复习课设计的分析与思考——以“含参函数的单调性”教学设计为例

姚志富

(安徽省芜湖市六洲中学，安徽 芜湖 238321)

复习课设计的分析与思考
——以“含参函数的单调性”教学设计为例

姚志富

(安徽省芜湖市六洲中学，安徽 芜湖 238321)

“含参函数的单调性”是高中数学的一个重要内容，其中对于参数的分类讨论是一个永恒的难点.在学习分类理论的指导下，把策略性知识化身高级规则知识，对此难点进行了适度突破.同时结合课例，研究了数学复习课设计的一般思路与方法.

学习分类；分类讨论；含参函数的单调性；复习课

如何提升单位时间内复习课的效率一直是数学复习课的重点，根据学习分类理论，在其指导下，老师要明确复习的基本任务、复习内容蕴含的知识点和学生的学习力，与学生当前学习的实际情况进行结合，进入提升复习效率.

一、 数学复习课型分析

数学概念与解题的规则技巧是复习课型中的基础知识，数学概念、解题策略性的知识是复习课型中的重难点.复习课的学习过程具体分为三个部分：首先，将复习包含的基本概念和规则进行归纳梳理，通过强化记忆降低知识遗忘率；其次，针对重难点知识点，通过典型例题的解题分析和同类型解题训练形成技能；最后，强化解题训练，灵活应用，通过提供题型类似与不同的数学题型进行解答，促进知识的理解和应用，提升复习课效果.

二、数学复习课设计案例

学习分类理论指出：针对不同的知识学习要点，采取不同的与之相适应的教学方法和复习方法，能够提升复习的效果.因为不同类型的学习结果，学习的过程及条件也不相同.以学习分类理论为指导，结合复习课型的特点，本文以“含参函数的单调性”一课为例，从教学分析和具体的教学设计案例两个方面进论论述，意在说明完整的设计过程及思路.

1.教学分析

(1)学习任务分析.根据课程要求，“含参函数的单调性”章节学习主要内容为：函数单调性的求解、参数分类讨论.其中教学难点是参数分类讨论，因为有了参数就有了变化，对于知识的理解应用有较高的要求.通过分析，分类讨论需要通过长时间的解题经验积累，很难通过一节课的学习达成既定的教学目标，因此在这一章节的这一节课的教学中，把分类讨论当成是一个高级规则来学习，对于学生来说更容易掌握.

根据上述分析，本节课的学习目标如下：①掌握函数单调性求解的规范步骤；理解并能完成规范步骤的求解；②理解参数在函数单调性判断中的重要性，借助导函数图象突破含参函数单调性中的参数讨论；③学会运用数形结合的方法进行判断，体会数形结合的思想方法.重点是目标①，②；难点是目标②.

(2)学生学情分析. 经过前一阶段的学习，掌握了函数单调性的求解步骤，有一定的概念和习题练习，图像法有一定的基础，通过分析，主要问题如下：①解题中书写不规范.例如忽略定义域的讨论，区间书写不规范用并集表示； ②解题步骤缺乏灵活性，在求解过程中习惯分离参数，忽略X的范围； ③畏难和粗心并存，害怕分类和不清楚分类的方法.

(3)学习策略分析.根据学习任务，结合学生学情，制定教学策略如下： ①规范求解步骤，并将关键步骤重点指出，以便于学生理解，通过同类题型解题分析，使学生形成求解的规范步骤习惯.同时给出解题的书写范例和步骤示范，解决学生解题过程中解题步骤混乱、书写不规范等问题； ②函数单调性的判断主要根据导函数的值来进行判断.若导函数中含有参数，因参数的变化性，则判定会更困难.教学中要提炼归纳参数分类讨论的基本方向和讨论类型，形成高价规则，便于学生理解和记忆；③在学生的解题过程中多指导，及时的进行鼓励和表扬，帮助学生树立信心；④教学互动：教师示范、学生尝试解题、教师指导，直至学生独立完成.

2.教学设计案例

【学生学情分析】

学生对于函数单调性的求解有一个基本认识，也熟悉求函数单调性的基本步骤，但是对于含参的函数求单调性有困难，主要在于参数的分类讨论缺乏方向，体现在何时需要分类讨论，以及如何进行分类讨论并不清楚，学生乱分类、怕分类.

【三维目标】

1.知识与技能目标

理解“含参函数单调性”中突破分类讨论的两个基本步骤——“数零点”与“画草图”，并在此过程中体会数形结合的思想方法.

2.过程与方法目标

运用函数图象的直观性，让学生通过观察、分析，并在教师指导下进行归纳总结，培养学生数形结合解题思想和活用数学知识解题的数学思维.

3.情感、态度与价值观

通过本节内容的学习，增强求知欲，对数学数形结合等解题方式的好奇心，从简单到复杂，从一般到特殊，让学生感受数学解题的趣味性和科学性；在教学过程中，培养学生多种方式解题的创新思想.

