高中数学函数单调性的教学探讨

谭春

【摘 要】本文针对高中数学函数单调性的教学问题进行探讨，提出正确理解函数的定义域、掌握函数单调性的界定原则、建立导数与函数图象的关系、分清单调函数的极值与最值的关系四种策略，以更好地理解和掌握函数的单调性。

【关键词】高中数学 函数单调性 定义域 极值 最值

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）09B-0134-02

在高中教学当中，函数单调性作为重要的教学部分，需要学生掌握其中的基本原理和概念，能够通过求导作图来表示函数的增减性。函数的单调性主要包括：对函数增减区间界定、求解函数的极值、了解和求解最值问题、掌握函数图形和求导。这需要教师创新教学策略，让学生掌握函数单调性的相关知识点，促进学生解题能力得到更好的提升。

一、正确理解函数的定义域

在讲解函数单调区间时，学生需要清楚了解函数的定义域，明确函数在哪些区间是有意义的。如果对函数定义域理解不够透彻，那么就会直接导致学生在求解函数单调性的过程中出现错误，影响判断函数的单调性。

在讲解函数的定义域时，笔者首先针对 x 取值范围列出几个有代表性的函数，然后来询问学生：“这些函数的定义域都是（-∞，+∞）吗？如果不是请说明。”这个时候，学生很快得出不同函数有不同的定义范围，不都是定义在实数 R 集合内。此时，笔者会给学生讲解道：“函数的定义域包括两种形式，第一种为题目直接给出定义域，让学生求解函数的单调区间。另一种为题目没有给定区间，但是函数自身隐藏着某种要求，例如 y=ln（x2+5x-6）函数。”然后让学生求解 y=ln（x2+5x-6）这个函数的定义域。为了减轻学生的理解困难，笔者提醒学生：“这个函数是由哪两个函数复合而成呢？”学生通过分析判断，得出该函数可以转化为 y=lnx1 和 y=x2+5x-6 两个函数，也就是说，原函数是由两个函数构成的。通过判定 x1>0 来等价于 x2+5x-6>0，从而得出函数 x 的定义域为（-∞，-6）∪（1，+∞）。这时，笔者对学生要求道：“求解函数单调区间，需要做的是先对其定义域进行求解，只有这样才能保证后续解题的正确性。”

二、全面掌握函数单调性的界定原则

当下，很多学生对单调性基本概念不够重视，没有深入去理解其中的基本内涵，导致学生在做题过程中出现较多的问题。这就需要教师针对函数单调性的基本概念进行讲解，让学生掌握其中的重要原理。

在确定函数单调性时，笔者让学生摸清函数单调性的界定原则，为后续求解奠定坚实的基础。函数单调性是指在函数定义的区间内，有任意的两个变量，其中 x1f（x2），则该函数为减函数。接着，笔者会针对该定义的关键内容进行提问：“请说明该定义中，需要着重掌握的部分。”学生通过重新审视函数定义得出：“定义域内一定存在任意 x1 和 x2。”这时，笔者会给学生列举实际问题来加深对概念的理解。例如：

函数 实数集 R 上为增函数吗？

这时学生通过对原函数进行求导，得出 f′（x）=3x-4，从而会认为 是增函数。此时，笔者会引导学生道：“在断定函数单调性时，首先要明确其定义域。”这时学生将函数 的定义域表示为（-∞，0）∪（0，+∞）。笔者接着问学生：“该函数在 x=0 处没有定义，与单调函数中存在任意 x1，x2 不符，所以该函数在实数 R 上不为增函数。”接着，笔者会问学生：“如果要求解该函数的单调区间，那么应该怎样去确定呢？”学生按照函数单调区间的求解步骤，通过定义域和求导来求得该函数增区间为（-∞，0）和（0，+∞），在各自区间内函数为增函数。笔者此时给学生总结道：“只有充分掌握函数单调区间的基本概念，才能按照正确的步骤将函数单调性求解出来，有效解决问题。”

