热声载荷下薄壁开孔结构振动响应与寿命预估

王 建，沙云东，赵奉同，骆 丽

（沈阳航空航天大学辽宁省航空推进系统先进测试技术重点实验室，沈阳110136）

热声载荷下薄壁开孔结构振动响应与寿命预估

王 建，沙云东，赵奉同，骆 丽

（沈阳航空航天大学辽宁省航空推进系统先进测试技术重点实验室，沈阳110136）

金属薄壁开孔结构在强热声载荷下，表现出大挠度强非线性响应特性，疲劳寿命缩短。基于时域的基础上，利用有限元法（FEM）结合降阶模态法（RO M）获取4边固支开孔薄板在不同热、声载荷组合下的位移和应力的动态响应，并进行响应时间历程和功率谱（PSD）的统计分析。采用雨流计数法和M orrow平均应力模型，结合M iner线性累积损伤理论对结构进行疲劳寿命的预估和分析。结果表明：屈曲后的位移响应由热声载荷的相对强弱决定。此外，屈曲前结构随热、声载荷的增加，寿命缩短。屈曲后，持续跳变使得结构的寿命缩至最短；进入间歇跳变区域，间歇时间短的跳变要比间歇时间长的跳变造成的结构损伤大，即快频跳变引起的损伤更大。跳变结束后，随着温度的升高，寿命先延长后缩短。

开孔薄壁；跳变响应；热声疲劳；功率谱密度；雨流计数

0 引言

未来的飞行器在飞行过程中为获得更大的推力，产生的强噪声载荷可达150～170 dB[1-2]，在高温环境下的声疲劳成为航空发动机结构设计中的主要考虑因素。由热载荷引发的结构热屈曲和因强噪声导致的跳变响应使薄壁结构表现出复杂的大挠度非线性响应[3-5]。试验获取高温强噪声环境下的可靠数据很困难且费用高昂[6]，因此数值仿真成为研究热声环境下的响应特性和疲劳寿命的主要方法。Ng[7]采用Von Karman方程和Galerkin法推导出单模态方程，结合试验，研究了平板和曲板在热声激励下的非线性响应,包括跳变运动以及板结构热声响应的基本特性；Vaicaitis[8]使用Galerkin法结合Monte Carlo法研究了大量航空航天结构在随机激励下的非线性响应问题；Mei和Chen[9]使用FEM计算了热声激励下梁的动态响应，但其计算费时。针对这个问题，结合降阶模态法（ROM）的FEM得到了广泛关注。物理坐标系下的系统运动方程被转换为缩减模态坐标系下耦合的非线性方程组，大大减少了自由度数，减少了FEM计算的工作量。Rizzi[10-11]研究了ROM法中不同模态的选择和组合对结构热声响应的影响；Spottswood[12]将FEM/ROM法应用于浅弯梁热声响应计算，得到的结果与FEM的结果一致。此外，国外自20世纪70年代开始在高超声速运载工具的强度设计中进行声疲劳研究，其研究成果集中在3方面：载荷预报，应力计算，寿命估算。但对随机疲劳寿命估算方法研究较少。徐绯等探讨了结构声疲劳寿命估算的功率谱密度法[13-14]；金奕山等对航空发动机结构声疲劳寿命估算方法进行了探讨；沈阳航空航天大学沙云东教授在燃烧室噪声载荷预报、声激励响应分析、随机疲劳寿命估算等方面开展了大量工作，完成了一系列研究项目，主要是对基本问题的探索。在热声载荷作用下，结构跳变响应时位移近似服从Fokker-Plank分布，无法确定应力峰值概率密度函数，故无法直接使用基于高斯分布或者瑞利分布假设的功率谱密度法、概率密度法等频域方法。时域方法适用于任何概率分布的平稳或非平稳响应的寿命估算。

