冗余铺丝机械手自运动流形分析及优化

2017-11-23 05:58徐朋赵东标应明峰李奎
航空学报 2017年1期
关键词:流形位姿机械手

徐朋,赵东标*,应明峰,李奎

冗余铺丝机械手自运动流形分析及优化

徐朋,赵东标*,应明峰,李奎

南京航空航天大学 机电学院,南京 210016

针对传统位姿分离式铺丝机械手灵活性不足的特点,为了提高航空复合材料铺丝过程的灵活性和避障碍能力,提出一种位姿耦合式冗余铺丝机械手自运动流形的新算法。由于冗余铺丝机械手各关节之间的强耦合性增加了逆解的求解难度,该算法将冗余铺丝机械手的关节逆解分解为已知的Paden-Kahan旋量子问题以及由位置关节组成的特殊旋量子问题,并针对特殊旋量子问题进行求解得到冗余铺丝机械手全部逆解,这样相对于位姿分离式解法有效提高了冗余铺丝机械手逆解的求解效率以及求解直观性。由于冗余铺丝机械手的逆解呈现出流形的结构,所以根据冗余铺丝机械手自运动流形的多维特性,将冗余铺丝机械手的自运动流形分别映射到位置关节空间和姿态关节空间得到其三维仿真曲线。由于冗余铺丝机械手逆解流形中的优化流形在实际控制中更具应用价值,所以在铺丝机械手末端执行器沿芯模轨迹运动速度平稳的前提下为了使机械手各关节速度变化最小,提出以冗余铺丝机械手关节速度组成的约束泛函为目标得到相应的运动学优化流形,并为后续的最优控制奠定了基础。最后以某型号飞机S形进气道为例验证了所提方法的可行性。

冗余;铺丝;逆解;旋量;流形

复合材料纤维铺放(Fiber Placement,FP)成型技术[1-5]是一种精确地复合材料成型技术,既可以铺凸面和凹面也可以铺规则曲面和自由曲面[6-8],并且大大降低了复合材料的制造成本,提高了复合材料性能,在航空航天、武器装备等方面有着广泛地应用。因此对于复合材料纤维铺放成型技术的工作母机[9-12]—铺丝机械手的研究已经成为当前先进制造技术一个新的研究方向。铺丝机械手的运动学逆解是实现整个铺丝过程运动规划和运动控制的基础[13-15],冗余铺丝机械手具有无数多个逆解,所有逆解构成了冗余铺丝机械手的解流形,解流形构成的解空间和末端执行器工作空间存在的映射关系从本质上反映了冗余铺丝机械手的自运动能力[16-17],冗余铺丝机械手的冗余特性决定了铺丝过程的灵活性和避障碍能力大小。

目前国外在这方面研究比较深入,由于技术对中国封锁,很多详细的算法、数据、铺丝参数都不公布,可参考的资料较少,Pierre等[18]给出了包括芯模的七自由度冗余铺丝机械手的逆解算法,但是芯模坐标系和基座标系之间的相对位姿关系并没有考虑芯模的瞬时转角,导致铺丝机械手失去了冗余特性;Kyle[19]介绍了可以铺放大型设备的冗余铺丝机械手模型,但是并没有涉及到逆解及自运动流形的研究分析;Long等[20]利用微分几何学研究了自由曲面上的铺丝路径问题,对于铺丝机械手的逆解及控制问题并没有做详细的介绍;国内关于铺丝机械手逆解的研究主要包括:邵忠喜等[21]给出了铺丝机械手逆解的后置处理算法,提高了铺丝机械手的控制精度,但并没有涉及到逆解的自运动流形;葛新锋和赵东标[22]在理论上给出了位姿分离式冗余铺丝机械手的自运动流形分析,但是当芯模铺丝轨迹给定时铺丝机械手将会失去冗余特性,不利于避障碍及逆解的优化。在关于冗余机械手的自运动流形研究方面,Tisius等[23]以8自由度凿岩机械臂为研究对象,提出一种基于运动轨迹求解多关节冗余机器人运动学逆解方法;Wei等[24]在空间建立了nR机械手的通用运动学方程,并利用变分法解决了nR机械手的逆运动学逆解;Galicki[25]通过参数估计利用反自由控制算法对冗余机械手的工作空间流形做了详细分析,得出了逆解的最大和最小取值范围;Iqbal和Aized[26]给出了特殊8自由度冗余机械手的工作空间分析和优化,得出了提高机械手关节空间工作效率的有效方法。Moll和Kavraki[27]通过在冗余机械手的自运动流形上寻找最小能量曲线的方法,实现了机械手的最优轨迹规划;Burdick[28]给出了平面3R机构和空间4R机构的自运动流形,并得出Jacobian矩阵的零空间即是自运动流形切空间的结论;Hsia和Guo[29-30]以机器人避障作为运动学优化性能指标来求解逆运动学解,得到了基于避障势函数的运动学逆解;赵建文等[31]利用位姿分离式算法得到了特殊结构冗余机器人参数化的自运动流形,但并没有具体给出解空间和工作空间之间的流形映射关系。

