基于转化思想的高中数学解题分类总结

杨雯

摘 要：转化思想也称为归化思维，它是将复杂和未知的问题，通过归集、联想、方向等各种途径转化为简单和已知知识的组合，精髓在于化繁为简。转化方法主要有变量和常量转化、正与反转化、等与不等转化、数与形转化、一般与极端转化。一般而言，在解决数学题时，转化都是等价的，也就是转化前和转化后的必须是同一个问题的两面，例如正与反的转化必须是前后互斥，不能互相干扰。而一些不等价的转化通过修正能够帮助我们解决一些异常复杂的问题。无论哪一种转化方法，一方面需要对问题进行正确观察和梳理，另一方面需要对简单知识进行熟练掌握。因此，转化思维能力不仅需要加强常识和简单知识的掌握，还需要培养沉着冷静的心理素质。本文首先概述了转化思想的意义和本质，并对转化方法的类别进行总结，最后提出训练转化思维能力的措施建议。

关键词：转化思想；解题；分类；总结

一、 引言

高中数学体系复杂多变，它不仅以小学和初中的知识为基础，本阶段的知识点更需要大量的时间和精力去理解和掌握。对于课业繁重的高中阶段学生而言，如果没有一套高效的工具，很难轻松地在高中数学以及其他各科之间游刃有余。转化思维作为一个普遍使用的思维方法和工具，能够帮助学生更高效地解决数学难题。转化思维是将较为复杂的问题，通过观察梳理，经过归类变形、替代、反向、拆分等手段，将交错或者难懂的关系形态转化为区块分明、条理清晰的已知知识的组合和关联。转化不是随机或者碰运气，它需要科学理解问题为前提。一个数学难题，可能有多重解题方法，正是由于一开始转化的方法选择不同，才有了最终的殊途同归。当然，其中有拐弯，有一点即通。其区别也正是在于前提观察分析是否透彻。只有经过不断地训练和遭遇各种各样的问题，并且能够从不同角度去思考，才能快速地识别问题来源和类型，从而匹配最有效的转化方法。

二、 高中数学解题的转化方法

在运用转化思维解决数学问题时，并没有统一的模式和套路，它因每个人看问题习惯以及擅长的领域而不同，例如有人对图形很敏感，那么他会习惯于进行数和形的转化；也有人对公式熟悉，那么他能够很轻松地发现数与数之间的关联。转化思想具有灵活性和多样性，它随着个人对知识掌握的全面深刻程度的提高而更加具有效力。在解决高中数学问题时，常用的转化方法有以下几种：

正与反之间的转化。很多数学问题从正面去观察，答案将不是唯一的数值，例如求解f（x）=4x2-ax+1在（0，1）内具有至少一个零点时，其系数的取值范围。从正面看，该问题应分三种情形，即左曲线相交，右曲线相交及两边相交。如果分类讨论也可以解决该问题，但是效率将大大降低。但是运用正与反的转化方法，从问题的反面也就是没有实数根的情形入手，那么只有一種情形，而其答案的方面正好是原问题的结论。正与反之间的转化本质在于，能够找到与问题相对，或者互补的另一面。

一般和特殊之间的转化。对于答案是确定数值的问题，可以运用一般和特殊之间的转化。一般情况成立，那么特殊情形也将成立。例如对于两个确定确数关系的变量，可以通过带入两个常数来代替，这也是常量和变量之间转化的一种形式。但对于答案一个固定值的问题，则不能用一般和特殊之间的转化。

数与型之间的转化。很多数量关系可以转化为图形，尤其是在求解出关键交点后，可以利用图形的规律来理解数量之间的关系。图形更加直观，通过观察图形的规律，还能够找到更加快捷的解决问题的途径。例如求解f（x）=2-cos2x-4asinx的最大值和最小值，直接对函数进行处理比较困难。由于三角函数曲线具有特定的形状和趋势，因此可以考虑将其转化为函数的最值问题，即找到关键的交点。通过转化可得y=1-2a2+2（sinx-a）2，由于sinx的值在-1和1之间，是一个相对确定的区间。因此可以仅对a进行分类讨论，从而得出不同情形下的最大值和最小值。

陌生与已知的转化。陌生与已知之间的转化是转化思想最为核心的逻辑，无论问题是否有一个明确的结论，都可以将其从最复杂的状态分解到完全透彻或者相对可以理解的阶段。例如平行四边形有ABCD四个角，其中相邻两角A、B是4∶5的关系，求四边形的每一个角的度数。虽然这个问题一眼看不出每个角的度数，但是我们知道平行四边形有两个特征，一是两组对角相等，二是两个相邻角相加等于180度。从而可以算出A角的度数为80度，B角的度数为100度，C角的度数为80度，D角为100度。

以上几种转化方案具有的共同特点是，将未知的问题，逐步转化为已知或者已经解决的问题的组合，甚至是常识问题。而这个转化的过程不是随机和碰运气的，它需要遵循一定的原则，这些原则也是能够帮助一些对基础知识掌握不牢固或者思维比较定势的学生，减少随机转化带来的困扰。

三、 运用转化思想解题是应遵循的原则

由于数学问题形式的多样性和灵活性，我们要科学地选择转化的方向和路径，应避免生搬硬套例题，最终的考核中以及生活中，我们不可能全都遇到完全一样的问题。在联系数学解题时，我们应遵循熟悉化、标准化、简单化、直观化、有效化的原则。