本文采用时域方法，利用有限元法获取4边固支开孔薄板在不同热载荷和声载荷组合下的位移和应力的动态响应，并进行了响应的时间历程和功率谱（PSD）的统计分析。最后采用雨流计数法和Morrow平均应力模型，结合Miner线性累积损伤理论对薄壁开孔壳结构进行疲劳寿命的估算和分析。

1 理论分析

1.1 热声载荷下板壳大挠度非线性方程

采用Von Karman薄板大挠度理论和Kirchhoff的相关假设，与中面距离为任意1点的应变为

式中：Nx、Ny、Nxy为薄膜力；h 为板厚。

将式（3）带入式（2），得到应力函数表示的应变协调方程

式中：应力函数F=Fh+Fp，为待求解的未知函数，由特解Fp和齐次解Fh组成；w为板的挠度函数；E为弹性模量；α为热膨胀系数；T为沿板厚的平均温度。

假设沿板厚的温度分布是线性的，则

式中：T（x,y,z）为板上的温度函数分布；θ为板厚的温度梯度。

将应力和对应剪力、薄膜力、弯矩，考虑阻尼力、声载荷、惯性力，对板进行受力分析，可以得到包含温度项的Von Karman大挠度运动方程

式中：ρ为密度；ξ为阻尼系数；μ为泊松比；p(x,y,t)为模拟声载荷的随机压力；D为弯曲刚度；▽4为双调和算子。

1.2 疲劳寿命计算模型

应力或应变与材料的极限循环次数的一般表达式为

式中：K、β为材料常数，均由实验方法得到。

结构在受热声载荷作用时处于S-N曲线的高周疲劳区 (HCF)，研究表明Basquin 公式拟合效果较好，因此本文选用Basquin进行拟合

式中：σar为零均值对称循环的应力幅值；σ'f为疲劳强度系数；Nf为对应的疲劳寿命；σ'f和b为通过零均值应力试验拟合的材料常数。

选用Morrow公式（10）将疲劳循环响应中的应力非零均值应力循环（σa,σm）转换为与当前寿命相同的零均值应力幅值，并且用疲劳强度σb代替疲劳强度系数σ'f

式中：ni为在第i级等幅值应力载荷下的工作循环次数；Ni为第i级等幅值应力载荷下，构件发生疲劳破坏时的循环数。

随机响应的损伤期望用数学期望和概率密度表示为

式中：p(s)为应力或应变的幅值或峰值的概率谱密度函数。

由上面的公式可以简化出最简单的疲劳寿命Tf估算公式

2 算例分析

2.1 计算模型

本文以4边固支钛合金开孔薄板为研究对象，几何模型如图1所示，其几何尺寸和材料属性见表1。利用有限元分析软件对开孔薄板在不同热载荷和声载荷组合作用下进行仿真计算，施加的噪声载荷是空间均匀截止频率为1500 Hz的高斯白噪声，结构的前8阶模态频率见表2。声载荷的加载方式为垂直入射加载；热载荷加载方式为空间均匀分布。提取不同热声载荷组合下薄板的非线性横向位移和应力动态响应的时间历程数据结果。为了叙述方便，以热屈曲系数S=T/Tc表示温度，T为实际温度，Tc为屈曲温度，并使用(1.0,150)表示S=1.0，LSPL=150 dB。结构的前8阶临界屈曲温度见表3，第1阶临界屈曲温度Tc=14.625℃。由于临界屈曲温度较低，数值仿真时的温度也不高，故假设材料特性不随温度变化而变化。

表1 几何尺寸和材料属性

表2 4边固支钛合金开孔结构的模态频率

表3 4边固支钛合金开孔结构的临界屈曲温度

采用Basquin公式拟合钛合金GJB 493-88的S-N曲线表达式为S7.8740N=1023.0729；在Morrow TFS等效应力转换模型中，材料常数σ'f=930 MPa，b=0.127。通过对多个热声载荷作用下应力云图的结果分析，发现最大应力出现在孔边的173号节点附近，故本文主要对173号节点进行数据统计分析。