为了提高铺丝机械手在铺丝过程中的灵活性和避障碍能力,本文针对特殊结构的冗余铺丝机械手,利用旋量[32-35]和自运动流形相结合的方法给出其逆解流形,在位置工作空间和姿态工作空间分别进行了仿真分析,并以飞机S形进气道为例进行仿真验证了所得结论的正确性。最后以冗余机械手关节速度组成的约束泛函为目标给出了相应的优化流形,同时利用目标函数验证了所得优化流形的正确性。

1 冗余铺丝机械手模型

图1 为新型冗余铺丝机械手结构模型,由单自由度导轨、六自由度(DOF)KUKA机械手及单自由度旋转芯模组成。

其中,导轨和六自由度库卡机械手组成七自由度冗余铺丝机械手,芯模的旋转运动构成另外一个自由度。相对于位姿分离式铺丝机械手,新型冗余铺丝机械手模型各个关节之间存在强耦合关系,虽然增加了逆解计算方面的复杂性,但是灵活性和避障碍能力却得到了提高,可以适应更复杂的工作环境及有助于逆解的进一步优化。由于芯模的转速是由芯模上铺丝轨迹所决定,而铺丝轨迹点取决于芯模的形状,所以当芯模上的铺丝轨迹确定以后,芯模自由度就受到了约束,这时传统的位姿分离式铺丝机械手将会失去冗余特性,解空间中的点将是离散的有限点,这样就丧失了冗余铺丝机械手应有的灵活性、避障能力及逆解优化的效果,而新设计的冗余铺丝机械手模型很好的解决了这一问题。

2 运动学逆解

冗余机械手的位姿分离式算法[31]是一种将位置关节和姿态关节强行分开求解的方法,这有利于求解以直线运动关节组成的位置空间,而当位置空间由转动关节组成的时候则会产生很大的误差,因为位置关节的变化会影响到铺丝机械手腕关节姿态的变化,此时需要附加相应的优化函数。所以为了提高冗余铺丝机械手逆解求解的精度、效率和直观性,本文在基于旋量理论基础之上通过设定冗余关节的方法对铺丝机械手涉及到的特殊旋量子问题进行求解,然后结合旋量理论两个已知的Paden-Kahan子问题得到冗余铺丝机械手的全部逆运动学解。冗余铺丝机械手的初始状态及各连杆间的尺寸参数如图2所示。图2中:{S}为惯性坐标系;{T}为工具坐标系;ω2~ω7为沿各旋转轴线的单位矢量;v1为沿直线运动关节方向的单位矢量;r1~r5分别为各旋转轴线上的点;ξ1~ξ7为相应的单位运动旋量;a1~a6为机械手的尺寸参数;d1为冗余关节变量。则初始状态下工具坐标系和惯性坐标系之间的变换矩阵为

各个关节的单位运动旋量为

各旋转轴线上点的表达式为

所以相应的单位运动旋量为

旋量表示下冗余铺丝机械手的正向运动学指数积公式为

式中:gst(θ)为铺丝机械手的运动学正解;θ2~θ7为相应的关节转角。式(5)可转化为

将式(6)两边同时右乘向量点r5可得

式(7)是一个关于4自由度的旋量子问题,变形可得

由于d1为冗余关节变量,这样4自由度的旋量子问题转化为两个轴线平行,且与第三轴线异面垂直的特殊旋量子问题,如图3所示。

图3 中:点q1、q2为ξ2轴上任意选取的两点;点p1、p2为点p到q的过渡点;点p与腕点r5重合。根据位置几何关系可得

分别取:

将已知点p2代入式(10),然后根据已知的Paden-Kahan子问题可以求得θ2、θ3、θ4,其表达式分别为

求得了θ2、θ3、θ4,对式(6)变形可得

将式(14)两边右乘点r6可得

式(15)是一个关于两轴相交的Paden-Kahan子问题,通过计算可以得到

将θ2~θ6代入式(6)可得

取点r7不在^ξ7轴上,将式(18)两边右乘点r7可得

根据式(19)可得

在冗余铺丝机械手结构参数已定的情况下,本文所得到的关节逆解θ2~θ7均是以d1为变量的函数,当d1值取定时共有八组关节逆解。作为冗余机械手,每个关节都可以作为冗余变量,基于不同的冗余变量其运动构型是一致的,但是不同冗余变量对应的自运动流形是不同的,本文为了工程上方便测量和计算,以d1作为冗余变量来计算逆解及流形仿真。

3 仿真验证

定义关节构型空间:

式中:C1为移动关节构型空间,C2~C7为库卡机械手各转动关节构型空间,机器人关节所起的作用相当于数学里的函数,它实现了关节构型空间和末端执行器位姿工作空间之间的映射与逆映射。当滑轨运动时,冗余铺丝机械手逆解将会呈现出流形的结构,它包括了冗余铺丝机械手的全部逆解。

冗余铺丝机械手具体结构参数为

定义臂形标志为

取:

由以上所得数据可得在右上臂形不翻腕的情况下关节角θ2~θ7基于冗余关节d1变化的仿真曲线及冗余铺丝机械手的位置构型图,如图4所示。当针对芯模上某一确定铺丝点时,随着冗余关节的变化,铺丝机械手具有无穷多个关节逆解,并且呈现出流形的结构。这样极大增强了铺丝机械手在工作空间中的灵活性以及解空间的优化性能,然后根据控制要求和约束函数找到最优逆解。

其中坐标轴x、y、z分别对应于惯性坐标系{S}的方向,由于自运动流形的多维特性,无法在三维空间中直观展示,所以将冗余铺丝机械手的自运动流形分别映射到以θ2、θ3、θ4为主的位置关节空间和以θ5、θ6、θ7为主的姿态关节空间,如图5所示。

图5中:c1~c8分别表示了铺丝机械手的不同臂形标志。具体形式为

在满足飞机S形进气道设计和性能要求基础之上,通过测量得到一组数据点,然后利用样条函数进行拟合得到飞机S形进气道的期望轨迹。下面以飞机S形进气道为例进行仿真来验证所得结论的正确性。

由图6可以看到利用旋量结合参数方程的方法得到的仿真轨迹与期望轨迹高度吻合,而利用位姿分离法得到的仿真轨迹与期望轨迹吻合度较差,需要进一步利用优化函数来提高其精度,这也进一步增加了求取逆解的复杂性。所以本文得到的自运动逆解流形不仅是正确的,而且相比于位姿分离法显著提高了逆解的求解精度、效率及直观性。

在实际铺丝过程中机械手末端执行器沿芯模轨迹运动的速度是保持不变的如图7所示,x为末端执行器速度;x0为出丝速度;t1到t2为铺丝工作时间;t3为铺丝结束时间。在此基础上为了使铺丝机械手各关节运动速度变化最小,提出以关节速度为目标的优化函数:

式中:θ 为 机械手 的关 节 速 度 ;θi为 机 械 手 某 一 关节的速度。

约束条件为

式中:J为冗余机械手的雅可比矩阵。建立增广泛函:

式中:λ为拉格朗日乘子。

由式(26)可以生成相应的控制算法,分配铺丝机械手各关节的运动,使得末端执行器沿预定轨迹运动时冗余机械手各运动关节速度变化最小。这样不仅提高了铺丝工作效率也增强了铺丝机械手工作过程中的平稳性。由式(23)、式(26)可以得到关于S的最小值,通常在满足自运动控制要求前提下为了提高铺丝机械手的灵活性及避障碍能力,在最小值S附近取S≤S0(S0是与优化流形边界值相关的参数)来求得相应的优化逆解,从而得到位置和姿态自运动优化仿真流形如图8所示。