【教学重点】：掌握函数单调性求解的规范步骤、书写规范；借助导函数图象解题方式进行含参函数单调性的讨论；

【教学难点】：借助导函数图象突破含参函数单调性中的参数讨论.

【教学方法】：启发式教学

【课时安排】：1 课时

【教学准备】：多媒体课件，几何画板

【教学设计说明】

根据新课程标准及核心素养培养的要求，本节课的知识目标定在两个方面：一是分析问题、告知目标；二是探究新知、形成技能.

本节课的教学设计也是围绕这些目标，利用多媒体和信息技术让学生自主探究，充分参与课堂，并从中体会学习的成功和快乐.

【教学过程】

一、复习回顾

提出问题:(1)求函数单调性的基本步骤：①确定定义域；②求导；③化乘除；④令f′(x)>0(f′(x)<0)；⑤解出x；⑥得单调性.(2)参数对函数图象的基本影响.

二、探究新知、形成技能

目标1：掌握函数单调性的规范求解步骤及书写规范

【设计意图】 从简单到复杂，从不含参数函数的单调性求解出发，总结和归纳规范的解题步骤和书写规范，从例题讲解规范求解着手，使学生形成规范步骤求解和书写规范. (例 1 是例 2 的特殊求解之一，在分析例 2 时容易代入，学生也容易理解)

课堂策略：老师讲解后学生做例题，然后师生讨论过程，对解题步骤和书写进行纠错，最后讨论归纳出基本步骤，形成规范，并在关键求解步骤重点提示，以免出错.

课堂生成：

步骤总结：①明确定义域；②求导；③化乘除；④令f′(x)>0(f′(x)<0)；⑤解出x；⑥得单调性

口诀提炼：定域求导化乘除，令导正负解x.

解：f(x)的定义域为(0，+∞)，

令f′(x)>0，得x>2或0

令f′(x)<0，得1

故f(x)的单调递增区间为(0,1)，(2，+∞)；单调递减区间为(1,2)

学生书写容易出错，要对区间的正确书写方式进行提示，例如：多个区间的书写之间用“，”连接，区间括号内也是用“，”.

目标2：参数分类讨论的基本方法及步骤

【设计意图】借助例2的求解，巩固函数单调性求解的规范步骤和书写规范；其次引导学生对参数分类讨论建立基本的概念；然后在解题示范中运用数形结合的方法进行求解，让学生对数形结合的数学思想(目标3)建立认知，教师要做好解题示范和引导讨论，然后，通过一定的变式练习，如变式1(二次项系数含参数)、变式2(二次函数变为一般的指数函数)、变式3(定义域含参数)等来促进已学规则的掌握，并形成一定的应用解题能力.课后练习布置两道难度略低于课堂例题及变式的作业，巩固本节课学习的知识点.

变式2：求函数f(x)=ex+ax(a∈R)的单调性.

【设计意图】题型拓展到其他函数(一次函数、指数函数、对数函数幂函数、三角函数均可)，强化训练用函数图象来找零点的方法.

变式3：已知函数f(x)=ln(x+a)+x2，讨论f(x)的单调性

【设计意图】定义域从确定的(不含参数)到变化的(含参数)，画函数图形草图的图形结合解题方法都适用.当定义域及零点都未知时，要灵活运用分类讨论的方法，通过比较定义域端点及零点的大小进行解题.

课堂策略：老师示范解题步骤时做好板书，提醒学生做笔记和分析，梳理分类讨论的基本方法.

三、课堂小结

分类讨论的基本方法与步骤：⑴确定分类对象；⑵确定分类标准，正确进行合理分类，做到不重不漏；⑶对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；⑷进行归纳总结，综合得出结论.

四、课后作业

2. 已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R)，讨论f(x)的单调性.

3.对教学设计难点突破的思考

参数的分类讨论是教学中的难点问题，为了达到更好的教学效果，在教学设计中以学习分类理论为指导，把策略性知识化作高级规则，让学生便于理解和掌握.把分类讨论方向用找零点和画草图两种程序化方法进行转化，根据零点个数建立不同的分类，当零点个数确定时，根据图象建立不同的分类等具象化的图形结合方法进行求解，以此突破分类讨论中对参数的分类标准问题.

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)M.北京：人民教育出版社，2003.

[2]李伟.基于学习分类理论的高中数学解题课设计[J].中国数学教育(高中版)，2014(10):34-38.

[3]王珂.数学设计的返璞归真[J].数学教学研究，2014(7).

[4]吴成海.高中数学创新教育应着力于思维培养[J].新课程(教育学术)，2011(7).

[责任编辑：杨惠民]

2017-07-01

姚志富(1979.9-)，男，安徽省芜湖市，中学一级，本科，从事高中数学教学研究.

G632

A

1008-0333(2017)27-0042-02