2.2 开孔薄板振动响应

在时域上利用Matlab语言对结构横向位移时间历程进行统计并分析出结构在热载荷和声载荷组合作用下的位移响应特性。在频域上，由傅里叶正变换将时域信号变换为频域信号，进行位移功率谱(PSD)的统计分析。

2.2.1 位移响应时域分析

在室温下，结构围绕初始平衡位置做线性随机振动，并且振动响应幅值随声压级的增大而线性增大，即当声压级由140 dB增大到160 dB，位移响应的幅值由1.1增大到4.2，如图2、3所示；当温度升高到临界屈曲温度S=1时，结构的位移响应幅值明显增大，位移响应幅值由1.1增大到1.6和由4.2增大到5.1，并可以看出结构的位移响应时间历程随着温度升高而变得稀疏，如图4、5所示。

屈曲后，结构响应的运动趋势由热载荷和声载荷的相对强弱决定。当热载荷较声载荷强时，声载荷克服不了当前热载荷下刚度区域的驱离力，使得结构围绕屈曲后的1个平衡位置做非线性随机振动，如图6所示；当热载荷和声载荷相当时，声载荷能够克服当前热载荷下刚度区域的驱离力，此时结构将会越过屈曲后的1个平衡位置跳跃到另1个平衡位置，使得结构围绕2个屈曲后平衡位置做间歇的跳变运动，如图7所示；当声载荷较热载荷强时，声载荷能够完全克服当前热载荷下刚度区域的驱离力，使得结构在2个屈曲后平衡位置间做连续的跳变运动，如图8所示。此外，屈曲后与屈曲前相比，位移响应的振动响应幅值明显增大，结构响应的均值随着温度的升高而增加，幅值却有所降低（图 6～8）。

2.2.2 位移响应功率谱分析

常温下，结构在不同声压级LSPL=130、140、150 dB的基频保持不变，为156.84 Hz。因为结构围绕初始平衡位置做线性随机振动，当声压级增加到LSPL=160 dB，结构基频会发生小幅度偏移，如图9所示。随着温度升高到S=0.8时，结构与常温时对应声压级下的基频相比，基频开始降低，即屈曲前随着温度的升高结构存在软化现象，同时基频随着声压级的增大而增大，如图10所示。

当温度升高到临界屈曲温度S=1.0时，结构的基频几乎降到了最低，因为随着温度的升高，热应力增加，结构处于软化区域，刚度降低，如图11所示。由上述分析可知，屈曲前结构的响应特性对声压级并不敏感，而温度的改变使得结构频移明显。当温度升高到屈曲后S=1.2时，随着声压级的增大，结构存在先软化后硬化的现象，即结构的基频先降低后增加。声压级由LSPL=130 dB增加到LSPL=140 dB的过程中，结构被软化且基频降低，因为此时热载荷和声载荷相当，结构处于间歇跳变阶段；声压级由LSPL=150 dB增大到LSPL=160 dB时，结构被硬化且基频增加，因为此时热载荷较声载荷弱，声载荷作用明显，使得结构处于连续跳变阶段，如图12所示。由以上分析可知，当结构的振动响应特性处于间歇跳变时，结构处于软化区域，刚度降低且基频减小；当结构的振动响应特性处于连续跳变时，结构处于硬化区域，刚度增加且基频增大。

屈曲后位移PSD的峰值都出现在低频处，随着温度的升高该峰值存在先增加后减小现象，这与基频的变化规律刚好相反，即在固定声压级LSPL=150 dB时，温度由S=1.2到1.4，结构响应基频降低，峰值增大；温度由S=1.4到1.6再到2.0的过程中，结构响应基频增大，幅值却降低，如图13所示。其中，在S=1.2时，声载荷较热载荷强，结构处于跳变响应明显阶段；在S=1.4时，热载荷和声载荷相当，结构处于间歇跳变阶段，使得结构处于软化区域，故基频降低，幅值增大；在S=1.6和2.0的热后屈曲阶段结构的基频随着温度的升高而增大，幅值减小。

