生物学实验和观察可知，它们具有自行组织的群体效果，即使用局部信息和简单规则便可从无序状态过渡到有序运动.匈牙利著名的生物物理学家T. Vicsek等在文献[1]中首次利用数值实验的方法描述了群体运动的形成机理.A. Jadbabaie等在文献[2]中基于一定的假设条件下从数学的角度严格证明了上述数值实验的正确性.在T. Vicsek等的工作后，出现了大量的数学模型来研究群体行为，这里主要介绍由著名数学家T. Cucker和S. Smale于2007年提出的N-体运动模型[3]及相关的后续研究.这类模型在机器人群体运动和飞行器编队等工程领域有广泛应用背景.

17世纪著名物理学家惠更斯发现同一梁上的钟摆具有同步振动的特性,即振子群体在弱耦合下展现同步效应.日本物理学家Y. Kuramoto提出了一个经典的耦合振子模型用于描述惠更斯所观察到的钟摆同步现象.尽管模型相对简单，但从大量的数值实验可观察到其丰富的动力学行为.(K)-模型应用极其广泛，它可以描述神经细胞构成的神经系统的兴奋机制，也可以描述超导系统的物理性态.在工程上，扩展的(K)-模型是电力系统的基本方程，对电网的“暂态”稳定性研究具有重要意义.

1 (C-S)模型及其变种

本章重点介绍连续(C-S)模型及离散(C-S)模型，主要包括在不同拓扑连结情况下如何分析模型展现渐近群体行为.

1.1原始(C-S)模型(对称情形) 在d-维欧氏空间中给定N个粒子，用(xi,vi)表示第i个粒子的位置和速度，这N个粒子的运动服从如下的微分方程(i=1,2,…,N)：

(1)

这里

K是耦合强度，Kgt;0.系统(1)与文献[3]原始(C-S)模型的参数形式略有不同，为了后续方便，均采用统一模式，并不影响模型的性质.

定义1.1称系统(1)的解(x,v)具有渐近群体效应是指：

1) 相对速度趋向于0，即

2) 相对位移聚集，即

(2)

对于给定的一个非负对称N×N矩阵A，对应的拉普拉斯矩阵记为L=D-A，这里

用(Rd)N表示N个欧氏空间Rd的乘积，赋予由Rd诱导的内积结构，即对∀x=(x1,x2,…,xN),y=(y1,y2,…,yN)∈(Rd)N,

Rd中范数记为|·|,(Rd)N范数记为‖·‖,即

这样(2)式可以写成如下形式

(3)

这里

x=(x1,x2,…,xN)∈(Rd)N,

v=(v1,v2,…,vN)∈(Rd)N,

Lx表示(2)式中矩阵对应的拉普拉斯矩阵.

令

Δ={(v,v,…,v)|v∈Rd}⊂(Rd)N,

Δ⊥表示Δ的垂直补空间.容易看到，对每个x∈(Rd)N,都有唯一分解

x=xΔ+x⊥.

定义Q:(Rd)N×(Rd)N→R为

那么Q是Δ⊥×Δ⊥上双线性、对称、正定二次型，因此是Δ⊥上内积.

记

注1.11) 定理的证明依赖于Q是Δ⊥的内积及其“自有界”方法,这种方法主要是通过Cucker-Smale建立的一个引理来证明位置差有界.这个基本引理为:

设c1,c2gt;0,sgt;qgt;0,那么方程

F(z)=zs-c1zq-c2=0

有唯一正根z*.进一步，

下面介绍文献[4]的方法，注意到(2)式第2个方程右端项具有对称性，故

即

因此，分析系统(1)，可以转化为假设解具有

取(x,v)为满足(4)式的系统(1)的解，令

‖x‖∞=maxi|xi|, ‖v‖∞=maxi|vi|,

那么有下面的微分不等式成立:

(5)

构造Lyapunov泛函

1.2非对称连续(C-S)模型在Cucker-Smale的原始工作之后，文献[5]中研究了一个分等级领导的(C-S)模型.首先引入一些基本概念.

给定一个非负矩阵A=(aij)N×N，对应一个有向图G=(V,E),这里V={1,2,…,N}是顶点集，E是边集，E={(i,j)|aijgt;0}.

定义1.2称非负矩阵A具有分等级领导结构的，是指

1) 若aijgt;0,那么jlt;i;

2) 记L(i)={j|aijgt;0},当igt;1时，L(i)≠Ø.

由定义容易看出非负矩阵A具有分等级领导⟺A是下三角矩阵，且对任何igt;1行，至少存在一个非对角正元素aij.aijgt;0意思是粒子j领导粒子i.考察N个Rd中的粒子(xi,vi),满足如下方程

(6)

x=(x1,x2,…,xN)∈(Rd)N,

注意L(1)=Ø，因此v1是自由量.

