三角、向量易错点剖析

三角、向量是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的热点之一.由于三角函数和平面向量的知识具有公式繁多、性质独特、变化灵活、渗透性强等特点，使解决三角函数和平面向量问题较其他的代数问题更趋于隐蔽，解题的过程有更多陷阱，解题的思维更需慎密.因此，解题时稍有不慎，往往会出现增解、漏解，甚至错解的现象.本文结合具体实例剖析解决三角函数和平面向量问题时常见的错误情况，供同学们参考.

一、三角函数易错点

1.忽视三角函数的定义域而致错

例1求函数f（x）=sinxcosx1+sinx+cosx的递增区间.

错解：设t=sinx+cosx，则sinxcosx=t2-12，于是

f（x）=t2-12（1+t）=t-12=sinx+cosx-12

=22sin（x+π4）-12.

由2kπ-π2≤x+π4≤2kπ+π2，

解得函数f（x）递增区间为

[2kπ-3π4，2kπ+π4]（k∈Z）.

错因剖析：上述解法忽略了函数的定义域.因为题目中分母不能为零，即1+sinx+cosx≠02sin（x+π4）≠-1x≠2kπ-π2且x≠2kπ-π.

所以函数f（x）递增区间为[2kπ-3π4，2kπ-π2）及（2kπ-π2，2kπ+π4]（k∈Z）.

从以上例题可以看出在解分母中含三角函数问题，特别是变形时分母发生变化后一定要注意函数的定义域，所求解是不是符合原函数的定义域.

2.忽视三角函数的有界性而致错

例2已知sin2α+sin2β+cos（α-β）=2，求sinα+sinβ的取值范围.

错解：令t=sinα+sinβ，则t2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ①

又sin2α+sin2β+cos（α-β）=2②，

由①②得：t2=2sinαsinβ-cos（α-β）+2

=-cos（α+β）+2，

∴1≤t2≤3，∴-3≤t≤-1或1≤t≤3.

错因剖析：由已知

cos（α-β）=2-sin2α-sin2β

=2-1-cos2α2-1-cos2β2

=1+12（cos2α+cos2β）

=1+12{cos[（α+β）+（α-β）]+cos[（α+β）-（α-β）]}

=1+12[cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）+cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）]

=1+cos（α+β）cos（α-β），

∴cos（α-β）[1-cos（α+β）]=1，

∵1-cos（α+β）≥0，∴0

∴1-cos（α+β）≥1，-1≤cos（α+β）≤0，

∴t2=2-cos（α+β）∈[2，3]，

∴-3≤t≤-2或2≤t≤3.

本题在条件中隐含了-1≤cos（α+β）≤0，故在三角变形中不挖掘出这个条件就会造成错误.

3.忽视三角函数的单调性而致错

例3已知α，β∈（0，π2），且cosα=55，cosβ=1010，求α+β的值.

错解：∵α，β∈（0，π2），且cosα=55，cosβ=1010，故sinα=255，sinβ=31010，

又∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=255×1010+55×31010=22.

由α，β∈（0，π2）知α+β∈（0，π），所以α+β=π4或α+β=3π4.

错因剖析：由于正弦值为22的角在（0，π）上不唯一，才造成两解.正确的解法是取余弦，因为余弦函数在（0，π）上是单调递减的，这样才不会扩大解集.

因为cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=55×1010-255×31010=-22.由α+β∈（0，π），且余弦函数在（0，π）上是单调递减，所以α+β=3π4.

4.忽视条件等式对三角函数的角或值的制约而致错

例4设θ是第二象限角，且cosθ2-sinθ2=13，求cosθ2+sinθ2的值.

错解：∵θ是第二象限角，∴2kπ+π2<θ<2kπ+π（k∈Z），∴kπ+π4<θ2

错因剖析1：有些同学认为θ是第二象限角，则θ2必为第一象限角，从而未讨论θ2在第三象限时的情况.又∵cosθ2-sinθ2=13>0，∴cosθ2>sinθ2，∴2kπ+54π<θ2<2kπ+32π（k∈Z），

∴cosθ2<0，sinθ2<0，将cosθ2-sinθ2=13平方得：1-2sinθ2cosθ2=19，∴2sinθ2cosθ2=89，∴（cosθ2+sinθ2）2=1+2sinθ2cosθ2=179，∴cosθ2+sinθ2=-173.