想要求解函数单调区间，首先要把它的定义理解清楚，按照规范的要求来求解问题。这样，学生才能真正掌握函数单调性质，为后来的学习打下坚实的基础。

三、建立导数与函数图象的关系，便于直观确定函数单调性

画好函数的图象对掌握单调性有很大帮助，它可以让学生直观、清晰地确定函数的增减性，从而更好地得出函数增减区间。这就需要建立函数图象与导数之间的联系，通过求导来得出函数图象。

在对函数单调性进行教学时，笔者首先会跟学生一起复习基本函数的图象。例如，笔者会问学生：“三角函数图象都是什么类型呢？”此时学生立刻得出：“正弦函数图象为定义在实数 R 上，图象的波峰出现在 ； 余弦函数图象的波峰出现在 x=kπ 处；正切函数图象关于 kπ 对称，y 取值范围为实数 R。”在这个时候，笔者会问学生：“f′（x）的大小与原函数增减性有什么关系呢？”学生针对 基本概念得出，f′（x）表示为原函数的切线，若存在 f′（x）>0 则该函数为增函数，反之则表示为减函数。在这个时候，笔者让学生做他们熟悉的二次函数的图象。这时很多学生都通过判定二次函数的 a 值、与 x 轴的交点大致画出函数图象。在这个时候，笔者会提高画函数图象的难度，让学生去分析三次或者高次幂函数的图象。例如：

已知函数 f（x）=x4-x3+2x2-8，请画出这个函数的图象。

因为学生没有画过 4 次函数图象，所以不知道怎样去确定该函数的形状。这个时候，笔者会给学生提示道：“求高次幂函数的单调区间时，首要需要做的是对其原函数进行求导降幂，通过转化成熟悉的函数来间接求解其单调性。”此时，-学生通过一次求导得出 f′（x）=4x3-3x2+4x。但是，学生对三次幂函数仍旧不够了解，需要对其进行二次求导，得出=12x2-6x+4。在这个时候，学生通过对二次导数分析来间接找到原函数的增减性，从而推导出原函数的增减区间。这时，学生对函数图象和导数就有了更明确的认识，理解如何结合导数和图象来界定函数的单调区间，进而为求函数的增区间或减区间提供较大的方便。

确定函数的单调区间，就需要学生对函数的导数和图象有清晰的认识，明确导数与函数的增减性是对应的，从而快速解决函数问题。

四、清晰划分单调函数极值与最值关系

学生在确定函数单调性后，往往要针对函数的增减性来求解极值和最值问题。这时，很多学生在这个上面存在较多问题，容易混淆这两个基本概念。这就需要教师针对函数极值和最值对学生进行重点教学，让学生深入理解两者的异同点。

函数极值与最值问题，是单调函数常常考查的重要内容。很多学生对两者的区别不是特别清楚，因此笔者会结合具体案例以便学生理解。例如：

函数 y=x2，在区间[-1，1]和（-1，1）中是否均存在极值和最值呢？

这时，学生分析判断后得出，在区间[-1，1]中存在极小值、最小值和最大值，没有极大值；而在（-1，1）中只存在极小值、最小值。在这个时候。笔者给学生总结道：“在求解最大值和最小值时，要观察函数所在的区间，并一定要注意它的开闭性。”接着，笔者会问学生：“极大、极小值等同于最大、最小值吗？”有的学生认为极值与最值是相等的，有的学生认为极值与最值不相等。在这个时候，笔者会给学生出两道函数题，让学生去求极大值和极小值。例如：

函數 y=x3-5x2+6，在区间[0，]和[-1，6]中，求解函数的极值和最值。

此时，学生通过求解发现，在第一个区间内函数的极值与最值是相等的，而在第二个区间内函数的极大值在 x=6 处。这时，笔者让学生去分析极值与最值的步骤。学生通过上述题目得出，极值出现在 f'（x）=0 处，而最值需要统筹考虑极值和区间两边的值。这时，学生对函数单调区间有更为明确的认识，理解极值与最值的基本内涵。

函数单调性在教学中占据重要地位，需要学生掌握函数单调性的求解步骤，按照规范的要求来求解。这就需要教师在教学中，从函数定义域、单调性的基本概念、函数图象和导数的联系、区分最值和极值关系入手，讲清函数单调性的基本知识，使学生全面理解与掌握，从而提高学生的解题能力。

（责编 卢建龙）