2) 定理1.2的证明是用数学归纳法.事实上当N=2时，可直接利用定理1.1的结论.然后，假设N结论成立，利用扰动方法可以证明N+1时也成立.

另一个非对称(C-S)模型由S. Motsch和E. Tadmor在文献[6]中提出，其动力学方程为

(7)

引进系统(7)的解(x,v)的直径

这样基于文献[4]中提出的Lyapunov泛函方法有:

定理1.3[6](Motsch-Tadmor) 如果初始值满足

那么系统(7)对应的解具有群体效应，即

系统(7)的解具有群体效应是无条件的.

注1.4系统(7)是非对称结构，与系统(1)有很大不同，注意系统(1)有

因此

对于系统(7)仍然有

那么A与初始速度(v1(0),v2(0),…,vN(0))之间有什么关系，是不清楚的.

问题1.1对于系统(7)，每个粒子都收敛到相同的速度A，那么A与初始速度的依赖关系是什么？这是一个未解决的公开问题，见文献[6].

1.3离散(C-S)模型在著名文献[3]中也研究了如下的离散模型：

(8)

定理1.4[3]对于系统(8),如果βlt;1/2且当h足够小时,群体效应发生.如果β≥1/2，当初始位置和速度满足一定条件时，群体效应发生.

注1.5他们给出一个βgt;1/2的例子，说明群体效应发生是有条件的.

下面来研究系统(8)的变种.首先引入有向图.记V={0,1,2,…，N}为顶点集，边集

E={(j,i)⊂V×V}(i,i):i∈V}，

记图G=(V,E)，那么G是有向图.称(j,i)∈E是指j领导i，L(i)={j:(j,i)∈E}表示i的领导集.文献[5]中给出了分等级领导结构(见定义1.2)，而N+1个粒子{0,1,2,…，N}称为具有分等级领导的，是指有向图G满足:1) 如果j∈L(i)，那么jlt;i；2) 对∀igt;0,L(i)≠Ø.

给出一个分等级的有向图G，考虑如下模型

(9)

这里

(10)

定义1.3称图G具有根领导结构，是指顶点0没有从其它顶点出发的路径连结，而每个顶点igt;0，都有顶点0出发的路径连结.

可以看出:图G具有分级结构，那么G具有根领导结构;反之，不成立.在文献[8]中，证明了如下定理.

上面的定理1.5和1.6都是固定有向图，在文献[9]中研究了一个变化有向图结构的系统.设对∀t∈N={0,1,2,…},有一个有向图Gt=(V,Et)对应,考虑如下系统：

(11)

这里

2) 对于系统(9)和(11),无条件群体效应发生的参数β的临界值βc是多少，仍然是未知的.

问题1.2对于系统(9)和(11),βc是多少？这个值是与图的尽度有关吗？

注1.7定理1.6和1.7的证明是依赖于一类非负矩阵，即(sp)矩阵的性质，这种矩阵在非负系统的切换稳定性中有很好的应用，见文献[12-13].

1.4关于(C-S)模型的其他变种文献[14]中考虑了如下的随机模型,对于t=0,1,2,…

(12)

在Hi(t)假定为均匀分布和正态分布的情况下，给出了类似于确定模型的结论.

在文献[15]中考虑了如下的随机模型

(13)

这里

在对称和根领导结构下证明了系统(13)几乎依概率1具有群体效应.

对于系统(4),当N→∞时，可用一个粒子的动态密度函数f=f(x,ξ,t)来描述，那么系统(4)转化为如下的Vlasov-Mckean方程

(14)

文献[16]中研究了方程(14)解的存在性、正则性，及其与系统(4)之间的关系.另外，(C-S)模型与流体耦合形成的动力系统也有研究，如文献[17-18]等.

注1.8(C-S)模型及其变种能反映成群的数学机理，目前，理论上还有很多值得探讨的前沿课题.从应用角度，如飞行器编队、机器人群体运动等方面，也有相应的工程科学研究，这里没有列出相应的文献.

2 Kuramoto模型及其变种

本章讨论另一类群体运动模型，即耦合振子模型，或Kuramoto模型.下面分一阶、二阶模型分别研究.