2.3 疲劳寿命

利用Matlab语言的WAFO工具箱绘制雨流循环矩阵和雨流循环损伤矩阵，并分析结构疲劳循环分布及其损伤程度。利用Morrow平均应力模型将非零均值循环转化为零均值循环，结合线性累计损伤理论，Basquin疲劳寿命模型拟合并且估算疲劳寿命。

2.3.1 基于雨流循环和雨流损伤矩阵的应力疲劳分析

屈曲前S=0时，应力响应围绕初始平衡位置做线性随机振动，应力均值对结构造成的损伤很小，应力幅值成为影响结构疲劳寿命的主要因素，循环块主要分布在R=1和-1的附近，如图14～16所示。

临界屈曲时，由温度引起的热应力对结构损伤程度相对于常温时增大，循环块在R=1和-1的附近扩散，如图17～19所示；屈曲后时，应力响应出现跳变现象，如图20所示，雨流循环矩阵大致分为3个区域。左上区域对应纯跳变运动，结构处于失稳状态，应力幅值很大，应力均值绝对值较小，应力幅值是影响疲劳寿命的主要因素，如图21所示。左下区域对应围绕下凹平衡位置的随机振动，压缩热应力叠加压缩弯曲应力，使得应力循环均值绝对值增大。此外，从图21中可见，尽管该区域的循环次数比较集中，但是此时的应力循环均值对结构的疲劳损伤与幅值相比较小，如图22所示。右上区域对应围绕上凸平衡位置的随机振动，由于压缩热应力叠加了拉伸弯曲应力，使得应力循环均值绝对值降低（图21）。温度持续升高到S=2.0时，应力响应围绕屈曲后一个平衡位置做非线性随机振动，此时应力幅值减小，均值增大，如图23所示。循环块只剩下左下区域，如图24所示；屈曲后结构趋于稳定，结构的疲劳损伤迅速降低，疲劳寿命开始上升，如图25所示。

2.3.2 疲劳寿命计算结果及分析

屈曲前，热应力随时间的增加而增加，并且应力循环幅值成为影响结构疲劳寿命的主要因素，结构的疲劳寿命随温度的升高而下降。屈曲后，结构的应力响应随热载荷和声载荷组合变化较为复杂，本文着重分析屈曲后结构疲劳寿命随热载荷和声载荷变化时的规律。在声压级为140、150、160 dB下，屈曲后随温度升高结构的疲劳寿命的变化分别见表4～6。在表4～6 中，I，C，B分别代表间歇跳变，持续跳变，围绕屈曲后一个平衡位置的随机振动。

分析表4可知临界屈曲与间歇跳变现象，在S=1.0增加到1.4的过程中，应力循环幅值增大，疲劳寿命降低；持续跳变现象，在S=1.6时的应力响应显著的影响结构的疲劳寿命并使得疲劳寿命降至最低；跳变结束后，在S=1.8时，应力响应围绕屈曲后的1个平衡位置做非线性的随机振动，应力循环幅值降低，应力循环均值增大，但是应力循环幅值降低的影响较大，故寿命较之前会有大幅度提高；随着温度的持续升高，在S=2.0时应力循环的均值对结构的寿命影响较大，寿命开始降低，并且温度越高，寿命越短。

表4 声压级140 dB，屈曲后随温度升高结构的疲劳寿命的变化

表5 声压级150 dB，屈曲后随温度升高结构的疲劳寿命的变化

表6 声压级160 dB，屈曲后随温度升高结构的疲劳寿命的变化

分析表5可知：在间歇跳变过程中，间歇时间短的跳变要比间歇时间长的跳变造成的损伤大，即快频跳变要比慢频跳变引起的损伤大，因为快频跳变时应力循环幅值对结构疲劳寿命的影响要比慢频跳变时更为显著，故S=1.4～1.6的跳变过程，温度升高，疲劳寿命也随之提高。