錯因剖析2：如果在前面误认为θ2只能为第一象限角，则就会得出cosθ2+sinθ2=173的错误，如果得2kπ+π4<θ2<2kπ+π2或2kπ+54π<θ2<2kπ+32π（k∈Z），而不从三角函数等式中推出隐含条件cosθ2<0，sinθ2<0，则会导致产生cosθ2+sinθ2=±173的错误.

5.忽视三角形中边角的关系而致错

例5在△ABC中，已知cosA=513，sinB=35，求cosC的值.

错解：因为A，B，C是三角形的内角，由cosA=513，可得sinA=1213；由sinB=35，可得cosB=±45，∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=1665或5665.

错因剖析：因为A，B，C是三角形的内角，所以0

本题也可以由cosA=513，A∈（0，π）得到sinA=1213，∵sinA>sinB，由正弦定理得asinA=bsinB得到a>b再由三角形中大边对大角得A>B，∴B必为锐角，cosB=45得cosC=1665.

6.忽视换元前后变量范围的区别而致错

例6求函数y=sinxcosx+sinx-cosx（x∈R）的值域.

错解：令sinx-cosx=t，则由（sinx-cosx）2=1-2sinxcosx=t2，得：sinxcosx=1-t22，所以y=1-t22+t=-12（t-1）2+1，因为t∈R，所以y∈（-∞，1].

错因剖析：上述错解在于忽略了t的正确范围.因sinx-cosx=t=2sin（x-π4）∈[-2，2]，

所以当t=-2时，ymin=-2-12；当t=1時，ymax=1.

故函数y=sinxcosx+sinx-cosx的值域为[-2-12，1].

7.忽视由给定三角函数值缩小相关角的范围而致错

例7已知tan（α-β）=12，tanβ=-17，且α，β∈（0，π），求2α-β的值.

错解：tan2（α-β）=2tan（α-β）1-tan2（α-β）=11-14=43，又2α-β=2（α-β）+β，所以

tan（2α-β）=tan2（α-β）+tanβ1-tan2（α-β）tanβ=43-171+43×17=1.由α，β∈（0，π），得2α-β∈（-π，2π），

所以2α-β=-34π或π4或5π4.

错因剖析：这是同学们解答时常见的典型错误，实际上，由tanβ=-17>-33，可得β∈（56π，π），又由tanα=tan[（α-β）+β]=13<33，可得α∈（0，π6），忽视了这个隐含条件，才会出现上面解答中2α-β的过大范围.只有通过题给条件，把角的范围缩小到尽可能小的范围，才能使角的功能突出，从而避免错误.由α∈（0，π6）且β∈（56π，π），得2α-β∈（-π，-π2），故2α-β=-34π.

8.忽视变形式子对变量范围的制约而致错

例8已知sin2x和sinx分别是sinθ和cosθ的等差中项与等比中项，求cos2x的值.

错解：由题设得sin2x=sinθ+cosθ2（1）sin2x=sinθcosθ（2），

将（1）平方，得：sin22x=1+2sinθcosθ4

=1+2sin2x4，∴4sin22x=1+2sin2x4（1-cos22x）=1+（1-cos2x），

即4cos22x-cos2x-2=0，解得cos2x=1+338或cos2x=1-338.

错因剖析：从计算过程来看感觉推理合理，条理清晰，结论也正确，因为-1<1±338<1，容易让人误认为两个结论都正确.实际上在题设（1）和（2）中，都隐含了角θ和x的范围.

∵（1），（2）可写为sin2x=22sin（π4+θ）sin2x=12sin2θ，

∴sin2θ=2sin2x≥0，

∴2kπ≤2θ≤2kπ+π（k∈Z），即kπ≤θ≤kπ+π2（k∈Z），故kπ+π4≤θ+π4≤kπ+34π（k∈Z），由正弦函数的图象可得22≤|sin（θ+π4）|≤1，即12≤|sin2x|≤22，∴22≤|cos2x|≤32，故cos2x=1-338不符合条件，即cos2x=1+338.

9.忽视题设条件而致错

例9已知锐角△ABC中，sin（A+B）=35，sin（A-B）=15.

（1）求证：tanA=2tanB；

（2）设AB=3，求AB边上的高.

错解：（1）略，（2）由（1）易得：cosAsinB=15，作AB边上的高CD，设CD=h，则有

tanA=hAD，tanB=hBD，所以AC=1+h2，BC=4+h2，即cosA=11+h2，sinB=h4+h2，代入cosAsinB=15，得h4-20h2+4=0，解得：h2=10±46，即h=6±2.