2.1一阶Kuramoto模型(有限个振子的情形) 考虑N个振子，θi表示第i个振子的转角(相位角)，ωi∈R表示第i个振子的固有频率.日本学者Y. Kuramoto在文献[19]中提出了这N个振子耦合的如下模型：

(15)

这里Kgt;0是振子的耦合强度.主要研究方程(15)的以下3个方面问题：

1) 频率同步解：如果方程(15)的一个解

θ(t)=(θ1(t),θ2(t),…，θN(t))

满足

2) 锁相解：如果方程(15)的一个解

θ(t)=(θ1(t),θ2(t),…，θN(t))

满足

注意到方程(15)N个式子相加得

(16)

如果解θ(t)是频率同步解，那么由(16)式,记

那么

即

于是，可将方程(15)的研究变型成如下方程：

(17)

此时频率同步解等价于

(18)

对于N个振子(N大时)，Kc的精确值很难估算.一个粗略的估计，可以从(18)式中得到，记

则

文献[20]中利用凸优化方法给出了Kc的一个较好的估计.

那么，当

时，(18)式有静态锁相解.

关于Kc的估计，如文献[21-23]等.

耦合振子模型可用如下的序参数表示：

(19)

r=0表示振子空间分布均匀，r=1表示相位同步.由(19)式可以得出另一个Kc的下界估计.如果θ*表示静态锁相解，那么

由此，K应满足

文献[24]中给出了Kc一个精确的计算公式.

定理2.2[24]N≥2,ω=(ω1,ω2,…，ωN)不完全相同，u*∈[‖ω‖∞,2‖ω‖∞]是如下方程

的唯一解，那么(19)式有静态锁相解的临界耦合强度

Kuramoto模型(15)的一个自然推广是考虑网络上的振子模型：

(20)

其中,aij=aji≥0,由矩阵A=(aij)N×N生成的图是无向连通的.模型(20)可以写成如下梯度系统

(21)

这里θ=(θ1,θ2,…，θN)∈RN,

利用一个著名的Lojasiewicz不等式理论，可以分析(20)式的动力学行为.

定理2.3[25](Lojasiewicz梯度不等式) 设f:RN→R是实解析函数，记临界点集为

Γ={θ∈RN:▽f(θ)=0},

|f(θ)-f(θ*)|1-r≤c‖▽f(θ)‖,θ∈U(θ*),

通常称r为f在θ*处的Lojasiewicz指数.

定理2.4[25](Lojasiewicz梯度系统的收敛定理) 设f:RN→R是实解析函数，考虑梯度系统(21),如果θ(t)是系统(21)的一个有界解，那么存在θ*∈Γ,满足：

2) 定理2.4的主要应用是处理临界点集Γ是稠密集的情形，此时通常常微分方程中常用的Lasalle不变原理不能得到解的收敛行为.

利用定理2.3和2.4,对于经典的Kuramoto模型(15),有如下定理.

定理2.5[26]对于系统(15),当ωi≡ω(i=1,2,…，N)时，对于任何系统(15)的解都是频率同步解，也是锁相解.

对于系统(20),可以计算在特定区域梯度系统(21)临界点的Lojasiewicz指数，记

对于Kuramoto模型(20),有如下定理:

注2.21) 由定理2.6可知，如果系统(20)的一个解θ(t)→θ*(t→∞),θ*∈R(D*),那么收敛率是指数的.

2) 在文献[28]中，还计算了f(θ)在其它区域中临界点的指数，从而用指数来判定收敛率.

定理2.7[29]若矩阵A=(aij)N×N生成的无向图是连通的，且耦合强度K和初始位置满足某些约束时，系统(21)的解是频率同步解.

关于系统(20)的拓展是考虑不同的连结拓扑下的同步问题，已有许多作者做了相应的工作，如文献[30]中的环图连结、文献[31]中的完全二分图连结等.

问题2.1系统(20)的同步解吸引域与拓扑之间的关系如何？在一定程度上不清楚.

对于Kuramoto模型研究的文献很多，包括来自物理、自动化和数学领域，这里仅仅涉及很少一部分，主要是从数学的兴趣考虑.

2.2连续Kuramoto模型(振子个数为无限的情形) 考虑系统(19)当N→∞的情形.用ρ(θ,ω,t)表示振子在

S1={eiθ:0≤θlt;2π}

上分布的密度函数，满足

由质量守恒，那么ρ满足如下的连续方程

(22)

根据系统(19),每个振子的速度v为

v(θ,t,ω)=ω+Krsin(ψ-θ).

(23)

用g(ω)表示固有频率的密度函数，那么由系统(19)令N→∞得

将(23)和(24)式代入到(22)式得到连续型Kuramoto模型为

(25)

对于0lt;rlt;1,静态解满足如下方程

(26)

下面计算耦合强度的临界值.由方程(26)得

令r→0+,解得

对于上述猜想，文献[33]得到如下结论.

