高中数学教学中运用化归思想的案例分析

王志雄

(福建省平潭第一中学,福建 福州 350400)

高中数学教学中运用化归思想的案例分析

王志雄

(福建省平潭第一中学,福建 福州 350400)

化归思想是数学教学和学习中最重要的数学思想之一.化归思想可以将复杂问题简单化，充分合理地利用化归思想能够有效地对题目进行解析.教师应在教学过程中将重点转移到引导学生思维的方向上.本文对化归思想进行分析，阐述其在数学教学中的重要性.

高中数学；化归思想；案例分析

很多数学问题非常复杂，每当遇到这种复杂问题时都会打断我们的思路，需要花费大量的时间去分析问题，进而解决问题.如果仅仅从解题技巧的角度对数学问题进行分析，那么将无法有效的应对各类问题，所以化归思想的重要性就体现了出来.

一、什么是化归思想

化归思想的核心可以分为两点，一是转化，二是归纳.化归思想的解题模式通常为：分析问题之后提出新的问题，通过解决新的问题转而解决原有问题.这种思想重在转化，通过问题与问题之间的联系进行转化，用变通的方法解决问题.

化归思想有很明显的特征，具体包括三个方面，分别是：1.层次性.2.重复性.3.多向性.化归思想的多向性体现在：在解题过程中通过变换问题的已知条件，并且转变问题的结论，从而改变问题的形式和结构.重复性体现在：化归思想可以有效的利用各种方法和解题技巧，从细微处解决问题，与此同时在大的问题上进行知识点之间的有效转化[1].

二、化归思想的原则及其应用

1.直观化原则

化归思想的直观化就是将抽象的问题具体化、具体化.这样就可以明确的表示出问题之中所隐藏的概念，从而解决一系列的相关问题.譬如说：换元法.

例1 已知tanβ和tanα是方程x2-3x-3=0的两根，试求sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)的值.

这个问题的解答过程就是将问题从抽象化问题向直观化问题转变，通过换元法使整个问题变得更加直观化，从而解决问题.解题如下所示.

2.熟悉化的原则

解答由韦达定理得：tanα+tanβ=3,tanαtanβ=-3

由和角公式知：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα*tanβ)=3/4.

式子sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)是sin(α+β)与cos(α+β)的二次齐次式,又因为sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,

则原式可化简为

[sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)]/[sin2(α+β)+cos2(α+β)]

=[tan2(α+β)-3tan(α+β)-3]/[tan2(α+β)+1]

=-3.

熟悉化原则就是在解题的过程中，将所遇到的，相对陌生的问题进行转化，将其变成自己相对较熟悉的问题，从而完成问题的解答.当转变成熟悉的问题之后，很多已经掌握了的解题思路和技巧，便可以得到充分的应用[2].这样便能更加有效地完成题目的解析任务，譬如：

1.将复数类型的问题进行转化，将其变成实数类的问题.

2.将非等比数列或者是非等差的数列转化成为等比数列和等差数列的形式，这些都是熟悉化原则的典型例子.

3.配方法

配方法是高中数学在解题的过程中应用最多的方法.配方法可以有效的将复杂的问题简单化，能够让学生在解题的过程中更好地找到切入点和解题所需要的.

熟练配方法的使用规则，可以让学生面对难题时能够更好的分析和解决.

这道题的已知条件中所给出的两个方程之间并没有太大的联系.遇到这种情况时就需要转变以下思维，改变现在已知条件的形式.我们可以通过将x与y进行配方，将x与y的形式进行标准化，通过这样的解题思路来解决问题.这样就能对未知数n的值进行更加容易的解答.

4.分解法

分解法要求对已知条件进行分解，使其成为几个相对简单的部分以便于解答.简而言之就是将复杂的问题进行分解，成为几个容易解答的小问题，再对这些简单的小问题进行分析和计算，最终得出整个大问题的答案.

例3 分解因式：m15+m12+m9+m6+m3+1.

解原式=(m15+m12)+(m9+m6)+(m3+1)

=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)

=(m3+1)(m12+m6+1)

=(m3+1)[(m6+1)2-m6]

=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3).

当解题时遇到多项式，并且此多项式中包含的项数非常多的时候，我们可以通过分组的方式将多项式分解.通过这样的解题方法将多项式简单化和规范化，从而便于分步解题，使解题难度降低，达到顺利解题的目的.分组的方法要根据具体题型的形式来进行实际判断.

结语数学问题的计算过程和分析方式有自己固定的模式，一般都是通过分析已知条件，明确其中的具体可用之处，之后再进行分析和转化，将已知条件和问题都进行简化，最终达到解题目的.所以能够熟练地掌握化归思想及其解题方法，可以快速找到解题思路.

[1] 苏芳，覃学文.在“数学分析”中渗透数学思想的教学意义——化归与转化思想 [J]. 梧州学院学报，2013(06)：14-15.

[2]洪善啸.化归思想在日常数学课堂教学中的渗透 [J].科教文汇(上旬刊),2013(07):12-13.

[3]张权.关于中学数学教学中化归思想方法的应用分析 [J].读与写(教育教学刊)，2012(01):12-13.

[责任编辑：杨惠民]

2017-07-01

王志雄 (1973.3-)，男,福建省福州人,中学数学一级教师,从事数学教学研究.

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1008-0333(2017)28-0002-02