熟悉化原则，就是将问题转化为我们熟悉的知识来寻找突破口。如已知a，b都是实数，且a*平方根（1-b2）+b*平方根（1-a2）=1，求证：a2+b2=1。从问题表面看，a，b都是变量，且无法通过等式变化归集到结论。但我们很明显可以观察到，a*平方根（1-b2）和 b*平方根（1-a2）有一个我们很熟悉的不等式，即a*平方根（1-b2）≤1/2*{a2+（1-b）2}和b*平方根（1-a2）≤1/2*{b2+（1-a）2}，进而得到a*平方根（1-b2）+b*平方根（1-a2）≤1，而由题目已知a*平方根（1-b2）+b*平方根（1-a2）=1，则可判断要使得等式成立，必有a=平方根（1-b2）且 b=平方根（1-a2），即a2+b2=1。因此，在遇到复杂问题时，需要自己观察问题属于哪一块知识，进而联想与之相关的已知知识。

简单化原则，就是将问题通过归类、分割等方式进行简化，而不是按部就班或者混乱颠倒地纠缠于各种关系之间。我们日常生活中也会遇到很多最为简单的分类统计的问题，例如三种不同长度的一堆筷子共有1000根需要分类清点数量，那么最快方法就是将其一端对齐，从而很快能够进行分类。然后找一个宽度固定的盒子将分好的筷子层层叠起来对齐，最后算下每层多少根，总共几层即可。这比起一根根捡和数起来要高效很多。很多数学问题以及日常中遇到的问题，表面都被很多迷雾遮挡，或者有意绕了一个弯子，实际上进行梳理和拆分，就能够看到问题各个因子之间的关系本质。对于高中数学问题，简单化的方式主要有从分式到整式、从超越式到代数式、从无理式到有理式等等。

数形结合原则，对于比较抽象的问题，通过作图可以转化为比较直观的几何关系，以便准确把握问题的求解过程。例如对于三开的衣柜门尺寸计算，已知橱柜总宽度3米，内部空间均分为3块，左右各有相等宽度抽屉拉出。三块移门不仅要求关闭时互相重叠2厘米不能有空隙，还要求三者左右移动并且不阻碍抽屉拉出。对于这样抽象的问题描述，很难直接写出数量关系式，而直接作图能够很直观地观察移门不同位置下所需要的数值。数形转化的用途很广，能够解决生活和工作中的大量疑难问题，对转化思维的锻炼很有帮助。

对于以上几个原则，不能教条式地执行，而需要结合自己的经验和观察能力，针对不同类型的问题，巧妙地运用。而个人经验和观察能力的培养，则是一个漫长积累的过程，需要从小就从家庭、学校和自我内心持续性地强化。

四、 转化思想的培养方法

转化思想的本质是化繁为简：抽丝剥茧的过程。它被运用在数学解题中能够帮助我们更具有逻辑思维，培养我们养成一种良好的解决问题的思维习惯和应变能力。但是在日常教学中，老师尽管每天都在灌输转化思想，不断地对解题进行剖析，但绝大部分学生还是很难真正掌握，更不用说运用到其他学科以及日常生活和未来的工作中。可见转化思想需要从小就进行系统性的训练，本文认为可以从以下几个方面来促进学生转化思维能力的提高：

首先，应从小幼儿开始培养主动思考和交流的能力。轉化思想的运用必须以冷静的心态和活跃的思维为基础，尤其是高中数学纷繁复杂的知识体系，更需要学生在极端的时间内冷静而快速地找到解决办法。一直以来，我们的教育主要以灌输式为主，即老师讲套路式的教学内容按部就班地“移交”给学生；在家中，家长在与孩子交流和讨论时，也是指令式地传递知识和观念。学生无论是在遇到课本中问题还是日常生活中的问题时，都缺少分析问题的能力，只会按部就班地去已被告知的案例中寻找答案。一旦题目稍加转化或者遇到全新的题型，就很难找到突破口。而国外教育的领先之处在于，家长和幼儿老师在孩子小时候就建立起平等的交流关系，充分发挥孩子主动思考和探索的主动性，因此我们能够看到国外的小孩子在与人对话时逻辑性很强，而且思维很发散。

其次，基础知识必须牢牢掌握。数学之所以是学生感到最为头疼的学科之一，是因为从你接触它的一开始就必须一点一滴地积累，从最简单的数字、关系、图形到函数、级数、向量等。后面学习的知识必须以前面的为基础，如果基础打得不牢固，就会在理解新知识和问题时受到非常大的制约。转化思维的精髓在于化繁为简，但前提是学生必须知道什么是简单。如果连最简单的知识点都没有理解或者熟练掌握，那么在短时间里解题时，就很难会想到某一个突破口。因此，转化思维的训练，必须从小学和初中开始。在原有的教学范围里，加入一些超年级的内容，然后让学生自己运用本阶段已学习的知识或者自己从课外学习到的技能去解决，将能够更好地强化转化思维能力，同时也带来一定的成就感。

最后，加强在生活中的知识运用。转化思维不仅可以用于数学题的解答，它更是生活和工作中核心的工具。遇到任何问题，都需要冷静对待和阅读，读出问题的来源、联系、本质等，才能通过各种工具和经验，甚至是创造性的尝试，去有步骤、有条理地拆分问题，解决问题。在日常生活中，我们无时无刻不在运用数学知识，如果能够不断地思考如何通过快捷的方式，更好地去解决，那将是转化思维最为生动的应用，也是数学解题训练为我们带来的终极能力。

参考文献：

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