深度剖析“带电粒子在电磁场中的运动”的三类问题

上海 虞利刚

掌握高频考点，号准命题“脉搏”。

深度剖析“带电粒子在电磁场中的运动”的三类问题

带电粒子在电磁场中运动是高考命题的热点内容之一，虽然在最近两年的新课标命题中有一些变化，由压轴题角色变为选择题，计算量和综合度下降，但是考查学生基本方法的目标未变，所以该部分内容在高三复习依然是重中之重。本文就带电粒子在电磁场中的运动问题进行分析，希望读者领悟其中的方法。

一、带电粒子在复合场中运动问题

【例1】如图1所示，在同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中取正交坐标系Oxyz(z轴正方向竖直向上)，一质量为m、电荷量为q的带正电小球从原点O以速度v沿x轴正方向出发。下列说法正确的是

( )

图1

A．若电场、磁场分别沿z轴正方向和x轴正方向，小球只能做曲线运动

B．若电场、磁场均沿z轴正方向，小球有可能做匀速圆周运动

C．若电场、磁场分别沿z轴正方向和y轴负方向，小球有可能做匀速直线运动

D．若电场、磁场分别沿y轴负方向和z轴正方向，小球有可能做匀变速曲线运动

【解析】四个选项如表1所示：

表1

【答案】BCD

【感悟】力是改变物体运动状态的原因，所以分析粒子的运动状态首先要熟知力的特点。

(1)三种场力：重力大小为G=mg，总是竖直向下，为恒力，做功只取决于初末位置的高度差。是否考虑重力看具体的问题而定。电场力大小为F=qE，方向与场强方向及电性有关，做功只取决于初末位置的电势差，要注意电荷分为正负电荷两种，不同电荷受力方向不同。洛伦兹力大小F洛=qvB(v⊥B)，方向用左手定则判定，洛伦兹力永不做功，速度变化时，洛伦兹力也要发生变化。

(2)粒子做直线运动还是曲线运动要看粒子受到的合力方向与速度方向是不是共线。

(3)粒子受到的合力为0，粒子处于平衡状态；粒子受到的合力为恒力，做匀变速运动，若合力方向与速度共线，为匀变速直线运动；粒子只受重力作用且初速度方向与重力垂直，粒子做平抛运动(类平抛运动是合力恒定且方向与初速度方向垂直)；粒子受到的合力大小恒定，方向总是指向圆心并与速度方向垂直，粒子做圆周运动。

总之，正确分析带电粒子的受力及运动特征是解决问题的前提。本题中的D项有些同学误以为速度变化，洛伦兹力变化而排出D项。所以画出受力分析图示就清晰了。

二、带电粒子在有界场中运动问题

( )

图2

图3

【答案】D

【总结】(1)直线边界，如图4所示，粒子从某一边界射入磁场时和从同一边界射出时，速度方向与边界的夹角相等。

图4

(2)平行边界，如图5所示，存在临界条件。一种是与边界线的临界，甲图中O1圆对应的轨迹与边界相切；另一种是与边界的临界，甲图中O2圆对应的轨迹与边界点相交。

图5

【例3】(圆形界问题)如图6所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角。现将带电粒子的速度变为v/3，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为

( )

图6

图7

【答案】B

【总结】(1)带电粒子沿半径方向射入圆形磁场的粒子，必沿半径方向射出。

(2)如图8所示，粒子速度的偏向角φ等于回旋角α，且等于AC弦与切线的夹角(弦切角)θ的两倍，即φ=α=2θ。

(3)如图8所示，相对的弦切角相等，与相邻的弦切角互补，即：θ+θ′=180°。

图8

( )

图9

图10

【答案】AB

【总结】带电粒子在磁场中运动，常常遇到磁场的有界而产生临界问题，对于此类问题采用以下两种方法。

(1)动态放缩法：当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v大小或磁场的强弱B变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r随之变化。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件。如图11所示，粒子进入长方形边界OABC形成的临界情景为②和④。

图11

(2)定圆旋转法：当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定，但射入的方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r是确定的。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件，如图12所示为粒子进入单边界磁场时的情景。

图12

三、带电粒子在组合场中运动问题

【例5】(2017·山东省潍坊模拟)在如图13所示的坐标系中，第一和第二象限(包括y轴的正半轴)内存在磁感应强度大小为B、方向垂直xOy平面向里的匀强磁场；第三和第四象限内存在平行于y轴正方向、大小未知的匀强电场。p点为y轴正半轴上的一点，坐标为(0，l)；n点为y轴负半轴上的一点，坐标未知。现有一带正电的粒子由p点沿y轴正方向以一定的速度射入匀强磁场，该粒子经磁场偏转后以与x轴正半轴成45°角的方向进入匀强电场，在电场中运动一段时间后，该粒子恰好垂直于y轴经过n点。粒子的重力忽略不计。求：

图13

(1)粒子在p点的速度大小；

(2)第三和第四象限内的电场强度的大小；

(3)带电粒子从由p点进入磁场到第三次通过x轴的总时间。

【解析】粒子在复合场中的运动轨迹如图14所示

图14

(1)由几何关系可知

rsin45°=l

由类平抛运动规律有

联立以上方程解得

故粒子从开始到第三次通过x轴所用时间为

【总结】常见的组合场问题主要表现为以下两种情形。

(1)先电场后磁场模型

表2

表3

(2)先磁场后电场模型

对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况：①进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反；②进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直。(如图15所示)

图15

上海市七宝中学)