活用基本型 学好相似形

赵军

在运用相似三角形解决问题的过程中，我们经常会遇到一些较为复杂的几何图形，如何从中找出相似三角形的“基本型”往往成为解题的关键，下面仅以常见的一些相似三角形的基本图形为例进行归类分析，希望对大家的学习有所帮助.

一、“A”型

在三角形的相似模型中，有一类像大写字母“A”的图形，我们称之为“A型”，在具体图形中我们又将其分为“正A型”和“斜A型”两种.

例1 如图1，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为 .

【思路点拨】由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，

所以[ADAB]=[AEAC]，设CE=x，则[515]=[33+x]，解之得：x=6，所以CE的长为6.如图1中的△ADE与△ABC相似可形象地称之为“正A型”相似.

变式1 如图2，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且∠AED=∠B，若AD=3，BD=10，AE=5，则CE的长为 .

【思路点拨】由∠AED=∠B，∠A=∠A可得

△AED∽△ABC，所以[AEAB]=[ADAC]，设CE=x，则[513]=[35+x]，解之得：x=[145]，所以CE的长为[145].如图2中的△AED与△ABC的相似可形象地称之为“斜A型”相似.

变式2 如图3，在△ABC中，AC=9，AB=6，点E在AC上，且AE=3，点D在AB上，连接ED.若△AED与△ABC相似，则AD= .

【思路点拨】题目给出的条件是△AED与△ABC相似，没有明确对应关系，所以要分情况讨论.（1）当DE∥BC时，△ADE∽△ABC，属于“正A型”相似，此时有[AEAC]=[ADAB]，即[39]=[AD6]，所以AD=2；（2）当∠AED′=∠B时，△AD′E∽

△ACB，属于“斜A型”相似，此时有[AEAB]=[AD′AC]，即[36]=[AD′9]，所以AD′=4.5.故AD=2或4.5.

归纳小结学习相似三角形一定要注意对应关系，在“A型”相似中，有“正A型”相似和“斜A型”相似，当题目给出的条件只交待一个三角形与另一个三角形相似，而不明确字母的对应关系时，一定要注意分类讨论，大家在学习过程中一定要注意哦！

小试牛刀

1.如图4，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 米.

【授人以渔】抓住△ABM∽△OCM（“正A型”相似），利用相似三角形的对应边成比例，列出方程，可求出小明的影长.

2.如图5，PB、PD分别与⊙O相交于A、B、C、D四点，已知PA=2，PB=7，PC=3，则CD= .

【授人以渔】连接AC、BD，容易证得△PAC

∽△PDB（“斜A型”相似），所以[PCPB]=[PAPD]，分别代入PA、PB、PC的值可求出PD的长，然后用PD-PC即可求出CD.

二、“8”型

在三角形的相似模型中，还有一类像数字“8”的图形，我们称之为“8型”.在具体图形中我们又将其分为“正8型”和“斜8型”.

例2 如图6，AB、CD相交于点O，AD∥BC，若OD=2，OC=3，AD=4，则BC的长为 .

【思路点拨】由AD∥BC可得△ADO∽

△BCO，所以[ODOC]=[ADBC]，即[23]=[4BC]，解之得：BC=6，所以BC的长为6.如图6中的△AOD与△BOC相似可形象地称之为“正8型”相似.

变式1 如图7，AB、CD相交于点O，且∠D=∠B，若OD=6，OC=4，AB=11，且OB>OA，则OA= ，OB= .

【思路点拨】由∠D=∠B，∠AOD=∠COB得△AOD∽△COB，所以[ODOB]=[OAOC]，设OA=x，则OB=11-x，所以[611-x]=[x4]，解之得：x=8或3，因为OB>OA，所以OA=3，OB=8.

变式2 如图8，CD、BE相交于点A，AC=2cm，AB=3cm，AE=4cm，AD=8cm，点F为线段AD上一点，若△AEF与△ABC相似，求AF的值.

【思路点拨】△AEF与△ABC相似，并未指明对应关系，需要分情况进行讨论，当EF∥BC时，△AEF∽△ABC，属于“正8型”相似，此时[AEAB]=[AFAC]，即[43]=[AF2]，所以AF=[83]；当∠AEF=∠C时，△AEF∽△ACB，属于“斜8型”相似，此时[AEAC]=[AFAB]，即[42]=[AF3]，所以AF=6.综上，AF的值为[83]或6.

归纳小结学习相似一定要注意字母与字母、线段与线段之间的对应关系，在“8型”相似中，有“正8型”和“斜8型”兩种相似，当题目给出的条件叙述为：一个三角形与另一个三角形相似，一定要注意线段的对应关系，别忘了分情况讨论！

小试牛刀

1.如图9，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为 .