分析表6可知：声压级增大到LSPL=160 dB时，噪声载荷的频率特性与结构自身的动态特性互相耦合，结构会发生明显的动态响应，结构的疲劳寿命整体多数量级的降低。随着温度从S=1.0增加到1.6，应力响应的时间历程变稀疏，损伤程度减小，寿命小幅度提高。到间歇跳变阶段，寿命都降低；另外，相比S=2.0时的慢频跳变，S=1.8时的快频跳变对寿命的影响比较大，故间歇跳变过程结构的疲劳寿命随温度的升高而提高。

3 结论

（1）金属薄壁开孔结构在热、声载荷组合下的动态响应表现出强非线性。屈曲前，结构的响应特性对声压级不敏感。临界屈曲时，结构表现出强非线性，结构的刚度和基频降至最低。屈曲后，热载荷和声载荷的相对强弱影响了结构响应的运动形式。

（2）从雨流循环矩阵和雨流损伤矩阵中清晰可见各应力响应阶段的疲劳循环块分布情况和相应的损伤程度。屈曲前，幅值是影响结构寿命的主要因素。屈曲后，循环块分为3部分：左上区域对应纯跳变响应，左下和右上区域分别对应围绕下凹和上凸平衡位置的随机振动。随着温度的继续升高，循环块只剩下左下或右上区域。

（3）热声载荷作用下的非线性应力响应严重影响薄壁开孔结构的疲劳寿命。对于间歇跳变而言，间歇时间短的的跳变要比间歇时间长的跳变造成的损伤大，即快频跳变要比慢频跳变引起的损伤大。

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Vibration Response Analysis and Fatigue Life Prediction of Thin-walled Structures with Opening under Thermo-acoustic Loads

WANG Jian，SHA Yun-dong，ZHAO Feng-tong，LUO Li
（Liaoning Province Key Laboratory of Advanced Measurement and Test Technology of Aviation Propulsion Systems,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China）

The metallic opening thin-walled structures under the severe thermal-acoustic loadings exhibited large deflection and strongly nonlinear response and fatigue life was decreased.Based on time domain,by using finite element method (FEM)and reduced order modal method (ROM),displacement and dynamic response of stress for clamped plate under different thermal-acoustic load combinations were obtained,the response time history and power spectral density (PSD)were analyzed.Miner accumulative damage law was employed in conjunction with the rain-flow counting(RFC)method;fatigue life of structure was estimated and analyzed.Results show that response of post-buckled displacement is determined by relative strength of thermal-acoustic loadings.Besides,the fatigue life of pre-buckled plate decreases with the increase of thermal-acoustic loadings,and goas down to the lowest undergoing persistent snap-through at the postbuckled region.After enter intermittent snap-through region,compared with snap-through with longer intermittent time,the shorter one takes worse damage on the structure.Namely the damage caused by fast frequency snap-through is bigger.After snap-through,fatigue life goes up first,and then go down with the increase of temperature.

opening thin-walled structures;snap-through response;thermo-acoustic fatigue;power spectrum density;rain-flow counting

V 241.3

A

10.13477/j.cnki.aeroengine.2017.03.006

2016-10-31 基金项目：航空基础科学基金（20151554002）资助

王建（1990），男，在读硕士研究生，主要研究方向为航空发动机强度振动及噪声；E-mail：j_wang2001@sina.com。

王建，沙云东，赵奉同，等.热声载荷下薄壁开孔结构振动响应与寿命预估[J].航空发动机，2017，43（3）：24-31.WANG Jian,SHA Yundong,ZHAO Fengtong,et al.Vibration response analysis and fatigue Life prediction of thin-walled structures with opening to thermo-acoustic loads[J].Aeroengine，2017，43（3）：24-31.

（编辑：赵明菁）