基于共轭先验分布的钢筋混凝土梁受剪承载力预测

吕贝贝，勾靖国，高 峰，谭朝明

（山西大同大学建筑与测绘工程学院，山西大同037003）

基于共轭先验分布的钢筋混凝土梁受剪承载力预测

吕贝贝，勾靖国，高 峰，谭朝明

（山西大同大学建筑与测绘工程学院，山西大同037003）

根据贝叶斯统计理论思想，基于我国规范(GB 50010-2010)中钢筋混凝土梁斜截面受剪承载力计算模型，对钢筋混凝土梁斜截面受剪承载力进行预测。以共轭分布为先验分布，以收集到的79组试验数据为样本点，对未知模型参数进行估计。研究表明：该方法继承了先验模型的完备性和试验数据的准确性，能对钢筋混凝土梁斜截面受剪承载力进行合理预测。

共轭先验分布；钢筋混凝土梁；斜截面受剪；参数估计

钢筋混凝土梁作为主要的受弯构件，截面受力复杂，为弯矩、轴力和剪力的综合作用，但剪切破坏较弯曲破坏危险性大，为没有明显征兆的脆性破坏。且抗剪机理复杂，剪切强度的影响因素众多，各种关于钢筋混凝土梁斜截面抗剪承载力的预测模型中均蕴含可能占主导作用的主观不确定性。近年来，贝叶斯统计分析理论已逐渐被引入混凝土领域[1-3]，利用其特殊的解决问题的理念，综合考虑先验信息和样本信息来进行构件或结构的相关计算，并取得了较好的效果。

本文在已有研究的基础上，以钢筋混凝土梁为研究对象，收集整理以往试验数据，结合我国规范GB 50010-2010[4]中的抗剪承载力计算模型，利用贝叶斯共轭先验分布的思想对梁的抗剪承载能力进行预测研究。

1 基于贝叶斯理论的参数估计法

1.1 无信息先验分布参数估计

设x1,…,xn为来自正态总体N(μ,σ2)的一组随机变量，其中均值μ和方差σ2未知，且未掌握其相关信息，则取未知参数(μ,σ)的先验分布为无信息先验分布[5]，即

未知参数(μ,σ)联合后验分布密度为：

其中：

将式(2)所示联合后验分布密度函数，对σ进行积分，即可得参数μ的后验分布密度函数为：

可见，μ的后验分布符合t分布，则可根据t分布性质对μ进行估计，即可求得μ的后验期望及方差。同理将公式(2)所示函数对μ进行积分，可得σ的后验密度函数为：

所以，σ的后验分布符合逆Gamma分布，根据逆Gamma分布的性质可对其进行估计。

1.2 共轭先验分布参数估计

设x1,…,xn为来自正态总体N(μ,σ2)的一组随机变量，其中σ2已知，μ未知，并取其共轭先验分布为正态分布N(μ0,)，则其后验分布仍为正态分布[6]，计算如下：

由公式(7)可知，未知参数μ的共轭后验分布符合正态分布N(B∕A，A-1)，根据正态分布性质可得其估计值。

2 Bayes剪力预测

2.1 先验模型

本文选取规范(GB 50010-2010)中有腹筋梁斜截面受剪承载力计算模型为先验模型。当仅配置箍筋时，矩形、T形和I形截面一般受弯构件的斜截面受剪承载力应符合：

式中：Vcs为斜截面受剪承载力设计值；Asv为箍筋截面面积；s为箍筋间距；ft为混凝土轴心抗拉强度设计值；fyv为箍筋抗拉强度设计值；b为截面宽度；h0为构件截面有效高度。

当同时配有箍筋和弯起钢筋时，矩形、T形和I形截面受弯构件的斜截面受剪承载力应符合下列规定：

式中：Vu为配弯起钢筋的剪力计算值；Vsb为弯起钢筋承担的拉力在垂直梁轴方向上的分力值；fy为弯起钢筋的抗拉强度设计值；Asb为弯起钢筋截面面积；αs为弯起钢筋与构件纵轴线的夹角。

2.2 基于共轭先验分布的剪力预测

参阅钢筋混凝土构件试验数据集[7]，整理集中荷载作用下钢筋混凝土简支梁抗剪试验数据，共得79组。鉴于篇幅原因，本文以数据出处为单位，根据钢筋混凝土梁受剪承载力的影响因素对该试验数据进行了统一整理，见表1。