定理2.8[33]对于系统(25),如果频率分布函数g:R→[0,+∞)满足如下条件：方程

Kuramoto模型的另一个连续型模型可以按照如下方式导出.

设N个振子满足如下方程

(27)

其中ri是独立同分布的随机变量，利用大数定理和黎曼积分，令N→∞,得到如下的积分、微分方程

(28)

关于方程(28)的研究还刚刚起步，目前，在文献[37]中仅研究了方程(28)静态解的存在性问题，而稳定性和吸引性尚未有任何结果.

最近，文献[38-39]研究了随机图意义下的Kuramoto模型的连续极限模型，通过随机图的收敛性，建立了离散与连续之间的关系，是一个非常新的研究方向.

2.3二阶Kuramoto模型在文献[40]中，首先考虑了带有惯量的Kuramoto模型

(29)

其中mgt;0是惯量.

为了研究方程(29)的同步问题，他们建立了一个二阶微分不等式的Gronwall不等式.考虑下面的微分不等式：

(30)

其中,agt;0,b、c、d是实常数.

引理2.1[40](二阶Gronwall不等式) 设y=y(t)是方程(30)的一个解，那么

1) 当b2-4acgt;0时，成立

2)b2-4ac≤0时，成立

记

及

当ωi≡ω(i=1,2,…，N)时，得到下面的定理.

定理2.9[40](小惯量定理) 考虑方程(29),若满足如下条件

那么方程(29)的解θ(t)相位指数同步、频率指数同步，即

Dθ(t)≤Ce-μ1t,Dω(t)≤Ce-μ2t,

其中C,μ1,μ2gt;0为3个常数.

当mK大时，即大惯量定理，也在文献[40]中建立了与定理2.9类似的结论，同时，也建立了{ωi}不相同情形的大、小惯量定理.

事实上，如果取

那么系统(29)也是下面的梯度系统

是否对于ωi≡ω(i=1,2,…，N)的情形，系统(29)所有的解都是频率同步解呢？也就是惯量mgt;0对于频率同步解不受影响.

猜测2.1当ωi≡ω(i=1,2,…，N)时，系统(29)的所有解都是频率同步的，即

从梯度系统的角度来看，猜测应该是正确的.

文献[41]中提出如下的电力系统模型

(31)

这里,Migt;0表示第i个发电机的惯量，Digt;0表示第i个发电机的阻尼，φij表示相位偏移，aij表示2个发电机的功率转化，ωi表示自然频率.

为了研究系统(31),考虑如下的非一致Kuramoto模型

(32)

利用奇异摄动理论，有如下结论：

这里

D=diag(D1,D2,…，DN),

P(θ)=(P1(θ),P2(θ),…，PN(θ)),

i=1,2,…，N.

定理2.10说明系统(31)的同步问题在一定条件下可用方程(32)来研究.但无论如何，对于电网系统，一般ε的值较大，所以定理仅是一个特殊情形.文献[42]中研究了系统(31)当φij=0时静态锁相解的存在条件，特别提出了如下问题：对于系统

(33)

频率同步解的吸引域如何估计？

注意到系统(33)是二阶梯度系统，在文献[27]中对于上述问题有如下定理：

定理2.11[27]在惯量与阻尼比相同的情形下，对于矩阵(aij)N×N在一定条件下，可以估计系统(33)的频率同步吸引域，对于每个在吸引域内的初始值，对应的解都以指数收敛到静态锁相解.

对于惯量与阻尼比不相同的情形，系统(33)吸引域问题仍然是公开的，至今尚未看到任何结果.

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2010MSC:34D05; 34C15

(编辑 余 毅)

A Survey on Two Types of Multi-agent Models:the Cucker-Smale Model and the Kuramoto Model

XUE Xiaoping

(DepartmentofMathematics,HarbinInstituteofTechnology,Harbin150001,Heilongjiang)

We introduce the recent research development about two types of multi-agent models: the Cucker-Smale (C-S) model and the Kuramoto (K) model. (C-S) model is a mathematical model used to describe the flocking behavior of animals. K model reveals the mechanism of synchronization phenomenon in natural world. These two models have a common property, which is the group effect. But the methods to study these two models are quite different. We introduce not only the mathematical methods but also some open problems about these two models. We hope this survey can help the interested readers to enter this research area quickly.

Cucker-Smale model; Kuramoto model; flocking; phase locking; frequency synchronization

O175.14

A

1001-8395(2017)06-0711-11

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.06.001

2017-08-28

国家自然科学基金(11671109)

薛小平(1963—),男,教授,主要从事泛函分析及其应用、优化与控制、微分包含与动力系统的研究,E-mail:xiaopingxue@263.net