三角化简求值的技巧例说

李琳

三角函数在高考中通常以中低档题型出现，难度不大，但由于三角公式的特殊性，解题中往往也涉及一些小的变换技巧，如果处理得当，往往可以事半功倍，快速而准确地得到正确结论.通常情况下，三角变换应从“角度、函数、常数、次数、结构”等几方面着手解决.

一、三角变换，角为先锋

三角函數作为一种特殊函数，其“角”的特殊性不容忽视，因此我们在三角函数恒等变换中，应该首先注意角的形式，从统一角的角度出发，往往能够达到事半功倍的效果.

例1若0<α<π2，-π2<β<0，cos（π4+α）=13，cos（π4-β2）=33，则cos（α+β2）=.

解析：∵cos（π4+α）=13，0<α<π2，

∴sin（π4+α）=223，

又∵cos（π4-β2）=33，-π2<β<0，

∴sin（π4-β2）=63，

∴cos（α+β2）=cos[（π4+α）-（π4-β2）]

=cos（π4+α）cos（π4-β2）+sin（π4+α）sin（π4-β2）

=13×33+223×63=539.

点评：（1）解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.

（2）常见的配角技巧：2α=（α+β）+（α-β），α=（α+β）-β，β=α+β2-α-β2，α=α+β2+α-β2，α-β2=（α+β2）-（α2+β）等.

（3）常见互余和互补的角①常见互余的角：π3-α与π6+α；π3+α与π6-α；π4+α与π4-α等.②常见互补的角：π3+θ与2π3-θ；π4+θ与3π4-θ等.

二、名称变换，乃是重点

三角函数作为一类特殊的函数，其六种三角函数（当今教材要求重点掌握正弦函数、余弦函数、正切函数）之间有着密切的联系，因此，充分注意函数之间的关系，是三角函数变形的另一个重点.

例2设α∈（0，π2），β∈（0，π2），且tanα=1+sinβcosβ，则角α，β之间的关系为β=.

解析：由tanα=1+sinβcosβ

=（sinβ2+cosβ2）2（cosβ2+sinβ2）·（cosβ2-sinβ2）

=sinβ2+cosβ2cosβ2-sinβ2=1+tanβ21-tanβ2

=tan（π4+β2），

又α∈（0，π2），β∈（0，π2），

∴π4+β2∈（π4，π2），故α=π4+β2，即β=2α-π2.

点评：（1）利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα=tanα可以实现角α的弦切互化.

（2）形如asinα+bcosα和asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子分别称为关于sinα，cosα的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切（分子分母同除以cosα或cos2α）求解.如果分母为1，可考虑将1写成sin2α+cos2α.

（3）已知tanα=m的条件下，求解关于sinα，cosα的齐次式问题，必须注意以下几点：①一定是关于sinα，cosα的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式.②因为cosα≠0，所以可以用cosnα（n∈N*）除之，这样可以将被求式化为关于tanα的表示式，可整体代入tanα=m的值，从而完成被求式的求值运算.③注意1=sin2α+cos2α的运用.

三、常数化角，曲径通幽

三角公式中有不少常数，如1、3、22等，在三角变换中，若能巧妙利用它们与三角函数式或函数值之间的关系进行转换，往往可以起到意想不到的效果.

例3化简1-sin8的结果是.

分析：注意到sin8可以用二倍角公式展开为2sin4cos4，且1可以写为sin24+cos24，此时不难解决问题.

解：1-sin8=（sin4-cos4）2=|sin4-cos4|=cos4-sin4.故答案为：cos4-sin4.

点评：常数的变换在辅助角公式中最常见，其他地方的常数变换相对更隐蔽，要细心观察表达式的特征，从中寻找蛛丝马迹.

四、降幂化一，热点不断

三角公式中，一次关系式较多，特别是同角关系式，以及化一公式等等，因此在观察函数关系式时，注意其次数的特征，将高次化为一次，也是解决问题的重要途径.

例4（2017年高考浙江卷）已知函数f（x）=sin2x-cos2x-23sinxcosx（x∈R）.

（1）求f（2π3）的值.

（2）求f（x）的最小正周期及单调递增区间.

分析：（1）由函数概念f（2π3）=sin22π3-cos22π3-23sin2π3cos2π3，分别计算可得；（2）化简函数关系式得y=Asin（ωx+φ），结合T=2πω可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间.

解：（1）由sin2π3=32，cos2π3=-12，得f（2π3）=（32）2-（-12）2-23×32×（-12），

故f（2π3）=2.

（2）由cos2x=cos2x-sin2x及sin2x=2sinxcosx得

f（x）=-cos2x-3sin2x=-2sin（2x+π6），

所以f（x）的最小正周期是π，endprint

由正弦函数的性质得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，

解得π6+kπ≤x≤4π3+kπ，k∈Z，

所以f（x）的单调递增區间是[π6+kπ，4π3+kπ]，k∈Z.

点评：在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的目的.总之，三角恒等变换说到底就是“四变”，即变角、变名、变式、变幂.通过对角的分拆，达到使角相同；通过转换函数，达到同名（最好使式中只含一个函数名）；通过对式子变形，达到化简（尽可能整式化、低次化、有理化）；通过幂的升降，达到幂的统一.

五、和差倍分，注意结构

三角变换中，函数表达式结构上的变换也要充分注意，结构式的差异往往隐藏着对条件和结论的联系.

例5已知sinx2-2cosx2=0.

（1）求tanx的值；

（2）求cos2x2cos（π4+x）·sinx的值.

分析：先化简表达式，利用商数关系得到tanx2，再利用倍角公式展开tanx，将tanx2代入到化简的式子中计算即可；第二问，利用第一问的结论，将所求表达式化简，利用倍角公式、两角和的余弦公式，化简表达式，再利用齐次式化成关于tanx的式子，将第一问的结论代入得到所求式子的值.

解析：（1）∵sinx2-2cosx2=0，则cosx2≠0，

∴tanx2=2，

∴tanx=2tanx21-tan2x2=2×21-22=-43.

（2）原式=cos2x-sin2x2（22cosx-22sinx）sinx

=（cosx-sinx）（cosx+sinx）（cosx-sinx）sinx

=cosx+sinxsinx=1+tanxtanx=14.

点评：本题需要从多角度分析，一是角的倍分关系，二是函数的同角变换，最后再利用和差角、齐次式等思想方法，方能正确求解.

六、公式变用，柳暗花明

三角函数有众多的公式，我们不仅要会使用公式，还要会使用其变形的等价形式.如cosα=sin2α2sinα，tanα±tanβ=tan（α+β）（1tanαtanβ）等.

例6若（1+tanα）（1+tanβ）=2，则α+β的值是.

解：由已知条件，有（1+tanα）（1+tanβ）=tanα+tanβ+1+tanαtanβ=2，

∴tanα+tanβ=1-tanαtanβ.即1=tanα+tanβ1-tanαtanβ=tan（α+β），

∴α+β=kπ+π4（k∈Z）.

点评：三角公式是恒等式（当等式两边都有意义时），所以，我们不仅要记住公式的原型，还要会逆用公式，或者变形使用，这需要同学们对公式各部分的结构特征都要十分熟悉，才能对公式的变形使用驾轻就熟.

总体来说，在三角函数的变换中，各种变换都是穿插进行的，许多时候需要多方位思考，不能拘泥于某一种思维方式，这样才有利于打开思维的空间，找到更加合适的解题方法.endprint