具有时滞和脉冲接种的SEIR模型

仝耀华，石岩岭

（1.山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009；2.山西大同大学网络信息中心，山西大同037009）

具有时滞和脉冲接种的SEIR模型

仝耀华1，石岩岭2

（1.山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009；2.山西大同大学网络信息中心，山西大同037009）

建立了一个具有脉冲和时滞的模型来描述一类具有脉冲接种和染病潜伏期的疾病。运用时滞微分方程和脉冲微分方程的理论，得到了系统持久性的充分条件。

时滞；传染病模型；平衡点；脉冲接种

Kermark和Mckendrick在1927年利用动力学方法建立了三仓室SIR传染病模型并对其传播规律和流行趋势进行研究，提出阈值理论[1]。随着细菌和病毒的耐药性问题日渐严重，出现一些新的传染病[2]。因此，大量的数学模型被用于分析各式各样的传染病问题[3]。

SEIR传染病模型是非常重要的模型，很多人用它研究过麻疹、登革热等疾病，带有脉冲接种的流行病模型和具有非线性发生率的模型[4]，已经建立并研究了很多年[5]。本文建立了一个具有脉冲和时滞的模型来描述一类具有脉冲接种和染病潜伏期的疾病[6]，结论是给出了染病者一致持续生存的条件，也就是存在q＞0，使得当t充分大时，I(t)≥q。

1 模型建立

把人群划分为四类：易感者、潜伏者、染病者、移出者。分别用S(t)、E(t)、I(t)、R(t)表示四类人群在t时刻的数量。总人口数N是渐进稳定的常数，不妨设为1。即S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=1。讨论SEIR模型：

其中b为死亡率，d为恢复率，h为预防接种比率，ω为潜伏期，n(0＜n＜1)为染病者新生儿成为易感者的比例，1-m为染病者新生儿被传染成为潜伏者的比例。所有系数均为正数。E、R在模型(1)的第一个和第三个方程没有出现，故只需研究下面的方程组

系统(2)的初始条件是

2 持久性

证明系统(2)的第二个方程可以写作

计算V(t)沿着系统(2)的解的导数

对于任意t0＞0，可以断言当t≥t0是，I(t)≤不能成立。否则，存在t0＞0,使得当t≥t0时，I(t)≤。由系统(2)的第二个和第三个方程，可得

当t＞t0时，考虑下面比较系统

令(S(t),I(t))是系统(2)满足初始条件(3)和S(0+)=＞0 的解，u(t)是系统（7）满足u(0+)=＞0 的解，我们知道存在t1(＞t0+ω)，当t≥t1时 ，有

令

可以断言对所有的t≥t1，都有I(t)≥Il。否则，存在T0≥0,使 得 当时 ，I(t)≥Il,I(t1+ω+T0)=Il且I˙(t1+ω+T0)≤ 0 。

利用系统(2)的第二个方程和（8）可得

矛盾，所以I(t)≥Il，t≥t1。

由（9）可得

这表明当t→∞时，V(t)→∞。这与当t充分大时V(t)≥，则所要的结果得到。另一方面，如果I(t)关于震荡，令

下面证明I(t)≥q，令t*＞0，γ＞0使得I(t*)=I(t*+γ)并且当t*充分大时，有S(t)＞σ,t*＜t＜t*+γ。

由于系统(2)的正解最终有界，I(t)不受脉冲作用可知I(t)是一致连续的。所以存在T(0＜T＜ω,且T的选取与t*无关），使得

如果γ≤T。则所要的结果得到。接下来考虑如果T＜γ≤ω。由系统(2)的第二个方程可得I˙(t)＞-(d+b)I(t)且I(t*)=时，有I(t)≥q1,t*＜t＜t*+γ。如果γ＞ω,由系统(2)的第二个方程可得I(t)≥q,t*＜t＜t*+ω。继续上面的讨论能够得到I(t)≥q,t*＜t＜t*+γ。由于区间是任取得（仅需要t*充分大），便可以得到I(t)≥q,对所有充分大的t成立。根据上面的讨论，q的选择与系统(2)的正解无关。

证明令(S(t),I(t))是系统(2)的任意一解，由系统(2)的第一个和第三个方程可得

对于充分小ε0＞0，使得

由定理1和定理2我们可以得到下面的结论：令

推论 1 如果θ＜或者τ＜或者ω＜或者α＜,则系统(2)是持久的，也就是说疾病会成为地方病平衡点。

3 数值分析与结论

图1 系统（2）持久性示意图

图1：其中a是*=1.2036＞1时，易感者人群时间序列图;b是*=1.2036＞1时，染病者人群时间序列图;c是*=1.2036＞1时，系统(2)τ周期解的相图。

[1]马知恩，周义仓，王稳地，等.传染病动力学的数学建模与研究[M].北京：科学出版社，2004.

[2]Iannelli M,Maia Marcheva,Li X Zh.Strain Replacement in an Epidemic Modelwith Perfect Vaccination[J].Mathematical Biosci⁃ence,2005,195(1):23-46.

[3]Maia Marcheva,Iannelli M,Li X Zh.Competition and Coexistence of Strains:The Impactof Vaccination[J].Mathematical Bioscienc⁃es and Engineering,2007,4(2):287-317.

[4]Onofrio A D.Stability properties of pulse vaccination strategy in SEIR epidemic model[J].Math Biosci,2002,179:57-72.

[5]L Stonc,B Shulgin,Z Agur.Theoretical examination of the pulse vaccination policy in the SIR epidemic model[J].Math Comput.Modelling,2000(31):207-215.

[6]S Ruan,W Wang.Dynamical behavior of an epidemic model with a nonlinear incidence rate[J].Di ffer.Equat.,2003(188):135-163.

〔责任编辑 高海〕

A SEIR Model with Delay and Pulse Inoculation

TONG Yao-hua1,SHI Yan-ling2
(1.School of Mathematical and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009;2.Network Information Center,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

In this paper,we established a model with impulsive and delay to describe a class of impulse inoculation and incuba⁃tion period infected disease.The sufficient co-nditions of system persistence are obtained by applying the theory of delay differential equation and impulse differential equation.

time delay;infectious disease model;balance;pulse vaccination

TQ018

A

1674-0874(2017)05-0015-03

2017-03-26

仝耀华(1979-),女,山西大同人,硕士,讲师,研究方向:生物数学。