递推关系含Sn(或Sn+1)项的数列问题

邓 超

(福建省福州市第十八中学象园校区,福建 福州 350005)

递推关系含Sn(或Sn+1)项的数列问题

邓 超

(福建省福州市第十八中学象园校区,福建 福州 350005)

本文对含有Sn(或Sn+1)项的数列问题的解法进行了探讨，给出了解此类问题的两种策略.

递推数列；通项公式

一、策略一：消去Sn(或Sn+1).

如果解题过程要求证明{f(an)}是等差数列或等比数列，我们就应该想办法消去Sn.办法是由递推关系式写出两个式子:Sn+1=g(an+1)和Sn=g(an)(g(x)为一个函数)，用前式减去后式得：Sn+1-Sn=g(an+1)-g(an)，而Sn+1-Sn=an+1，于是an+1=g(an+1)-g(an).

分析要求的是数列{an}的通项公式，故考虑消去递推关系式中的Sn.

4an+1=(an+1-an)(an+1+an+2)，

∴4an+1=(an+1-an)(an+1+an)+2(an+1-an)，

∴(an+1-an)(an+1+an)-2(an+1+an)=0，∴(an+1-an-2)(an+1+an)=0.

∵angt;0，∴an+1+angt;0，

∴an+1-an-2=0即an+1-an=2，

∴数列{an}是等差数列.

两边同时平方后得8Sn-1=(an-2)2，

(1)

∴8Sn=(an+1-2)2.

(2)

(2)-(1)得：8an=(an+1-2)2-(an-2)2=(an+1-an)(an+1+an-4)

=(an+1-an)(an+1+an)-4(an+1-an)

∴(an+1-an)(an+1+an)-4(an+1+an)=0，∴(an+1+an)(an+1-an-4)=0

又∵数列{an}各项为正，∴an+1+angt;0，an+1-an-4=0，即an+1-an=4，∴数列{an}是等差数列.

二、策略二：消去an(或an+1).

如果解题过程要求证明{f(Sn)}是等差数列或等比数列，我们就应该想办法消去an，消去的办法是把an+1=Sn+1-Sn代入递推关系式.

分析因为求的是Sn，所以考虑消去递推式中的an.

三、策略的选择

消去Sn(或Sn+1)还是消去an(或an+1)，通常可以结合题目的要求看出来.但是如同例4中的注所述，有些题目要求求出an的通项公式，表面上看应该先消去Sn，但是这会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an=Sn-Sn-1求出an.请看下面的例子：

[1]刘增利. 教材解读与拓展: 人教版. 数学. 必修5[M]. 北京：开明出版社, 2012.

[2]熊斌,陈双双. 解题高手—高中数学(第6版)[M]. 上海：华东师范大学出版社, 2013.

[责任编辑：杨惠民]

G632

A

1008-0333(2017)25-0047-02

2017-07-01

邓超(1984.7-)，汉族，福建省福州人，学士学位,从事中学数学解题方面的研究.