巧解多元函数的最值

张海涛

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009）

巧解多元函数的最值

张海涛

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009）

多元函数的最值问题，由于技巧性较强又灵活多变，掌握起来有一定的难度，对这类问题采取灵活的算法，避免了繁琐的计算，为多元函数最值的学习提供一个参考。

多元函数;极值；最值；条件极值

最值问题一直是各阶段学习的重点和难点，而多元函数的极值又因为其技巧性强又灵活多变，是高等数学中的难点知识。文献[1-3]中给出的方法对于某些函数计算量又颇大，本文对此类问题给出了灵活的方法，避免了繁琐的计算，对多元函数最值的学习提供一个参考。

1 多元函数极值的定义及最值的常规解法

极值定义:如果二元函数z=f(x,y),对于点(x0,y0)的某一领域内的所有的点，总有：

f(x,y)＜f(x0,y0),(x,y)≠(x0,y0)，则称f(x0,y0)是函数f(x,y)的极大值；如果有：

f(x,y)＞f(x0,y0),(x,y)≠(x0,y0)，则称f(x0,y0)是函数f(x.y)的极小值。

函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。

如果f(x,y)在(x0,y0)的某个领域内有且仅有一个极大值而无极小值，则此极大值就是最大值。如果有且仅有一个极小值而无极大值，则此极小值就是最小值。本文讨论的最值即是此种类型。因此文中的多元函数的最值问题就转化为多元函数的极值问题。

定理1（极值存在的充分条件）如果函数f(x,y)在点(x0,y0)的某一领域内有连续的二阶偏导数，且(x0,y0)是它的驻点，设

记：A=p(x0,y0),B=f″xx(x0,y0),

（1）如果A＜0,B＜0,则f(x0,y0)是极大值；

（2）如果A＜0,B＞0,则f(x0,y0)是极小值；

（3）如果A＞0,则f(x0,y0)不是极值；

（4）如果A=0,则f(x0,y0)是否为极值需另法判断。

2 巧解多元函数的最值

2.1 利用隐函数的偏导

问题1设x是s和t的二元函数，且2s2+2t2+x2+st+sx+tx=4，求x的最大值。

分析：如果把x解出来再去求极值，计算量大，过程复杂,因此，可以采用求隐函数的方法，这就避免了求根式函数的极限。

解：方程两边分别对s和t求偏导得：

这个题还可以用初等解法:把方程看作是s的方程，显然有解，由此得判别式Δ=(t+x)2-4×2×(2t2+x2+tx-4)≥0，解得 7x2+6tx+15t2-32≤0，同理，把方程看作是t的方程得Δ=36x2-60(72x2-32)≥0，解得x2≤5，从而x的最大值为且这个最值是能够达到的。

2.2 转化为条件极值求最值

分析：这个题当然可以直接求导，但是因为是分式函数，形式比较复杂，为了简化运算，不妨把它转化成条件极值。

解：把问题转化为下面的形式

其中a是大于0的常数。

对各变量分别求偏导得：

2.3 利用几何意义求最值

问题3求函数

x=的最小值。

解：函数分别对s和t求偏导并令偏导为0可得:

(4)(5)两式相除可得s-t-1=2s-3t+6,(4)(5)两式平方相加得到

4[(s-3)2+(t+1)2+1]=(s-1)2+(t-2)2+4,由此可知：

s=t=0,代入函数得即为所求的最小值。上面是一个常规的解法，计算量较大，下面给出一个几何解法。

其几何意义是：点A(s,t,0)到P1(1,2,2)，P2(3,-1,-1)距离之和的最小值，易知，当P1AP2在一条直线上时x最小，故可取A在P1P2上，因此x的最小值就是P1P2的长度，所以x的最小值为：

显然，这个解法要比标准解法简单易算。

[1]张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].4版.北京:高等教育出版社,1999.

[2]同济大学应用数学系.线性代数[M].4版.北京:高等教育出版社,2003.

[3]高志强,庞彦军.线性代数[M].北京:科学出版社,2016.

〔责任编辑 高海〕

The Maximum Value of Multivariate Function Solution

ZHANG Hai-tao
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

As to the maximum value problem of multivariate function,because the skills are a strong and flexible,to master them are difficult,this paper adopts a flexible algorithm for this kind of problem,avoiding the tedious computation,which provides a refer⁃ence for the value of multivariate function learning.

multivariate function;extreme value;maximum value;conditional extremum

O013

A

1674-0874(2017)05-0001-02

2017-03-16

张海涛（1974-），女，山西阳高人，硕士，副教授，研究方向:高等数学教学。