浅析含参数的一元二次不等式的讨论

殷保荣

【摘 要】含参数的一元二次不等式，如何分类讨论？本文从五个例子出发，引导学生思考——为什么要分类讨论，以及如何分类讨论。主要从三个点入手：“是不是”、“有没有”以及“根的大小”。

【关键词】参数；一元二次不等式；分类讨论

本文主要解决含参数的一元二次不等式为什么要分类讨论以及如何分类。

当下，高中生学习数学的困难是：数学概念基本能听懂，习题课的效果也不错，但是学生一旦自己动手解题时，往往就束手无策，导致功夫没少下，效果却不佳的情况，从而丧失学习数学的兴趣和动力。这是因为学生不知如何解题。教学无外乎就是教会学生如何解题、怎样解题及课后的自我整理消化。不只是简简单单的把一道题目讲清楚讲明白，而是要教会学生如何思考。

下面我们就从几个简单的含参数的一元二次不等式，来引导学生思考：为什么要分类以及如何分类。

例1：求不等式ax2-2ax>0的解集。

分析：这个不等式从形式上看像一元二次不等式，可以由其对应的二次函数，借助图像求解。但由于x2的系数未知，所以对其进行分类讨论，这个讨论的依据为“是不是”。如果是，接下来要讨论二次函数的开口方向。

解：

（1）当a=0时，0>0不成立；

（2）当a≠0时，因式分解为ax（x-2）>0。

①当a>0时，不等式的解集为{x|x>2或x<0}；

②当a<0时，不等式的解集为{x|0

例2：求不等式x2-ax+4>0的解集。

分析：这个不等式就满足刚才的“是不是”了，但现在的问题是这个一元二次不等式所对应的二次函数与x轴有没有交点，判断与0的大小关系进行讨论。所以这次讨论的依据是“有没有”。

解：当，即时，不等式的解集为

当，即当a=4时，不等式的解集为；

当a=-4时，不等式的解集为；

当，即时，不等式的解集为R。

例3：求不等式的解集。

分析：这个不等式不仅满足“是不是”，是一元二次不等式，因式分解为，可得方程等于零有两个根，分别为a和2，但由于这个根的大小不确定，所以这次讨论的依据是“根的大小”。

解：因式分解为

（1）当a>2时，不等式的解集为；

（2）当a=2时，不等式的解集为{x|x≠2}；

（3）当a<2时，不等式的解集为{x|x>2或x

例4：已知函数，试讨论函数的单调性。

分析：对于函数的单调性，可以从导数的正负来考虑，所以要先求导，得到，由于ex恒正，所以导数的符号主要考虑的符号，根据上面的方法，先考虑是不是，所以a和0比较大小，然后因式分解得到，所以接下来就是要讨论和-2的大小，结合二次函数的图像，由二次函数的开口以及与x轴的交点，得出函数符号的正负。

解：

（1）当a=0时，

∴y=f（x）的单调递减区间为（-2，+∞），单调递增区间为（-∞，-2）；

（2）當a>0时，，∴y=f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为；

（3）当a<0时，

①当，即时，y=f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；

②当，即时，∴y=f（x）在R上单调递减；

③当，即时，

y=f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为。

例5：已知函数，试讨论函数在区间（0，1）的单调性。

分析：例5是在例4的基础上做的变形，例4考察的是函数在定义域R上的单调性，例5是考察函数在定义域内的某个子区间的单调性。

解：

（1）当a=0时，∴y=f（x）在区间（0，1）单调递减；

（2）当a<0时，，∴y=f（x）在区间（0，1）单调递减；

（3）当a>0时，，∴y=f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为。

①当，即a>1时，y=f（x）在单调递减，在区间单调递增；

②当，即时，y=f（x）在（0，1）单调递减。

综上所述：当时，y=f（x）在（0，1）单调递减；

当a>1时，在单调递减，在区间单调递增。

含参数的一元二次不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题，只要把握好三个“讨论点”，一切便迎刃而解。分类标注一：“是不是”，二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式，如果是二次不等式，季就要讨论二次函数图像的开口方向；分类标准二：“有没有”，即判别式的正负，目的是讨论二次方程是否有解；分类标准三：“根的大小”，即两根差的正负，目的是比较根的大小。最后还要注意函数自变量的取值范围。