错因剖析：错解中未注意到题设条件中的锐角△ABC，实际上，当h=6-2时，tanA=h=6-2<1，则A<π4，又Bπ2，这与题设条件中的锐角△ABC矛盾，故舍去，即h=6+2.

二、平面向量易错点

1.忽略共线向量致误

例10已知同一平面上的向量a、b、c两两所成的角相等，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求向量a+b+c的长度.

错解：易知a、b、c皆为非零向量，设a、b、c所成的角均为θ，则3θ=360°，即θ=120°，所以，a·b=|a|·|b|cos120°=-1，同理b·c=-3，c·a=-32，由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=3，故|a+b+c|=3.

剖析：本例误以为a、b、c皆为非共线向量，而当向量a、b、c共线且同向时，所成的角也相等均为0°，符合题意.

正解：（1）当向量a、b、c共线且同向时，所成的角均为0°，所以|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=6；

（2）当向量a、b、c不共线时，同错解.

综上所述，向量a+b+c的长度为6或3.

2.忽视两向量夹角的意义致误

例11正△ABC的边长为1，且BC=a，CA=b，AB=c，求|a+b+c|的值.

错解：由于正△ABC的边长为1，所以，∠A=∠B=∠C=60°且|a|=|b|=|c|=1，

所以，a·b=|a|·|b|cos∠C=12，同理可得b·c=12，c·a=12，

由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=6，故|a+b+c|=6.

剖析：本题误以为a与b的夹角为∠BCA.事实上，两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段之间的夹角，范围是[0°，180°]，因此，a与b的夹角应为180°-∠BCA.

正解：作CD=BC，a与b的夹角即BC与CA的夹角为180°-∠BCA=120°，所以，a·b=|a|·|b|cos120°=-12，同理可得b·c=-12，c·a=-12，

由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=0，故|a+b+c|=0.

3.忽视等价条件致误

例12已知a=（1，3），b=（2，λ），设a与b的夹角为θ，要使θ为锐角，求λ的取值范围.

错解：因为θ为锐角，所以cosθ>0，由a·b=|a|·|b|cosθ知，只须a·b>0，即1·2+3·λ>0，即λ>-23.

剖析：本题误以为两非零向量a与b的夹角为锐角的等价条件是a·b>0，事实上，两向量的夹角θ∈[0，π]，当θ=0时，有cosθ=1>0，对于非零向量a与b仍有a·b>0，因此，a·b>0与两非零向量a与b的夹角为锐角不等价.即有如下结论：两非零向量a与b的夹角为锐角的充要条件是a·b>0且a不平行于b.

正解：由θ为锐角，得cosθ>0且θ≠0，由a·b=|a|·|b|cosθ，而|a|、|b|恒大于0，所以a·b>0，1·2+3·λ>0，即λ>-23；若a平行b则1·λ-2·3=0即λ=6，但若a平行b则θ=0或θ=π，与θ为锐角相矛盾，所以λ≠6；

綜上，λ>-23且λ≠6.

4.忽视向量的特性致误

例13已知a、b都是非零向量，且向量a+3b与7a-5b垂直，向量a-4b与7a-2b垂直，求向量a与b的夹角.

错解：由题意得（a+3b）·（7a-5b）=0（a-4b）（7a-2b）=0，

即7a2+16a·b-15b2=07a2-30a·b+8b2=0，两式相减得46a·b-23b2=0，即b·（2a-b）=0，所以，b=0（不合题意舍去）或2a-b=0，由2a-b=0知a与b同向，故向量a与b的夹角为0°.

剖析：本题误用实数的性质，即实数a、b若满足ab=0则必有a=0或b=0，但对于向量a、b若满足a·b=0则不一定有a=0或b=0，因为由a·b=|a|·|b|cosθ知与θ有关，当θ=90°时，a·b=0恒成立，此时a、b均可以不为0.

正解：由前知b2=2a·b代入7a2+16a·b-15b2=0得a2=2a·b，所以，a2=b2=2a·b，故cosθ=a·b|a|·|b|=12|a2||a|2=12.

上面我们揭示了三角函数和平面向量中常见可能出错的情况，在实际解题时，这些方法既可以单独运用，也可以结合在一起综合运用，只有这样，才能收到良好的效果.培养同学们挖掘隐含条件的能力，对加深理解知识，提高解题能力，培养思维有积极意义.

（作者：殷高荣，如皋市教育局教研室）endprint