图9 所示为铺丝机械手处于右上臂形不翻腕情况下铺丝机械手各关节基于目标函数S的变化曲线,由图示可知随着冗余关节d1的变化S0以下红色区域为对应的最优化自运动流形,同理可以得到其他臂形标志下铺丝机械手各关节随目标函数的变化曲线,并证明所得优化流形的正确性。

4 结 论

1)利用旋量理论结合参数方程的方法提出一种求解位姿耦合式冗余铺丝机械手自运动流形的新算法,并分别得到了相应的位置工作空间和姿态工作空间仿真流形,相比于铺丝机械手的位姿分离式算法求解精度更高、直观性更强,并利用飞机S形进气道为例验证了所得结论的正确性。

2)求取的逆解为冗余铺丝机械手的全部逆解,但并不是所有逆解都符合冗余机械手的实际铺丝过程,在满足灵活性、避障碍能力及自运动控制的前提下为了使铺丝机械手各关节速度变化最小提出基于铺丝机械手关节速度的约束泛函,并在此基础上得到了最优自运动流形,为铺丝过程实现最优运动控制奠定了基础。

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Analysis and optimization for self-motion manifolds of redundant fiber placement manipulator

XU Peng,ZHAO Dongbiao*,YING Mingfeng,LI Kui
College of Mechanical and Electrical Engineering,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China

Traditional position and posture separated fiber placement manipulator is less flexible.To improve the flexibility and obstacle avoidance capability of the manipulator for aerospace composite material placement,a new algorithm of selfmotion manifolds is proposed for the position and posture coupled redundant fiber placement manipulator model.As the strong coupling between each joint of the redundant fiber placement manipulator can cause increased difficulty in obtaining inverse solutions,the inverse solution for the manipulator joint is decomposed into the known Paden-Kahan screw sub-problem and special screw sub-problem.Solution to the special screw sub-problem is obtained to get the whole inverse solution for the redundant fiber placement manipulator.The efficiency and intuitivity of the inverse solution for the manipulator is thus enhanced.As the inverse solutions for the redundant fiber placement manipulator presents a structure of manifolds,the self-motion manifolds of the redundant fiber placement manipulator are mapped to position joints space and posture joints space to get three-dimensional simulation curve based on the multi-dimensional characteristic of the self-motion manifolds of the redundant fiber placement manipulator.The optimized manifolds are more applicable than the whole general manifolds in the practical control,so the optimized manifolds are obtained by the objective function constituted by joint velocity of the redundant manipulator in order to enable the kinetic energy minimum and various joints velocity to change more smoothly and steadily while the end effector moves along the mandrel trajectory,providing foundation for subsequent optimum control.The method is verified by using the S-shaped inlet simulation.

redundancy;fiber placement;inverse solutions;screw;manifolds

2016-01-31;Revised:2016-03-14;Accepted:2016-04-26;Published online:2016-05-31 10:09

URL:www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160531.1009.002.html

s:National Natural Science Foundation of China(51175261);National Basic Research Program of China(2014CB046501);Specialized Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education of China(20123218110020)

V261.97

A

1000-6893(2017)01-420138-10

http:/hkxb.buaa.edu.cn hkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0132

2016-01-31;退修日期:2016-03-14;录用日期:2016-04-26;网络出版时间:2016-05-31 10:09

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160531.1009.002.html

国家自然科学基金 (51175261);国家“973”计划 (2014CB046501);高等学校博士学科点专项科研基金 (20123218110020)

*通讯作者 .E-mail:zdbme@nuaa.edu.cn

徐朋,赵东标,应明峰,等.冗余铺丝机械手自运动流形分析及优化[J].航空学报,2017,38(1):420138.XU P,ZHAO D B,YING M F,et al.Analysis and optimization for self-motion manifolds of redundant fiber placement manipulator[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2017,38(1):420138.

(责任编辑:李世秋)

*Corresponding author.E-mail:zdbme@nuaa.edu.cn

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