特殊位置助解定点定角定值

甘肃 魏正清

特殊位置助解定点定角定值

甘肃 魏正清

解析几何中的定点、定角、定值问题，是高考考查的核心题型之一，是多年高考经久不衰的热点.这类问题常常以直线与圆锥曲线的位置关系为载体,以参数处理为核心,需要综合运用函数、方程、不等式、平面向量等诸多数学知识，以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解,解法一般来说都比较单一，虽然有通法可循，但运算量大且过程很繁琐，如何化繁为简，减少运算量，有效突破这一人人都颇感棘手的问题，是值得研究的课题，也是追求数学简洁美的根本要求.本文另辟蹊径，从特殊情形入手，先猜后证，给出处理解析几何中定点、定角、定值问题的简化策略.

1.定点问题

分析：如图，探索以AB为直径的圆是否恒过平面内一定点，通常都是先求出以AB为直径的圆方程，再利用圆系的有关知识寻求定点，难度过大，不易上手.如果寻求特殊的圆，先猜后证，就能化繁为简，将问题迎刃而解.

解：假设存在定点T(x0,y0)满足题意，设A(x1,y1),B(x2,y2).

当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x=0，易知A(0,1),B(0,-1)且以AB为直径的圆C1的方程是x2+y2=1；

将圆C1与圆C2的方程联立可得交点T(0,1).

以下只需验证当直线m的斜率存在时，也符合题意.

即当直线m的斜率存在时，以AB为直径的圆也过定点T(0,1).

综上所述，存在定点T(0,1)满足题意.

【评注】证明某动曲线过平面内一定点，若从特殊情形入手，寻求符合题意的两条曲线，求出这两条曲线的交点，进而猜得定点，再加以验证就可将问题圆满解决.

2．定角问题

【例2】若点E在抛物线C：y2=2x上，且纵坐标为2，经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点(不同于点E)，直线EA,EB分别交直线x=-2于点M,N，O为原点，求证：∠MON为定值.

分析：如图，证明∠MON为定值，通常是验证 tan∠MON的值为定值，这就需要将tan∠MON的求解转化为直线的倾斜角，进而转化为直线的斜率问题解决，这样处理既要寻求∠MON与某两条直线的倾斜角的关系，还要利用两角和与差的正切公式，问题方能得以解决，过程繁且不说，运算量还很大.如果取特殊点，先猜出∠MON的值，再进行验证，则有意想不到的收获.

解：易知点E(2,2)，设直线l：y=k(x-2).

由直线l与抛物线C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，

直线EB方程为y-2=2(x-2)，令x=-2得N(-2,-6).

【评注】证明一个角为定角，如果从特殊情形入手，求出符合条件的角的大小，再加以验证，则可有效简化过程，巧妙解决问题.

3．定值问题

分析：探索正数λ，负数m，使得∠QC2M=λ∠QMC2成立，按照正常思维实在是无从着手的，但若从极端情形入手，先猜出正数λ与负数m的值，再进行验证，定会柳暗花明.

解：如图设Q(x0,y0)(x0≥1,y0gt;0)，

以下证明，当λ=2,m=-1时，恒有∠QC2M=2∠QMC2.

故存在λ=2,m=-1，使得∠QC2M=2∠QMC2.

【评注】探索某代数式的值为定值，若能另辟蹊径，从特殊情形入手，先猜后证，定是别有洞天.

甘肃省临泽一中)