【授人以渔】由AB∥CD，得“正8型”相似：△ABG∽△CDG，所以[BGDG]=[ABCD]=[23]，再由GH∥CD得“正A型”相似：△BHG∽△BCD，所以[BGBD]=[GHDC]=[25]，从而问题得解.其关键是抓住平行，利用两次相似，且两次相似比中都有线段BG进行过渡.

2.如图10，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，连接BE、AF，它们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（ ）.

A.2对 B.3对 C.4对 D.5对endprint

【授人以渔】抓住平行四边形的两组对边分别平行，可分别找出“8型”和“A型”相似.由AB∥CH可得“正8型”相似：△ABG∽△FHG、△ABE∽△DHE；由DE∥CB可得“正A型”相似：△DHE∽△CHB；由相似的传递性得：△ABE∽△CHB.所以选C.

三、“K”型

在三角形的相似模型中，除了“A型”“8型”，还有一类像字母“K”的相似图形，我们称之为“K型”相似.

例3 如图11，在△ADE和△BCE中，AD⊥AB，BC⊥AB，点E在AB上，且CE⊥DE，若AD=[34]，BE=1，AE=2，则BC的长为 .

【思路点拨】先证得△DAE∽△EBC，再运用相似三角形的对应边成比例列出方程求BC的值.具体思路如下：由CE⊥DE得：∠AED+∠BEC=90°，由BC⊥AB得：∠C+∠BEC=90°，所以∠AED=∠C，因为∠A=∠B=90°，所以△DAE∽△EBC，所以[ADBE]=[AEBC]，即[341]=[2BC]，解之得：BC=[83].

变式1 如图12，在边长为9的等边三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为 .

【思路点拨】先证得△ABD∽△DCE，再运用相似三角形的对应边的比列出方程求解.

具体思路如下：由∠ADE=60°得：∠ADB+∠CDE=120°，因为∠ADB+∠BAD=120°，所以∠BAD=∠CDE，因为∠B=∠C=60°，所以△ABD∽△DCE，[ABDC]=[BDCE]，即[96]=[3CE]，解之得：CE=2，所以AE的长为7.

变式2 如图13，在四边形ABCD中，P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，求证：AD?BC=AP?BP.

【思路点拨】证明AD?BC=AP?BP即需要证明[ADBP]=[APBC]，只需证得△APD∽△BCP，由平角的定义得：∠APD+∠CPB=180°-θ，在△APD中，∠APD+∠PDA=180°-θ，所以∠PDA=∠CPB，因为∠A=∠B，所以△APD∽△BCP，从而得证.

归纳小结“K型”相似的关键是具备这样的条件：在一条直线上有3个角相等，简称“一线三等角”.证明相似时利用平角和三角形的内角和均为180°证得一组角相等，加上条件中的另一组角相等，从而得到相似，并用相似三角形的性质解决问题.

小试牛刀

1.如图14，已知△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，BC=AC、DE=FE，∠C=∠E=90°，D为AB边上的一点，将△DEF绕点D旋转，使DF、DE分别交AC、BC于点G、H，求证：AD?BD=BH?AG.

【授人以渔】欲证AD?BD=BH?AG，即需要证明[ADBH]=[AGBD]，由这个比例式可知，需要找△ADG∽△BHD，根据题目给出的条件可知∠A=∠B=∠GDH=45°，具备一条直线上有3个相等的角，可证得它们相似.

2.如图15，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数y=[-1x]、y=[2x]的图像交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为（ ）.

A.逐渐变小 B.逐渐变大

C.时大时小 D.保持不变

【授人以渔】因为tan∠OAB=[OBOA]，所以∠OAB的大小是否变化，要看[OBOA]的值是否发生变化，分别过点A、B作AN、BM垂直于x轴，垂足分别为N、M，构造“K型”相似：△BOM∽△OAN，可将（[OBOA]）2转化为[S△BOMS△OAN]，结合两个反比例函数的解析式分别求出S△BOM=[12]、S△OAN=1，故[OBOA]的值保持不变，即∠OAB的大小不变.

相似三角形的基本型还有很多，如圖16中的“母子型”相似（由∠ACB=∠CDB=90°得△ACD∽△CBD∽△ABC，又可得：CB2=BD?BA、CA2=AD?AB、CD2=DA?DB）；

如图17中的“共边型”相似（△BCD与△ACB共边BC，且△BCD∽△ACB等价于BC2=CD?CA）；

如图18中的“共角型”相似（△ABD与△ACE有公共角∠A，再添加一个条件即可得相似）等.各位同学可以根据自己的学习经验进行归纳，不断小结，并在解决问题的过程中善于发现模型，在模型积累的基础上做到灵活运用，有效提升解决问题的能力.总而言之，要想学好相似形，首先要抓住基本型.

（作者单位：江苏省东台市新街镇中学）endprint