例谈微元法在高考物理中的应用

(湖北省武汉市黄陂区教研室，湖北 武汉 430300)

例谈微元法在高考物理中的应用

唐克明

(湖北省武汉市黄陂区教研室，湖北 武汉 430300)

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，在高中物理教材、高考和竞赛中都频频呈现，尤其江苏高考2006-2009年连续4年将微元法应用在压轴题上，此后全国卷以及其他高考试卷又以“常态考点”考查其应用。因此对微元法有必要进行深入探讨，本文围绕其定义、使用步骤、遵循原则，结合近几年高考试题予以分析。

高考物理；微元法；电场；变力；磁场

1 引言

随着新课改的深度推进，新的教育理念更加注重对学生各种能力的培养，尤其在高中物理教学中还应注重物理思想方法的渗透。近几年来“微元法”在各地物理高考试题中频频应用，这既说明这种方法的重要性，也凸现了新课程理念的要求。但许多学生对此感到困惑，无从下手，不知道何时用，为何用，如何用。为此，笔者选取近几年高考真题来研究其应用，主要讨论了以下两个方面：一是如何利用微元法解题，二是对高考涉及微元法的几种题型进行分析，以飨读者。

2 微元法简介

“微元法”作为一种特殊的思维方法，在被应用于物理问题时，常能将题中所给出的变化的事物和题中所涉及的变化的过程转化为简单不变的事物和不变的过程来处理。之所以能做到这一点，是因为“微元法”抓住了“任何变化都必须在一定的时空范围内才能得以实现”这一本质特征。借助于选取“微元”这一手段来限制变化赖以实现的时间、空间，从而使变化的事物与过程在极短的时间和极小的空间内，均可视为不变的事物和不变的过程。

3 微元法的应用步骤

(1) 取微元：适当地选取微元Δx，用以量化题中给出的事物的“元事物”或题中反映的过程的“元过程”。

(2) 建方程：视所取的微元为恒定，根据相应的物理规律给出待求量y的微元：Δy=f(x)Δx。

4 微元法应遵循的基本原则

(1) 可加性原则

由于所选取的微元Δx最终必须参与叠加演算，因此对微元Δx所对应的量x提出了一个最基本的要求：x必须是一个具有“可加性”特征的量。

(2) 有序性原则

为了保证所选取的微元Δx所对应的Δy能够在所给的定义域内较为方便地获得不遗漏、不重复的完整的叠加，因此在选取微元Δx时还应注意到必须按照某种特定的顺序来进行。

(3) 平权性原则

5 高考试题中的应用

(1) 应用微元法定量计算

在电场中我们遇到非典型的物理模型(非无限大带电平面、点电荷等)时，一般需要将研究对象分解为微元，选取一个微元作为研究对象进行分析。在讨论具有对称性的带电体产生电场的电场强度、电势时一般需要累加，以江苏高考真题为例分析如下。

例1(2014年江苏卷第4题)：如图1所示,一圆环上均匀分布着正电荷,x轴垂直于环面且过圆心O。下列关于x轴上的电场强度和电势的说法中正确的是( )。

图1

A.O点的电场强度为零,电势最低

C. 从O点沿x轴正方向,电场强度减小,电势升高

B.O点的电场强度为零,电势最高

D. 从O点沿x轴正方向,电场强度增大,电势降低

解析:此题应用微元法可以定量分析电场强度在x轴上的变化,把握三个步骤分析如下：

图2

第三步：极限求和。根据对称性，有：

由此可见，此带电圆环在轴线P点产生的场强大小相当于带电圆环带电量集中在圆环的某一点时在轴线P点产生的场强大小，方向是沿轴线的方向。

(2) 应用微元法，数形结合巧妙计算

在近几年的高考中时常出现一些涉及物体在变力作用下，做非匀变速运动的问题。学生在解题时，感觉无从下手。因为在日常的教学和练习中，大多只讨论恒力作用下的匀变速直线运动，对于变力问题下的非匀变速直线运动只作定性分析，很少进行定量研究，这类问题的解决涉及“微元法”。

例2(2015年北京卷第23题)：如图3所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块(可视为质点)的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ。以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F=kx,k为常量。

请画出F随x变化的示意图;并根据F-x的图像求物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中弹力所做的功。

在物理学中，变力对位移的积累，变力对时间的积累，变速对时间的积累，气体压强对膨胀体积的积累等等，均可以采用类似的办法，画出F-s图、F-t图、V-t图、p-V图，应用微元法巧妙计算图线下所围的“面积”。

(3) 应用微元法，化曲为直,简化分析

在磁场中当通电导线为曲线时，可以把整段电流等效为很多的直线电流元，先用左手定则判断出每一小段的电流元的受力方向，从而判断出整段导线的受力方向，从而达到简化分析问题的目的。

例3(2016年海南卷第8题):如图5(a)所示，扬声器中有一线圈处于磁场中，当音频电流信号通过线圈时，线圈带动纸盆振动，发出声音。俯视图5(b)表示处于辐射状磁场中的线圈(线圈平面即纸面)磁场方向如图中箭头所示，在图5(b)中( )。

图5

A． 当电流沿顺时针方向时，线圈所受安培力的方向垂直于纸面向里

B． 当电流沿顺时针方向时，线圈所受安培力的方向垂直于纸面向外

C． 当电流沿逆时针方向时，线圈所受安培力的方向垂直于纸面向里

D． 当电流沿逆时针方向时，线圈所受安培力的方向垂直于纸面向外

解析：将环形导线分割成无限小段，每一小段看成直导线，则根据左手定则，当电流沿顺时针方向时，导线所受安培力垂直向外，故选项A错误，选项B正确；当沿电流逆时针方向时，根据左手定则可以知道安培力垂直纸面向里，故选项C正确，选项D错误。

6 小结

微元法解题体现了物理学的思想和思维方法，能考查学生学习的潜能和独创能力，有利于高校选拔人才。这类题目是高考的一个热点，往届学生答题情况不是很理想，因此在复习备考中要引起老师和学生们的足够重视。

[1] 刘炳升,陆建隆.3+X综合指导丛书高中物理[M].南京：南京师范大学出版社，2000：219.

[2] 刘家全.“微元法”在电磁学中的应用方法探讨[J].试题研究(教学论坛)，2012，(28)：60.

[3] 胡志巧.利用微元法搞定物理试题[J].考试与招生，2016，(1)：20-21.

[4] 教育部考试中心.高考理科试题分析(理科综合分册)[M].北京：高等教育出版社，2017：63-64，243.