Vandermonde行列式的应用

孙永涛+田卫章

摘 要：范得蒙行列式是一种很重要的行列式，在这篇文章里，探讨Vandermonde行列式在高等代数理论中的应用.

关键词：Vandermonde 行列式；向量空间；线性变换；多项式

0 引言

Vandermonde 行列式是一种重要的行列式，在解决上述问题中有着重要的作用，本文通过一些例题总结出一些Vandermonde行列式的应用.

1 在多項式定理中的应用

例1 设是数域F中互不相同的数，是数域F中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F上次数小于n的多项式满足，.

证明 设 ，由条件，知

（2）

因为互不相同，所以方程组（2）的系数行列式为

则方程组（2）有唯一解，即唯一的次数小于n的多项式，使得，.

2 在行列式中的应用

例2 计算 .

解 注意到此行列式与Vandermonde行列式的区别在于它的最后一列.现在添上一列一行使其变.为Vandermonde行列式

.

因此的系数为而中元素

的代数余子式为，故.

3 在向量空间理论中的应用

例3 设V是数域F上的n维向量空间，任给正整数m，则在V中存在个m向量，其中任取n个向量都线性无关.

证明 因为所以只需在中考虑即可，取

令.

则是Vandermonde行列式，且所

以线性无关.

4 在微积分中的应用

例4 确定常数，使得

当是为最高阶的无穷小，并给出其等价表达式.

解 对的各项利用泰勒公式，有

当时若最高阶无穷小在6阶以上，则有方程组

其系数行列式为Vandermonde行列式由于

故原方程组只有零解，即从而=0显然不合题意，故以下考虑当时最高价小于6的情形.令

等价与

以为未知数线性方程组，其系数行列式为Vandermonde行列式

方程组有唯一一组解依赖于的解：

，从而

在的邻域内的最高价无穷小有下述形式的表达式.

.

参考文献

[1]张海山. Vandemonde行列式的应用[J].肃教育学院学报，2007，14（3）：3-5.

[2]冯锡刚. 范得蒙行列式在行列式计算中的应用[J].山东轻工业学院学报，2000，14（2）：1-10

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