表1 试验数据

图1 Vexp/VGB频数直方图

图1绘制了钢筋混凝土梁剪力试验值与对应试件规范剪力计算值比值Vexp∕VGB的频数直方图，呈倒钟形，可见Vexp∕VGB近似服从正态分布。现假设Vexp∕VGB～N(μ,σ2)，其中μ和σ均未知，利用上述贝叶斯参数估计法以及79组试验数据对其进行估计。首先以前40组试验数据为样本信息，根据无信息先验分布参数估计法对未知参数(μ,σ)进行估计；然后以后39组试验数据为样本信息，且假设σ已知，并以上一环节计算结果为参数(μ,σ)的先验信息，根据共轭先验分布参数估计法对未知参数μ进行估计，结果见表2。据此对钢筋混凝土梁抗剪承载力进行预测，预测结果为VGB,B。

表2 参数估计结果

3 验证

表3给出了钢筋混凝土梁基于先验模型的剪力预测值VGB与基于共轭先验分布的剪力预测值VGB,B相对试验值Vexp的对比结果，其中μ(Vexp∕VGB,B)=1.024 8，较μ(Vexp∕VGB)=1.468 5更接近于 1；且σ2(Vexp∕VGB,B)=0.016 7，较方差σ2(Vexp∕VGB)=0.034 3显著减小。可见基于共轭先验分布的剪力预测值VGB,B与试验值Vexp更加吻合，且随机性较小。

表3 贝叶斯更新前后对比

图2以散点图的形式描绘了钢筋混凝土梁进行贝叶斯更新前后的剪力预测值与试验值的对比情况，其中实心方框代表基于共轭先验分布的剪力预测值VGB,B，空心方框代表基于中国规范模型的剪力预测值VGB，位于斜直线上方的样本点表示该构件的剪力预测值较试验值偏大，相反，位于斜直线下方的样本点表示预测值较试验值偏小。因此，由图可知贝叶斯更新前后的两组剪力预测值VGB与VGB,B分布相同，但VGB,B分布更为集中且更靠近直线。说明，经贝叶斯更新后的钢筋混凝土梁剪力预测值较更新前更接近试验值，认为基于共轭先验分布的剪力预测模型可对钢筋混凝土梁抗剪承载能力进行无偏估计。

图2 贝叶斯更新前后对比散点图

4 结论

在已有研究基础上，本文以规范模型为先验模型，以试验数据为样本信息，采用贝叶斯统计推断的思想，利用共轭先验分布对未知模型参数进行估计，从而达到对钢筋混凝土梁斜截面抗剪承载力预测的目的。研究表明，基于贝叶斯共轭先验分布的剪力预测值继承了先验模型的发展趋势，且与试验值吻合良好，能对钢筋混凝土梁抗剪承载力进行无偏估计。

[1]刘伯权,刘喜,吴涛.基于共轭先验分布的深受弯构件受剪承载力概率模型分析[J].工程力学,2015,32(4):160-177.

[2]潘亮,刘喜,邢国华.钢筋混凝土梁受剪概率模型分析[J].世界地震工程,2015,31(3):107-113.

[3]Paolo Gardon,Armen Der Kiureghian.Probabilistic Capacity Models and Fragility Estimates for Reinforced Concrete Columns based on Experimental Observations[J].Journal of Engineering Mechanics,2002,128(10):1024-1038.

[4]中华人民共和国住房和城乡建设部.混凝土结构设计规范:GB 50010-2010[S].北京:中国建筑工业出版社,2010.

[5]张尧庭,陈汉峰.贝叶斯统计推断[M].北京:科学出版社,1991.

[6]朱慧明,韩玉启.贝叶斯多元统计推断理论[M].北京：科学出版社,2006.

[7]中国建筑科学研究院.钢筋混凝土构件试验数据集-85年设计规范背景资料续编[M].北京:中国建筑工业出版社,1985.

[8]李艳艳.配置500MPa钢筋的混凝土梁受力性能的试验研究[D].天津:天津大学,2007.

〔责任编辑 王东〕

Shear Strength Prediction for Reinforced Concrete Beams Based on Conjugate Prior Information

LV Bei-bei，GOU Jing-guo，GAO Feng，TAN Zhao-ming

(School of Archi trcture and Surveying and Mapping Engineering,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037003)

Shear strength prediction of reinforced concrete beams is analyzed based on the Bayesian theory.Two types of informa ⁃tion,the prior model that shear capacity calculation formula in Chinese code,and the conjugate prior information,are synthesized into Bayesian posterior estimate for unknown parameters.It shows that this method inherits the completeness of prior model and the accura⁃cy of test data.The shear strength based on conjugate prior information can be conveniently used for the prediction of the shear capaci⁃ty for reinforced concrete beams,and the calculated results are proved good by test data.

conjugate prior information;reinforced concrete beams;shear strength;Bayesian parameter estimation

TU375.4

A

1674-0874(2017)05-0063-03

2017-05-08

吕贝贝（1989-），女，河北衡水人，硕士，助教，研究方向：钢筋混凝土结构抗震。