例谈浙江高考向量问题中的数形结合思想

张建民

(浙江省杭州市杭州师范大学附属中学,浙江 杭州 310000)

例谈浙江高考向量问题中的数形结合思想

张建民

(浙江省杭州市杭州师范大学附属中学,浙江 杭州 310000)

数形结合是中学数学中重要的思想方法，使用这种方法来解决问题往往能起到事半功倍的效果.通过对浙江高考向量问题的研究，试图探索利用数形结合来解决向量问题的几种方法，以及数形结合在教学中的重要意义.

数学思想；数形结合；向量问题

数形结合思想方法是每年高考中的重要考点之一，因此对高考数学试题中出现的有关数形结合思想的应用问题进行剖析，有助于更好地了解高考对学生思想方法的评价要求，从而为数学思想方法的教学提供一定的启发与借鉴.众所周知，浙江省高考试题中向量问题都是比较经典的题型，而且也具有一定的难度.而其中很多题目突出以思想方法立意，注重对学生的能力进行综合考查.现将试题蕴含的数形结合思想方法剖析如下.

类型一：转化为四边形(或三角形)中的问题

例1 (06年浙江高考)设a、b、c满足a+b+c=0，(a-b)⊥c，a⊥b，若|a|=1，则|a|2+|b|2+|c|2的值为____.

类型二：转化为圆中的问题

例2 (08年浙江高考)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c)·(b-c)=0，则|c|的最大值是( ).

图2

解答至此我们会发现这是一道立意清新、内涵丰富的好题.它以向量为载体，求向量的模的最大值为题设，考查平面几何中圆的性质，进而检测考生思维的灵活性和深刻性.

类型三：转化为点到线(或面)的距离问题

例3 (05年浙江高考)已知向量a≠e，|e|=1，对任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，则( ).

A.a⊥eB.a⊥(a-e)

C.e⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e)

A.锐角三角形 B.钝角三角形

C.直角三角形 D.答案不确定

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

分析本题是一道较难的题目，虽然条件简单，但涉及到的向量较多，而向量之间的关系不是十分明显，所以一时难以下手.如何找到不等号左右两边数量积之间的关系成为解决此问题的关键.这就需要借助几何图形将问题进行转化，进而找到两者之间关系.

分析本题是填空题的最后一题，难度极高，因涉及变量较多，代数方法的计算量很大，运算能力弱的学生很难算到最后结果，而运算能力强的学生即使能算到最后结果，但需要花费很多时间，得不偿失.因此选择简洁迅速的思想方法就显得尤为重要.下面结合距离解题过程来看看数形结合思想在解题思路的发现过程中所起的作用.

首先利用向量的加减法定义作出向量b-(xe1+ye2)的几何图形，作OA=e1，OB=e2，则OC=xe1+ye2，如图7.

变式：(05年5月浙江数学竞赛)已知a，b是两个相互垂直的单位向量，而|c|=13，c·a=3，c·b=4，则对于任意实数t1,t2，|c-t1a-t2b|的最小值是( ).

A.5 B.7 C.12 D.13

由于向量本身具有“数”与“形”的双重身份，因此其问题大多可转化为平面几何问题，这就打通了代数与几何之间的通道.所以我们在面对一个具体的向量问题时，要透过问题的表象，揭示出问题的几何本质，其目的不单单是追求解题技巧，而是更加关注学生对数学概念、数学本质的理解.数形结合思想的领悟，不仅能激发学生学习数学的兴趣，还可以让学生的思维更加广阔，解题更加富有灵活性.

数形结合作为基本的数学思想方法，其应用十分广泛.不仅在向量中可以体现数形结合之美，在解决其他数学问题时，其实也一直在使用.这就要求我们在教学过程中能够更好地明确新课标对数学思想方法教学的要求，并最终促进数学思想方法教学的优化.

[1]徐德均.文化形式思想方法常用工具[J]. 数学通报，2011(9):24-27.

[2]王强芳.向量语言表其外圆的性质蕴其中[J]. 数学通报，2011(9):14-15.

[责任编辑：杨惠民]

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2017-07-01

张建民(1982.01-)，男，中学一级教师，主要从事高中数学教学工作.