求解平面向量问题何时用坐标法

在处理平面向量问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，则问题往往迎刃而解.

常见的可考虑建系的图形：关于向量问题，一旦建立坐标系并成功写出相关点的坐标，则问题常常迎刃而解.但难点是如何甄别一道题适合使用建系的方法求解.如果你遇到以下图形，则可尝试建系的方法，看能否把问题解决.

1.具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形.

2.带有直角的图形：直角梯形，直角三角形.

3.具备特殊角度的图形（30°，45°，60°，120°等）.

例1（2017年高考课标II，理12）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·（PB+PC）的最小值是.

解析：以BC为x轴，BC的垂直平分线AD为y轴，D为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，3），B（-1，0），C（1，0），

设P（x，y），所以PA=（-x，3-y），PB=（-1-x，-y），PC=（1-x，-y），

所以PB+PC=（-2x，-2y），

PA·（PB+PC）=2x2-2y（3-y）

=2x2+2（y-32）2-32≥-32，

当P（0，32）时，所求的最小值为-32.

点评：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.

例2（2016年高考四川理数）在平面内，定点A，B，C，D满足|DA|=|DB|=|DC|，DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2，动点P，M满足|AP|=1，PM=MC，则|BM|2的最大值是.

解析：由已知易得∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°，|DA|=|DB|=|DC|=2.则A、B、C在以D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（-1，-3），C（-1，3）.

设P（x，y），由已知|AP|=1，得（x-2）2+y2=1，又PM=MC，

∴M（x-12，y+32），∴BM=（x+12，y+332），

∴|BM|2=（x+1）2+（y+33）24，它表示圆（x-2）2+y2=1上点（x，y）与点（-1，-33）距离平方的14（如图），

∴（|BM|2）max=14（32+（-33）2+1）2=494.

点评：本题考查平面向量的数量积与向量的模，合理地应用圆的定义是解题关键.由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°，且|DA|=|DB|=|DC|=2，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出A，B，C，D坐标，同时动点P的轨迹是圆，|BM|2=（x+1）2+（y+33）24，因此可用圆的性质得出最值.

例3已知AC、CE为正六边形ABCDEF的两条对角线，点M，N分别在线段AC、CE上，且使得AM=rAC，CN=rCE，如果B，M，N三点共线，则r的值为.

解析：由题意得，建立如图所示的直角坐标系，设正六边形的边长为2，则A（0，0），B（2，0），C（3，3），E（0，23），则AB=（2，0），BC=（1，3），AC=（3，3），CE=（-3，3），因为AM=rAC，CN=rCE，则AM=（3r，3r），CN=（-3r，3r），

所以BN=BC+CN=（1，3）+（-3r，3r）=（1-3r，3+3r），

BM=BA+AM=（-2，0）+（3r，3r）=（3r-2，3r），

因为B，M，N三点共线，所以BN=λBM，即（1-3r，3+3r）=λ（3r-2，3r），

所以1-3r=λ（3r-2）3+3r=λ3r，解得r=33.

點评：A，B，C三点共线问题是常用两种处理：（1）转化两个向量的线性关系，利用共线定理建立方程（组）来处理相关问题；（2）在平面另取一点O，处理为OA=xOB+yOC（x+y=1）.

例4（2013年重庆高考）在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2，若|OP|<12，则|OA|的取值范围是.

分析：以AB1⊥AB2为入手点，考虑利用坐标系求解，题目中|AB1|，|AB2|和O点坐标均未知，为了能够进行坐标运算，将其用字母表示：设|AB1|=a，|AB2|=b，O（x，y），则B1（a，0），B2（0，b），P（a，b），所求|OA|范围即为求x2+y2的范围.下一步将题目的模长翻译成a，b，x，y关系，再寻找关于x2+y2的不等关系即可.

解：如图以AB1，AB2为轴建立坐标系：设|AB1|=a，|AB2|=b，O（x，y），

则B1（a，0），B2（0，b），P（a，b），

∴|OB1|=|OB2|=1|OB1|2=|OB2|2=1（a-x）2+y2=1x2+（y-b）2=1①

|OP|<12|OP|2<14（x-a）2+（y-b）2<14②

与①联系可得：

（a-x）2+y2=1x2+（y-b）2=1（a-x）2=1-y2（y-b）2=1-x2，

所以②转变为：

1-y2+1-x2<14，即x2+y2>74，endprint

另一方面：（a-x）2+y2=1x2+y2-2ax+a2=1，

∴x2+y2+a2=1+2ax，∵2ax≤a2+x2，

∴x2+y2+a2≤1+a2+x2y2≤1，

同理，由x2+（y-b）2=1可得：x2≤1，

∴x2+y2≤2.

综上所述：74

则72

点评：（1）本题涉及到的点与线段较多，所以难点一方面在于是否能够想到建系去处理，还有一方面在于选择哪两条线作为坐标轴.也许有同学会从|OB1|=|OB2|=1入手，选择O为坐标原点，这样B1，B2在以原点为圆心的单位圆上，且所求|OA|只需计算出A的坐标即可.但这种选法继续做下去会发现，首先B1，B2在圆上的位置不确定，坐标不易写出，其次无法定位A，P，从而使得条件|OP|<12不便于使用.所以这种建系的方法在解题过程中障碍重重，不利于求解.而利用现有的垂直建系，会使得A，B1，B2的坐标易于表示，进而求出P坐标，只剩一个不好表示的O点，难度明显低于前一种建系方法.

（2）在坐标系建好之后，说明此题主流的解法是用变量，表达式去解决，所以下一步就要将题目中的条件翻译成代数的关系.正所谓“数形结合”时，如果用到的是形，那么就将代数条件翻译成几何特点，如果用到的是数，那就要将几何条件翻译成代数的特点.所以在“数形结合”方法中“翻译”的步骤是必不可少的.

例5已知单位向量a，b，若a⊥b，且|c-a|+|c-2b|=5，则|c+2a|的取值范围是.

解析：由题设单位向量a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y），∴c-a=（x-1，y），c-2b=（x，y-2），

∴（x-1）2+y2+x2+（y-2）2=5，即（x，y）到A（1，0）和B（0，2）的距離和为5，即表示点（1，0）和（0，2）之间的线段，|c+2a|=（x+2）2+y2，表示（-2，0）到线段AB上点的距离，最小值是点（-2，0）到直线2x+y-2=0的距离|c+2a|min=65=655，最大值为（-2，0）到（1，0）的距离是3，所以|c+2a|的取值范围是[655，3].

点评：此类题型通常是给出向量的非坐标形式，根据条件中的向量垂直关系求其他向量的模，通常有两种解法：（1）根据向量的垂直条件转化为关于所求向量的模的等式，然后通过解方程求得结果；（2）如果条件中给出的向量比较特殊，可以考虑构造特殊的向量，特别设为具有坐标的向量，转化为代数运算来求解.

（作者：石寰宇，江苏省如皋中学）