利用数学模型“点到圆的最值距离”来研究动点最值问题——数学解题策略剖析

冯 丽

(江苏省苏州市相城区太平中学，江苏 苏州 215000)

利用数学模型“点到圆的最值距离”来研究动点最值问题——数学解题策略剖析

冯 丽

(江苏省苏州市相城区太平中学，江苏 苏州 215000)

动点问题常与几何图形相结合，解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质. 利用点圆的最值距离来研究动点问题，这个点可以是在圆外，圆上，圆内.不管点在哪里，只要该点连接圆心并延长，与圆有两个交点，该点与远交点的距离就是最大值，与近交点的距离就是最小值，以此来构造数学模型解决动点最值问题.

动点；模型；距离；最大值；最小值；圆；直角三角形

动点问题常与几何图形相结合，解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质， 解决这类问题时，不管是点动、线动、图形动都要发挥自己的想象力，不被“动”所迷，应在“动”中求“静”，把问题变成静态问题解决，要注意在运动中探究问题的本质，发现变量之间的互相依存关系.

教学中，教材教学的背景初中的教材中并没有对动点问题进行独立的章节介绍,更多的是要依靠学生根据自身已有的知识及对知识的灵活应用的基础上,对相关问题进行思考解决.利用点圆的最值距离来研究动点问题，便于学生快速掌握解题方法，这个点可以是在圆外，圆上，圆内，不管点在哪里，只要该点连接圆心并延长，与圆有两个交点，该点与远交点的距离就是最大值，与近交点的距离就是最小值，以此来构造数学模型解决动点最值问题.如表所示：

点的位置数学模型点到圆的最大值点到圆的最小值点P在圆外BPAP点P在圆上BP就是直径的长度AP=0点P在圆内BPAP

总结：通过数学模型可以发现P,A,B连线经过圆心，点P可以在圆外、圆上、圆内，连接PO并延长交圆点A和点B，点A与点P近，AP就是点到圆的最小距离|PO-r|，点B与点P远，BP就是点到圆的最大距离PO+r,利用这一数学模型来构造圆求两点的最值问题.运用如下：

第一类：已知圆，利用点到圆的最值距离来研究动点最值问题

(1)单动点问题

例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是 弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是____．

分析点A在圆外，点P在圆上，要使AP最小，取圆心O,连接圆心O与点A,OA与圆的交点就是点P.AP的最小值=AO-r.

总结：本道题是典型利用点圆关系来求最值问题.P是圆上的动点，A是圆外的定点，利用模型来求最小值，当然延长AO交圆另一点P′，AP′是最大值AO+r.

(2)双动点问题

例2 如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是多少？

分析Q在半圆上运动，P在圆外的线段上运动，不管是求PQ的最大值还是最小值，都要连接PO，此时P,Q,O三点一线，最小值时Q的位置就是PO与圆的交点，最小值就是PO-r.最大值时Q的位置就是延长PO到圆的交点，此时最大值就是PO+r.

如图(1)，要使PQ最小，则PO就要最小，在P运动过程中，当PO⊥BC时，PO最小.半圆与AC相切，∠ADO=90°，又在△ABC中AB=10，AC=8，BC=6，根据勾股定理的逆定理，可得∠C=90°，所以OD∥BC，O为AB的中点，平行得相似，半径OD=3,OP=4,

所以此时PQ的最小值就是4-3=1.如图(2)，此时P与B重合，PQ最大，PQ=BO+OQ=5+3=8

综合以上两种情况，则PQ长的最大值与最小值的和是8+1=9.

总结：本题利用模型来解决问题，但本道题是双动点问题，圆外的点在动，圆上的点也在动，具体做法圆外动点P连接圆心O来寻找圆上动点Q, 不被“动”所迷，应在“动”中求“静”,在连接PO中，O就是“静”，P是“动”，PO最小，只有当PO⊥BC时，PO最小.PQ最大值的求法也是借助上述模型，P运动到与点B重合，来确定点Q,以此来解决问题.

(3)三动点问题

例3 如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是____．

分析点P在圆外，点E,F分别在两个圆上，要使PE和PF最小，必须AE和BF两条线段交CD于同一点，该点就是点P.由题意可知菱形ABCD，∠A=60°，所以当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小.

解连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD.

∴△ABD是等边三角形. ∴BD=AB=AD=3.

∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，

∴PE=1，DF=2.

∴PE+PF的最小值是3．

总结： 本题是三动点问题，比上面两题要难，但我们在解题时还是不被“动”所迷，应在“动”中求“静”，利用模型，抓住模型中的“静”，两个圆心点A点B是不动点，圆外点P.连接PA和PB来确定E,F,只有D与P重合时，符合题意要求.

第二类，通过Rt△来构造圆，利用点到圆的最值距离来研究动点最值问题

(1)利用Rt△来构造圆来解决单动点问题

例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，连接BD，则线段BD长的最小值是多少？

分析抓住Rt△ACD，且点D为直角顶点，以AC为直径构造圆，且点D在圆上，点B在圆外，当B,D,O三点共线时此时BD的长度最小.

解由题意可知，圆周角为90 °所对的弦是直径.取AC的中点O,CO为半径作圆，连接BO交圆于点D，此时BD最短.

∵O为AC中点，

∴CO=AO=3.

∴BD=BO-OD=5-3=2.

总结：在动态问题中寻找静态点B,动态点D，点D不管怎么动，△ACD始终是以D为直角顶点的Rt△，以此我们就可以构造AC为直径的圆，且点D在圆周上.利用模型来求点圆的最小值.

(2)利用Rt△来构造圆解决双动点问题

例5 如图,∠MON=90°,在△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5.若△ABC的顶点A,B分别在OM,ON上,当点B在ON上运动时,点A随之在OM上运动,且△ABC的形状和大小保持不变,则运动过程中点C到点O的最大距离为____.

分析因为∠MON=90°，所以以AB中点D为圆心，OD为半径作圆.此时就是求点C到圆的最大距离.在△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°.点A,O,B,C四点共圆，点C到点O的最大距离就是直径.∠MON=90°，AB就是直径5.所以点C到点O的最大距离为5.

总结：本题是双动点问题，点A和点B分别在OM,ON上运动，但不变的是△AOB始终是以AB为斜边的Rt△，通过Rt△AOB来构造圆，本题有特殊性，∠ACB=90°，点C在圆周上，利用模型来求最大值,在圆中最大的弦是直径.

动点问题所涉及的知识是相当广泛的,对于不同的知识点都可以衍生出不同类型的动点问题，它对学生的知识水平也是有相对较高的要求,同时对学生的思维有着较高的要求,它体现了学生综合应用知识能力的水平.但对动点问题的进一步探究,将对中学生探究欲望的激发、课堂教学水平的提升都起着至关重要的意义.

[1]关于“动点问题”的基本剖析.论文网,2012.5.

[2]刘永智.一动点问题的多种求解思路分析[J].中学数学,2015.

[责任编辑：李克柏]

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1008-0333(2017)26-0002-03

2017-07-01

冯丽(1980.07- )，女，江苏苏州人，中学一级教师 ，本科，从事初中数学教学．